第1-3章阶段复习卷（一）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版

**基本信息** 北师大版七年级下册数学期中复习卷，聚焦概率、整式运算、平行线核心知识，融合神舟十三号太空种子、2026春晚机器人等科技情境及袁枚《苔》文化素材，通过基础与综合题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|概率、科学记数法、直线位置关系|以《苔》诗句中孢子体直径考查科学记数法，车库道闸抽象几何模型考平行线性质| |填空题|6题|概率计算、代数式求值、频率估计概率|太空种子发芽试验数据估计概率，体现数据意识；机器人表演姿态转化角的计算| |解答题|6题|化简求值、新定义综合、概率应用|新定义“k倍补充周角”融合平行线与角平分线，阅读材料换元法解决几何面积问题，考查创新应用|

第1-3章阶段复习卷（一）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个红球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列算式中不能使用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线m，n被直线l所截，所形成的一对内错角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 8．某小区车库入口的“曲臂直杆道闸”在某一时刻的位置（如图1）可抽象成如图2所示的几何图形，表示地面，，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球和9个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．白球 B．黑球 C．黄球 D．红球 10．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．现有4张卡片，上面分别标记着3、4、5、6，从中随机抽取2张，将上面标记的两个数分别作为分子和分母，所得分数是最简分数的概率是_____． 12．已知，则代数式的值为____． 13．神舟十三号载人飞船返回舱开舱活动4月26日在北京举行．此次活动中，展示了一些太空种子，太空种子早已应用到了我们的生活中，还让我们“大饱口福”．某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数 发芽的频率 在与试验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为______（结果保留两位小数）． 14．如图，，，，则________． 15．已知代数式与的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，则的值为_______． 16．2026年春晚<<武>>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______度． 三、解答题 17．化简： (1) (2) 18．化简求值：，其中，． 19．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 20．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的“倍补充周角”．例如，，则为的“6倍补充周角”． (1)若，则的“倍补充周角”的度数为_____°； (2)如图，在平面内，点为直线上一点，点为直线上一点．连接，； ①点、分别在线段、上（如图1）．若点在直线上方，先探究，，这三个角的数量关系．再求当是的“7倍补充周角”且时，的度数． ②如图，若点为平行线、之间一个动点，连接，和的角平分线交于点．若，，是的“4倍补充周角”，求的度数（用含和的代数式表示）． 21．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的______；“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (2)估算口袋中白球有多少个？ (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球? 22．阅读材料：若a满足，求的值． 解：设，，则， ∵，∴ 根据上述材料所提供的方法解决以下问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，．，分别为，延长线上的一点，．以，为边作长方形，以为边作正方形，以为边作正方形．已知长方形的面积为，求阴影部分的面积． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3章阶段复习卷（一）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C C C C A C 1．B 【分析】先求出袋子中球的总个数，再求出红球的个数，用红球个数除以总球数即可得到摸出红球的概率． 【详解】∵袋子中球的总个数为 ，其中红球有 个 ∴随机摸出一个球，摸出红球的概率为． 2．B 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 3．B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 4．D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式逐一判断选项即可． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 5．C 【分析】本题考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．平方差公式为，其核心特征是两个多项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数．据此逐一分析选项，判断哪个算式不具备这一结构，从而确定不能使用平方差公式的选项． 【详解】解：选项，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式，本选项不符合题意； 选项，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式，本选项不符合题意； 选项，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能使用平方差公式，本选项符合题意； 选项，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以使用平方差公式，本选项不符合题意． 6．C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解： 直线，被所截， 内错角应在被截线，之间，在截线两侧， 与互为内错角，与互为内错角， 故选项C符合题意． 7．C 【详解】解：， ∴， 即， ∴． 8．C 【分析】利用平行线的性质可得，，然后根据垂直定义可得，则，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．A 【分析】先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 黄球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是白球． 10．C 【分析】利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④． 【详解】解：， ，，故①正确， 平分，平分， ，， ， ，故②正确， 平分， ， ， ， ，故③正确， 无法判断，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 11． 【分析】先列举出所有等可能的结果，再找出符合“所得分数是最简分数”条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：根据题意，从中随机抽取张，将两个数分别作为分子和分母，所有等可能的结果为： ,,,,,,,,,,,，共种等可能的结果． 其中是最简分数的结果为:,,,,,,,，共种． 根据概率公式可得，所得分数是最简分数的概率为. 12． 【分析】先对代数式中的运用平方差公式进行变形，再整体代入已知条件化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ∴原式 ． 13． 【分析】根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【详解】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，试验种子数量越多，用于估计概率越准确， 因为试验的菜种数最多， 所以估计种一粒这样的菜种发芽的概率为， 故答案为：． 14．/80度 【分析】过的顶点作的平行线，利用平行线的性质求出，从而得解． 【详解】解：过的顶点作的平行线， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 15． 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项将化简，再根据积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，进而求得m，n的值，将其代入中计算即可． 【详解】解： ， 由题意得，与积是一个关于x的三次多项式，且含项的系数为， ∴不含项， ∴，， ∴， ∴． 16． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先理解题意，过点作，结合平行线的性质得，代入数值得，再运算角的和差以及根据列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用乘法公式和去括号法则展开，再合并同类项即可； （2）利用积的乘方和单项式乘以多项式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 18．化简为，值为 【详解】解：， ， ， ， 当，，原式． 19．(1) (2)或 【分析】（1）由角的关系可得，再根据两直线平行的性质求解； （2）分两种情况：当在内部和在外部，再根据角的关系得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， （两直线平行，内错角相等）； （2）解：解：当在内部时， ， 当在外部时， ， 或． 20．(1) (2)①，的度数为； ②或 【分析】（1）根据“倍补充周角”的定义求解即可； （2）①根据平行线的性质与判定求出三个角之间的关系，再根据“7倍补充周角”的定义求出的度数即可； ②分点P在左侧和点P在右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“倍补充周角”的为， 由题意得， 解得， ∴的“倍补充周角”的度数为； （2）解：①过点P作， ∵是的“7倍补充周角”， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ②如图，当点P在左侧时，过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵和的角平分线交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵是的“4倍补充周角”， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在右侧时，过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵和的角平分线交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵是的“4倍补充周角”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 21．(1)，0.6； (2)12； (3)2． 【分析】(1) 根据频率的定义，频率等于频数除以总数，计算a的值；随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近，故“摸到白球”的概率估计值为0.6． (2) 用总球数乘以摸到白球的概率，即可估算白球个数． (3) 设取出个黑球，则放入个白球，根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， "摸到白球"的概率的估计值是0.6． （2）解：口袋中共有20个球，摸到白球的概率估计值为0.6， 口袋中白球的个数约为：（个） （3）解：设取出了个黑球，则放入了个白球， 此时口袋中白球有个，总球数仍为20个， 根据题意：， ， ， 经检验，符合题意， 取出了个黑球． 22．(1) (2) 【分析】（1）设，，得出，，再根据完全平方公式变形求证，即可求解 （2）根据题意得出，，，同（1）的方法计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵长方形的面积为， ∴ ∵， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为763 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $