精品解析：河南周口市第四初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年度下期阶段性学科素养 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则下列选择中字母x可以取的是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且，则图中大正方形的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 3 5. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿斜边上的中线对折后再沿虚线剪开，得到①、②两部分，将①展开后的图形为（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　） A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BD D. AC⊥BD 7. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. 1.5，2，2.5 8. 在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是___________________________． 13. 如图所示，在矩形中，对角线交于点O，，，则矩形的面积______． 14. 如图，点所表示的数是_______． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，求的值． 18. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6．求CD的长． 19. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． （1）在图2中以格点为顶点画一个，使得，； （2）猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 21. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 22. 如图，在中，边的中点分别是点，点在边上，点在射线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，．填空： 当______时，四边形是菱形； 当______时，四边形是矩形． 23. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期阶段性学科素养 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，则下列选择中字母x可以取的是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，即可解答. 【详解】∵x-3≥0, ∴x≥3, ∴字母x可以取3. 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、乘除、加减运算法则，计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，，该选项不符合题意． 3. 如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：根据正方形的性质和勾股定理可得，大正方形的边长为， 故选：C． 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且，则图中大正方形的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6， ∴S△=， 大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13， 所以大正方形的边长为． 故选B． 【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键． 5. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿斜边上的中线对折后再沿虚线剪开，得到①、②两部分，将①展开后的图形为（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、菱形和正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握折叠性质是解答的关键．先证明是等腰直角三角形得到，再根据折叠性质得到，进而可证明四边形是菱形，由和正方形的判定可得结论． 【详解】解：如图， 由折叠性质和等腰直角三角形的性质得，又， ∴是等腰直角三角形，则， 由折叠性质得， ∴四边形是菱形，又， ∴四边形是正方形， 故选：D． 6. 下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　） A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BD D. AC⊥BD 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定条件即可得到结果； 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确理解条件是解题的关键． 7. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. 1.5，2，2.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数的判断，勾股数必须为正整数且满足两小边的平方和等于最大边的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，且均为正整数，是勾股数． B、，且均为正整数，是勾股数． C、，且均为正整数，是勾股数． D、，但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数． 故选：D． 8. 在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 9. 菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，然后利用勾股定理列式求出另一条对角线的一半的长，即可得解． 【详解】解：如图，∵菱形的一条对角线长为16， ∴， ∵菱形的对角线，， ∴， ∴． 10. 如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是___________________________． 【答案】对角线互相垂直的四边形是菱形 【解析】 【分析】逆命题的概念就是把原来的题设和结论互换，因此得到命题“菱形是对角线互相垂直的四边形是菱形”的逆命题． 【详解】命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形． 故答案为：对角线互相垂直的四边形是菱形． 【点睛】本题考查逆命题的概念，逆命题就是把原来的题设和结论互换，以及能正确找出题设和结论． 13. 如图所示，在矩形中，对角线交于点O，，，则矩形的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等． 首先利用矩形的性质证明是等边三角形，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴相等且互相平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是：， 故答案为：． 14. 如图，点所表示的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】数轴上的数，就是离开原点的距离加性质符号，因为，所以，C表示的是负数，也就是，去掉括号即可解答． 【详解】解：∵在中， ， ∴， ∵ ∴， ∴C表示的数是． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴； 如图2，当时， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，E，F三点共线，即点F在上，此时点M与点F重合， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为2或6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式；把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 18. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6．求CD的长． 【答案】 【解析】 【分析】延长BD交AC于点E，如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质得出CE=CB，BD=ED，再由已知角相等，利用等角对等边得到AE=BE，由AC-CE求出AE的长，进而求出BD的长，最后利用勾股定理求出CD即可． 【详解】解：延长BD交AC于点E，如图所示， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∴CE=CB=6． ∵AC=10， ∴AE=4． ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE=4， ∴BD=DE=2． 在Rt△BCD中，BC=6，BD=2， ∴CD=． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 点，分别是边，的中点， ∴ 是的中位线， ∴ ，且． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角形中位线定理得到线段平行，进而利用平行线的性质及等腰三角形的判定证明线段相等． （2）先根据三角形中位线定理求出，再结合（1）的结论和角度判断三角形形状，进而求出，最终得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是的中位线，， ∴ ． 由（1）知， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形． 根据勾股定理，且， ∴ ，即． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是的中点， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 20. 如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． （1）在图2中以格点为顶点画一个，使得，； （2）猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求作三角形．(答案不唯一) （2） 为等腰直角三角形 理由如下： 即为直角三角形． 又 ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1）平行四边形， 理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． （2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 22. 如图，在中，边的中点分别是点，点在边上，点在射线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，．填空： 当______时，四边形是菱形； 当______时，四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵点分别为的中点， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）；． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理逆定理，矩形的性质，掌握平行四边形、菱形的判定及矩形的性质是解题的关键． （）利用三角形中位线的性质可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （）当时，易证明点重合，即可得，进而求值；由等腰三角形性质可得，利用勾股定理可得，利用三角形面积可得，再利用勾股定理即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形是菱形． 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点重合， 即点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是是菱形， 故答案为：； 当时，四边形是矩形． 如图，当四边形是矩形时，点在的延长线上， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：． 23. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $