精品解析：吉林长春市农安县第十中学2025-2026学年下学期高二第一学程数学试卷

2025-2026学年下学期农安县第十中学高二第一学程 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：（本题共40分） 1. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得. 【详解】由求导，可得：. 而，故. 故选：C. 2. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解. 【详解】因为，所以，令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为. 故选：C. 3. 已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合题设条件，列出方程组，求解即得. 【详解】依题意，，解得. 故选：B. 4. 将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ） A. 60种 B. 180种 C. 150种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5名同学分成三组，然后再分配，即可得到结果. 【详解】将5名同学分成三组，有两种情况； 情况一：按分组，有种情况； 情况二：按分组，有种情况； 然后分配到三个班级，有种情况. 故选：C. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一个括号内取项情况分两类，利用通项求相应项系数再合并即可得. 【详解】二项展开式的通项为， 要得到项，有两类方法： 第一类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘， 由得，，即，则系数为； 第二类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘， 由得，，即，则项的系数为； 综上可知，展开式中的系数为. 故选：B. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 7. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，代入对应值，可得答案. 【详解】令，则，当时，，单调递减， 因为，所以，，即，故. 故选：C. 二、多项选择题：（本题共18分） 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 10. 现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A. 排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种 B. 全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种 C. 全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种 D. 全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生， 对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确； 对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确； 对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确； 对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾 可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法， 此时乙有种排法，共有种排法； （2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法， 共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知，则下列描述不正确的是（　　） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理求出，直接判断A，求出判断B，在已知展开式中改变已知展开式中符号为，令，再求解判断C，已知求导后令求解后判断D. 【详解】， 选项A，，A错误； 选项B，，除以5余数是1，B正确； 选项C，由已知，， 所以， 所以，从而，C错误； 选项D，，， ， 所以，D错误. 二、填空题：（本题共15分） 12. 函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________． 【答案】 【解析】 【详解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝4x－＞0，得x＞.递增区间为 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种； 故答案为：72 14. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可设，，由其导数可知在上为减函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出. 【详解】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以在区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 四、解答题：（本题共77分） 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 16. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 【详解】（1）由，得，， 于是，整理得，解得， 所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得， 所以. 17. （1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人顺序一定，有多少种排法？ （2）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？ （3）用0，1，2，3，4，5这六个数字： ①能组成多少个无重复数字的四位偶数？ ②能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ ③能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】（1）840；（2）80；（3）①156，②216，③270 【解析】 【详解】（1）7个人排成一排拍照片，甲、乙、丙3人顺序一定，共有种排法. （2）选2名男教师与2名女教师，共有（种）， 选3名男教师与1名女教师，共有（种）， 所以共有（种）. （3）①四位偶数的个位必须是偶数0，2，4，且首位不能为 0，分三类： 第一类：个位为 0时个； 第二类：个位为 2时，首位从 1，3，4，5 中选 1 个有种，百位和十位从剩下的 4 个数字中选 2 个有个，于是有个； 第三类：个位为 4时，与第二类同理，也有个， 则共有：个 ②为5的倍数的五位数可分为两类： 第一类：个位为 0的五位数有个； 第二类：个位为 5的五位数有个； 故满足条件的五位数共有个. ③比1325大的四位数可分为三类： 按千位数字分类讨论： 第一类：千位为 2，3，4，5时，共有个； 第二类：形如，，共有个； 第三类：形如，，共有个； 故满足条件的比1325大的四位数共有个. 18. 已知在展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求该展开式中的所有的有理项． 【答案】（1）7 （2）254 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式以及等差数列性质求解即可. （2）令，再根据等比数列的前项和公式求解即可. （3）根据二项式展开式，令 ，求出的取值，再求有理项即可. 【小问1详解】 二项式展开式中第项的二项式系数为，由题意知，第二、三、四项的二项式系数成等差数列， 即，展开得，，整理得， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，故已知， 令， . 【小问3详解】 二项展开式的通项为 ， 因为 ，所以的取值可能为 . 当时，.当时，. 当时， .当时，. 因此所有有理项为. 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导求出切线的斜率，代入函数值，根据点斜式方程求出切线方程； （2）将不等式有解问题转化为求函数最值问题，通过构造函数，对其求导，分析函数的单调性，进而求出函数的最值，从而得出实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， ，， ，即, 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 若在上有解， 即在上有解，即有解， 令，， 令，， ，, 在上单调递增，， ，，，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取得极小值，即最小值， . 所以.实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期农安县第十中学高二第一学程 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：（本题共40分） 1. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ） A. 60种 B. 180种 C. 150种 D. 300种 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共18分） 9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A. 排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种 B. 全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种 C. 全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种 D. 全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 11. 已知，则下列描述不正确的是（　　） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 二、填空题：（本题共15分） 12. 函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________． 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________． 14. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 四、解答题：（本题共77分） 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 16. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 17. （1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人顺序一定，有多少种排法？ （2）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？ （3）用0，1，2，3，4，5这六个数字： ①能组成多少个无重复数字的四位偶数？ ②能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ ③能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 18. 已知在展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求该展开式中的所有的有理项． 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $