安徽蚌埠市A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价高二数学试卷

A层高中第四次联合教研素质评价 高二数学 命题单位：怀远一中 审题单位：蚌埠二中 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 工物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为F=G咖，则F对于r的瞬时变化率为{). A.GMin B.-GMin C.2GMin D.-2GMin 3 2.已知数列{a}满足an1=3a,若a,+as=81,则a+44为() A.3 B.9 C.27 D.81 3.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展1应用培训活动现随机抽取一位学员，其每日在线 学习积分X的取值分别为0,1,2，若E(X)=1,P(X≥1)=0.9，则D(X)=() A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4(位的二项联式中：的系数是() A.-35 B.35 C.-21 D.21 5.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御” “书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不 排在第五周，则所有可能的排法种数为() A.384种 B.480种 C.504种 D.600种 6.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个.现从 中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X,则当P(X=)取得最大 值时，k=() A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、 丙中奖的概率分别为，，卫，则() A.最大 B.P最大 C.最大 D.P=B=P 8.已知函数f(x)=(x2-x+k-2)e+(k-2)e2,若存在x。<2,对于任意x∈(x,2)都有 第1页，共4页 f(x)<0,则实数k的取值范围是() A.（-00,3) B.（-3,0) C.(0,3) D.（-3,+0o） 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是() A若随机变量X~64》 则X=33时，概率最大 B.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D=1-P(DC,则C,D相互独立 C.P(A=06,P(4B)=09,P(4B)=04,则P()的值为月 DE如)号片P@团-是则Pa助-号 10.已知函数f(x)=2.x3+6x2+ax,则() A.a∈R,f(x)是增函数 B.Ha∈R,f(x)是奇函数 C.若f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3,则x+x2+x?=一3 D.过点(0，n)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条，则-2<m<0 11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量X。为结果中连续出现正面的最大次数若始 终未出现正面，规定X,=0,例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故 X4=2,则() AP(x=2=月 B)8 C.P(x=4)=[P(x=2] D.(x)号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知A=2C=272(m,n∈N),则m+n= 13.某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均均分分成A、B两组集训，求甲乙两人同 在A组的概率为一一一 14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间 的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量 第2页，共4页 中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为A=(4,4,,an)和B=(b,b,,b),则这两组数据间 的闵氏距离d4:(q) -b, 其中q表示阶数若M=(t,e),N=(x,x),则d(2)的最小 值为 四、解答题（本题共5小题，共77分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知等比数列{a}的前n项和Sn满足Sn=2a,-a,且4,4a+1,8a成等差数列.数列{b.}满足： ab+ab2+…+abn=nan1. (1)求{a},{b}的通项公式： 1 2)求数列 的前n项和Sa. 16.（本小题满分15分) 已知双缅线C:亡y 。户=1(a>0,6>0)的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为y=士V5x 点P(1,1)在直线x=a上. (1)求C的方程； (2)过点P的直线与C相切于点B(异于点A),证明：∠AFP=∠PFB 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=1,PB=23,PC-3,AB=3,BC=√6，AC=√万，点M, 是棱PB的中点，N是PC上靠近点C的三等分点，且直线PA⊥平面AMN. (1)求MN的长； 2)求三棱锥P-ABC的体积； (③)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值， 第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx+ar2+(2a+1)x. (1)当a=0时，求f(x)在(1，f(I)处的切线方程； 2②)当a<0时，证明f(x)≤-3-2： 4a ③者对任意的不等正数，总有)-任>2，求实数a的取值范围 x-x2 19.(本小题满分17分) 为了合理配置旅游资源。管理部门对首次来蚌埠旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人 计划只游览龙子湖景区，另外二的人计划既游览龙子湖景区又游览张公山公园，每位游客若只游览 龙子湖景区，则记1分；若既游览龙子湖景区又游览张公山公园，则记2分.假设每位首次来蚌埠 旅游的游客计划是否游览张公山公园相互独立，视频率为概率 (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望； 2)从游客中随机抽取n人(n∈N),记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P,求∑P; (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为a,求数列{a}的通 项公式 第4页，共4页 A层高中第四次联合教研素质评价 高二数学参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 0 B U B D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 一、单选题 1.D 【详由题家可知F=G。则P对于r的瞬时变化率为 r- 0-Mhm(r2）_2GMim =Gx- 2.B 【详解】因为a1=3,所以1=3 a 所以数列{a}为等比数列，公比9为3，因为a,+a。=81,所以4+4=81=4·34+4·3=81，则 324a=81,即4a-1,解得4-片，所以4=4g-号&=4矿子，所以4+a,=9 3.A 【详解】由题可设P(X=1)=,则P(X=2)=0.9-,P(X=0)=1-0.9=0.1, 所以E(X=0×0.1+1×m+2×(0.9-m=1,解得m=0.8, 所以D(X）=(0-1)2×0.1+1-1)2×0.8+(2-1)2×0.1=0.2 4.B 【详解】 (债)的项展开式的道项公式为工=C。 化简得=C-1yx号，令3,71，得=3，所以7=Cg-1x=-35x 2 所以六 的展开式中x的系数是-35 5.C 答案第1页，共12页 【详解】“射不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射排在第五周的排法，第 二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有A种，第二类的排法有 16A种，由分类加法原理可得总的排法数为504. 6.B 【详解依题意x服从超几何分布.则PX--CC兰化∈Z1≤k≤)，当PY=利取得最大 cc9 哈c k(k-1)≤(6-)(9-) 值时， CC 即 (8-k)5-)≤k(k+1) -≥ 解得20sk≤2 7 ,keZ,所以k=3. 7.D 【详解】计算甲中奖概率乃：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此B=亏 2 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为号×年 21 甲未中奖后乙中奖：新率为号 4=异号 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：2×x9=0 543 2316 甲中、乙不中、丙中： 一X一X一= 54360 甲不中、乙中、丙中： 3216 5*43601 甲不中、乙不中、丙中：亏×4号60 32212 2=0+6+6+12242 60+60+6060=5 因此卫=B=?=5 2 8.A 答案第2页，共12页 【详解】f(2)=(4-2k+k-2)e2+(k-2)e2=0,存在x。<2,对于任意x∈(x,2)都有 f(x)<0,∴在x=2左侧附近，函数f(x)小于0.f'(x)=[x2+(2-k)x-2]e, f'(2)=(6-2k)e2, ①当k<3时，f'(2)>0,∴存在x。<2,对于任意x∈(x,2)都有，f'(x)>0,函数f(x)单 调递增，∴当x∈(x,2)时，f(x)<f(2)=0,满足题意 ②当k=3时，f'(2)=0,f'(x)=(x2-x-2)e=(x+1)(x-2)e,当x∈(-1,2)时， '(x)<0,函数f(x)单调递减，.不存在x。<2,对于任意x∈(x,2)都有f(x)<0, ③当k>3时，f'(2)<0,∴存在x<2,对于任意x∈(x,2)都有f'(x)<0,函数f(x)单调递 减，.当x∈(x,2)时，f(x)>f(2)=0,不满足题意 综上所述，实数k的取值范围是(-o,3) 二、多选题 9.BD 【详解】选项A:来源于人教版选必三教材第81-82页的“探究与发现”拓展内容，若随机变量 X~8(4》则X=32时，藏率最大.放A结误： 选项B：来源于人教版选必三教材第46-47页的内容，事件的相互独立性，根据条件概率公式 D19-g由P列=1-川De.得1-=i-号 P(C). 所以P(CD)=P(D)P(C),则C, D相互独立，故B正确； 选项C：来源于人教版选必三教材第51-54页的内容，全概率公式，由 PW=4PB+1列P④，即06=09P)+04-P(B1.解得P(到-号，放C错误 选项D:来源于人教版选必三教材教材第56页“阅读与思考”拓展内容，全概率公式与贝叶斯公式， 由感点P八西)-圆号四为P因列-画。P网.3 ΓP(④3 -所以网-国 此到=+A两-计&行P1-P固=又P@团=1代团-号 3824 答案第3页，共12页 1 所以Pa)=PBA=X子三放D正确 P(B)47 24 10.ACD 【详解】已知f(x)=2x3+6x2+ax,则f"(x)=6x2+12x+a=6(x+1)2+a-6. 选项A:若f(x)是增函数，只需f(x)≥0，只需a-6≥0即可，所以a≥6. 所以aeR,f(x)是增函数，故A正确. 选项B:f(-x)=2(-x)°+6(-x)2+a(-x)=-2x3+6x2-ax,-f(x)=-2x-6x2-ax, 则f(-x)≠-f(x),故f(x)不是奇函数，故B错误， 选项C:若f(x)有三个不同的零点x,x2,5,则f(x)=2x3+6x2+r=x(2x2+6x+a=0 有3个根，其中一个零点为x=0,另外两个零点为2x2+6x+a=0的两个根x2,x,则x,+x3=-3 所以x+x2+x=-3,故C正确， 选项D:设切点为(，2r+6f+at),f'(t)=6t+12t+a, 所以切线方程为y-(2r+6t+at)=(6f+12t+a(x-t) 又切线过(0，m),所以m-（2t+6t+at)=(6t+12t+a(0-t),即m=-4f-6f. 切线恰有3条，等价于m=-4t-61有3个不同的实数解，即函数g(t)=-43-61与直线y=m 有3个交点 g'(t)=-12r-12t=-12(+1 令g(t)=0,即t2+t=0,解得1=0或t=-1. 当t∈(-oo,-1)U(0,+∞)时，g(t)<0,当t∈(-1,0)时，g'(t)>0, 所以g(t)在(-∞，-1)、(0，+∞)上单调递减，在(-1,0)上单调递增， 所以极小值为g(-1)=-4×(-1)°-6×(-1)2=-2，极大值为g(0)=-4×03-6×02=0, 所以当-2<<0时，g(t)与y=m有3个交点 所以当-2<m<0时，过点(0，m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条，故D正确. 答案第4页，共12页 11.ABD 【详】选项A名=2对疫于连续2次打出正面丁是X-2小-}号A正确： 选项BPx=0)-专PX,-刂-吾P叫属-2-名P(x=到-日 则(j=0合专2x后+3令号B正确 4 8 8 8 选项C:观察前6次扔出连续的4次正面并不等价于前3次的X,=2以及接下来的X,=2, 路计算：Px=),Px-2)-会子[PX=26c误 选项D:不妨设y表示前n次投掷中出现正面的次数， 于是X,≤义，则X-X≥0，则B化-X,)20,于是=E化)2EX),D正确 故选：ABD 三、填空题 12.19 【详解】由A%=mCm=2C得m!=2,所以m=2,∴.A”=A=(n-1)=272,解得n=17, 故m+n=19 3 13.14 【详解】P C8C1-3 C4C14 14. 2 2 【详解】由题意得daw(2)=Vt-)2+(e-x, 令f(x)=(t-x)+(t-x)2=2x2-2(t+e)x++e2,则最小值在对称轴处取得， 代〉d,.是 令gt)=e-t,求导得g(t)=e-1,又g(0)=e°-1=0， 当t<0时，g(t)<0,gt)单调递减；当t>0时，g(t)>0,gt)单调递增； 所以gx=g(0)-l,所以dm=万立 12 答案第5页，共12页 综上所述，d(2)的最小值为 2 四、解答题 15.(1)a.=2,neN,b.=n+1,neN a8n4a 【详解】(1).4,4a+1,8a1成等差数列， .2(4g+1)=+8a1,獬得：0=2,1分 又.'S。=2a.-a 当n=2时，a1+a2=2a2-a1,得：a2=2a q==2,… 4 2分 ∴.a=2×2"-1=2”,neN; 3分 因为2b+22b,+…+2"b=-2*1 当n≥2时，2b+2b2+…+2-b1=(0n-1)2, 两式相减得2”.b=n21-(n-1)2”=[21-(n-1)]2”=(n+1)2”, 则n22时，b.=n+1;5分 当n=1时，由ab,=1a2得2b=4,解得b=2符合该式；6分 所以b=n+l,n∈N7分 (2)由于 1 11 b,·b(n+1)(n+2）n+1n+2' .10分 所以S=” 13分 2n+4 16.0①x-上=1 3 (2)证明见解析 【小问1详解】 答案第6页，共12页 因为点P(1,1)在直线x=a上，所以a=1 1分 因为C的渐近线方程为y=士5x,所以2-√5，故b=5 3分 所以C的方程为r- =1 5分 3 【小问2详解】 设F(-c,0)(c>0),由2=a2+b2,得c=V12+(3)2=2,则F(-2,0) 易知直线PB的斜率存在（另一条过点P的切线为x=1) 设其方程为y-1=k(x-1),即y=x-k+16分 y=kx-k+1 由 -上=1消去y,得(3-)r+2(k-1r-+2k-4=08分 3 因为直线PB与C相切， 所以3-k2≠0，且△=[2k(k-1)P-43-2)(-k2+2h-4)=0,得k=2, 所以直线PB的方程为y=2x-1,… 10分 方程x2-4x+4=0的根为2，所以B(2,3), 所以直线BF的方程为3x-4y+6=0… 12分 又因为点到直线即的距离d-B-41+61,等于点到给的距离 V32+(-4)2 又点P在∠AFB内部，所以∠AP=PFB… .15分 17.①225635 4 8 【详解】(1)由题意得，PM=√3，PW=2, 答案第7页，共12页 在△PBC中，由余弦定理，得cos∠BPC=PB+PC:-BC12+9-655 2PB.PC 2×25x312 所以在△PN中，由余弦定理，得 N-PM+P-2PM,PNes∠MPv3+4-2×32 12 厂24分 (2)所以在Rt△PAM中，AM=√PMP-PA=√2 在Rt△PAW中，AN=√PNP-PA2=√3， 在a4N中，由余弦定理，得cos∠MW=MA+4-MN2+32V5 2MA-NA 2×V5×V541 所以sin∠MAN=V1-cos2∠MAN √1o 4 设点A到平面PBC的距离为h, 由三棱锥的体积公式和性质， L.h.S.p 得上@-”-子” M·PN,sin∠MPN 2 VP-ABC VA-PBC hS。sc PB.PC.sim∠MPN 器卡飘 3 e=3ya=3x·PA}AM.AN.sin.∠MaN=23√I0√ 9分 3 44 (3)由上可知：MA=N,取AN的中点O,显然OM1AN, 因为PAI平面AMN,OMc平面AMN,所以PA⊥OM, 因此以OM,ON所在的直线为x轴和y轴，过O与PA平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如下 图所示 〔@9j9小o 由上可知：M是棱PB中点，PN=2NC 所似可得5誓小c-》即-（6雪到 设平面PAB的法向量为m=(x,y,=), PA=(0,0-1),PB=(5,3,-2, 答案第8页，共12页 m.PA=-z=0 所以 5-ao二66 所以取该平面的一个法向量为m=3,-5,0, 设直线BC与平面PAB所成角为B, 所以 BC.m -v5-灯 sin日=cos(BC,m 2 35 BCm 15分 8 3-2√2 18.【答案】(1)y=2x-1 (2)证明见解析 (3) ,+00 2 【小问1详解】 当a=0时，f()=nx+x,故f)=1且f'(x)=+1, 故f'(1)=2,故切线方程为y=2(x-1)+1,即2x-y-1=0.3分 【小问2详解】 f的定义城为(0，+o）.fx)=+2x+(2a+1)-2a+1x+1） 4分 当a<0时，令f'(y)=0,解得：x=-马 2a 当0atf到>0：当x(a所fe<0, f0动)上单调馆，（云+树 上单调递减； 故f=(动（动》动i 6分 答案第9页，共12页 要证fx)s--2,只需证n 71--1≤-5-2， 2a Aa 1 即证h 1+1≤0；… 2 7分 设g(x)=血x-x+1(c>0),则g(y)=1-1=1-x 8分 .当x∈(0,1)时，g(x)>0;当x∈(1，+o时，g(x)<0, 一g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o0)上单调递减，·g(x)mx=g()=0.9分 【小问3详解】 不妨设0<5<5.则由5-f>2得/5)-f5)<2x-2 水1-x2 即f(x）-2x<f(x2）-2x2, 11分 令h(x)=f(x)-2x,则h(x)<h(x),故h(x)在(0，+o)上单调递增， ()-了-2-是+2m+2a-1z0在(0+j上相成 ，12分 即2ax+1)21-1-1,又+1>0.2a2=- xx x(x+1)x2+x (*)片13分 设m-r>0叭.则wi到-+-2x.f+2x (+x) (+x 14分 由m(x)=0解得：x=1-V2(舍)或x=V2+1, ∴当x∈0，V2+1时，m(x)>0;当x∈W2+l,+o时，m(x<0: ∴m(x)在(0，V2+1上单调递增，在(V2+1,+o)上单调递减， 小-品ga 16分 由（可得2a≥3-2V2.解得：a≥3-22 2 答案第10页，共12页 3-22 ∴.a的取值范围为 17分 19.0分布列见架析：g()-9 a立》 a(3号 【详解】（山）专的人计划只游览龙子湖景区，另外的人计划既游览龙子湖景区又游览张公山公园， 每位游客若只游览龙子湖景区记1分： 既游览龙子湖景区又游览张公山公园记2分.每位首次来蚌埠旅游的游客计划是否游览张公山公园 相互独立，视频率为概率， 随机变量X的可能取值为2,3,4， 1分 4分 .x 的分布列如下表所示： 2 3 1 4 9 9 9 数学期望为B(X)=2×+3×4+4×4_10 4 9 9 93 方5分 (2)由这n人的合计得分为n+1分， 侧其中只有1人计划既游览龙子湖景区又游览张公山公园， 8-c0含- 3” .7分 2n 33 34+.+ +2221 3 2n 3034 -X- 3 1- 1 3如 0(到 10分 答案第11页，共12页 3)由题张得：8 3+0-1(n≥3， .2 ..12分 即3(gn-an-1)=-2a-1-an-2(23）。。.。.。13分 又4-专风号)a,口-号则数列口a}是首项为专，公比为子的等比数列 1 =1x1+2_7a 4 aa)n3).. 14分 累加得： aia-atia a .15分 当n=1时，4-符合上式。 16分 = 4( 2,3 153 + .17分 另解：在随机抽取的若干人的合计得分为-1分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为n分或n+1分， 记“合计得n分”为事件A,“合计得n+1分”为事件B,A与B是对立事件， 2 .八PA=a,P（B）=3a-1 12分 2 a.+3a=122）, .14分 4= 是首项为，公比为号的等比数列 a(新号 17分 答案第12页，共12页