重难专题05 刷透概率分布小题的十大必刷题型（6大基础题型+4大能力提升+2大拓展提升）高二数学人教A版选择性必修第三册

重难专题05 刷透概率分布小题的十二大必刷题型 题型一 离散型随机变量的分布列 1．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 2.（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（ ） 1 2 A． B． C． D． 3．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4 4．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（ ） A． B． C． D． 题型二 古典概型 1．2026年第43届中国洛阳牡丹文化节4月1日至30日于在洛阳市举行，主题是“一路繁花向洛阳”.某“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·河北邯郸·期中）将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶的概率为（ ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·上海）某班级有50名学生，求至少有两名学生在同年同月同日生的概率（默认每年、每月天数相同）（ ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃·一模）(多选题)甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（ ） A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 题型三 超几何分布 1．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北邯郸·期中）(多选题)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品数可能为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 3.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（25-65高二下·上海浦东新·期中）已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（ ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 题型四 二项分布 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，则它对应的频率分布条形图是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（ ） A． B． C． D． 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（ ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 题型五 超几何分布和二项分布辨析 1．(多选题)在等差数列中，，.现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X.则（ ） A．X服从二项分布 B．X服从超几何分布 C． D． 2．(多选题)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有黄球40个，白球60个，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则（ ） 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 A．如果采取有放回摸球，其方差为24 B．如果采取不放回摸球，其期望为8 C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率约为0.7988 D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1的限制条件下，采用不放回摸球估计的结果更可靠 题型六 正态分布 1．某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（ ） （参考数据：，） A． B． C． D． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ） 参考数据：若，则． A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（ ） A． B． C． D． 5．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（ ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 题型一 条件概率与乘法公式 1．（2026·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ） A． B． C． D． 2．多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（ ） A． B． C． D． 4．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，良为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 题型二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ） A． B． C． D． 3．小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东·期末）某系统有3种状态，记为状态1､状态2､状态3，系统每一步的状态转移只与当前状态有关，与之前状态无关.记，其中第行第列元素表示从状态转移到状态的概率.初始状态分布为表示第步系统的状态.则经过两步后系统处于状态2的概率为（ ） A．0.412 B．0.422 C．0.432 D．0.442 题型三 随机变量的均值 1．已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（4．在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数Z的均值是（ ） A． B． C． D．2 2．（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ） A． B． C．2 D．3 3．在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数Z的均值是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东湛江·月考）有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（  ） A．， B．， C．， D．， 5．有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________. 题型三 随机变量的方差 1．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（25-26高三上·江西·开学考试）赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时的抽取次数，则（ ） A．的取值为2，3，4，5 B．时，共有108种抽取顺序 C． D． 3．有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ） A．存银行 B．房产投资 C．商业投资 D．房产投资和商业投资均可 4．一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（ ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 题型一 概率与数列递推 1.如图，青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记为第次跳跃后对应数轴上的数字（，），则满足，的跳跃方法有多少种（ ）      A．336 B．448 C．315 D．420 2.（25-26高二·天津）甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（多选题）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得到图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 5．（25-26高二·天津）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 题型二 概率与函数综合 1．柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|)＝，P()＝，则P(X)＝（ ） A． B． C． D． 2．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ） A． B． C． D． 3．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（ ） A． B． C． D． 4．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（ ） ①若，则 ②若，则； ③若，则当时，取得最大值 ④若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则 A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 5．(多选题)为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（ ） A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的 B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的 C． D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为 6．现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题05 刷透概率分布小题的十二大必刷题型 题型一 离散型随机变量的分布列 1．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【解析】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量. 2.（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（ ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 3．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【解析】根据题意知，，所以．因为，所以，所以． 4．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故， 所以． 题型二 古典概型 1．2026年第43届中国洛阳牡丹文化节4月1日至30日于在洛阳市举行，某“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设任取1盆的编号为随机变量， ∴的可能取值为0，1，2，……，9，且， ∴． 2．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等. 3.（25-26高二下·河北邯郸·期中）将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若每人至少分得1瓶，则由隔板法可得分法数为，在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶，则其余8瓶分给6位建筑工人，由隔板法可得分法数为，故所求概率为. 4.（25-26高二下·上海）某班级有50名学生，求至少有两名学生在同年同月同日生的概率（默认每年、每月天数相同）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】一年按天算，名学生生日的所有可能情况总数为种， 要使名学生生日都不相同，第一个学生有种选择，第二个学生有种选择， 第三个学生有种选择，第个学生有种选择， 故名学生生日都不相同的情况数为种，所以名学生生日都不相同的概率为， 所以至少有两名学生在同年同月同日生的概率为. 5．（2026·甘肃·一模）(多选题)甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（    ） A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 【答案】BC 【解析】对于A，甲袋中共有大小、形状相同的6个球，从中一次取出2个球，共有种取法，两球都是红球，共有种取法，所以甲袋中一次取出两个球，两球均为红球的概率为，故A错误；对于B，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，从中有放回地取两次球，两球均为白球，则概率为，故B正确； 对于C，甲袋中取得白球的概率为，乙袋中取得白球的概率为， 则事件“两袋中各取一个球，取出的球都是白球”的概率为， 所以事件“两袋中各取一个球，取出的球中有红球”的概率为，故C正确； 对于D，若第一次从乙袋中取到红球，概率为，接着在甲袋中取到红球的概率为， 根据独立事件概率乘法公式，其概率为； 若第一次从乙袋中取到白球，概率为，接着在乙袋中取到红球的概率为， 根据独立事件概率乘法公式，其概率为； 所以事件的“第二次取得红球”的概率为，故D错误. 题型三 超几何分布 1．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 2．（25-26高二下·河北邯郸·期中）(多选题)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品数可能为（  ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】AD 【解析】设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝，∴x＝2或8. 3.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，若任取个数中有个阳数，则，若任取个数中有个阳数，则，故这个数中至少有个阳数的概率. 4．（25-65高二下·上海浦东新·期中）已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 【答案】B 【解析】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为， 服从超几何分布，且， 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，， 因为，所以， 因为，所以当从增加到时， 随的增大而增大，所以数列严格增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个， 所以， 因为，所以当从增加到时，单调递减，所以严格减. 题型四 二项分布 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，则它对应的频率分布条形图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，的取值可能是0，1，2，3，，9.又，频率分布条形图应是右偏的. 2．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 3．（25-26高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率，即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率. 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（ ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【解析】设投进次数为，则，故，， 由，，则，，解得，又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14. 题型五 超几何分布和二项分布辨析 1．(多选题)在等差数列中，，.现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X.则（  ） A．X服从二项分布 B．X服从超几何分布 C． D． 【答案】BCD 【解析】依题意，等差数列公差，则通项为， 由得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能值为0，1，2，3，的事件表示取出的3个数中有k个正数，个非负数，因此，，X不服从二项分布，X服从超几何分布，A不正确，B正确； ，C正确；，D正确. 2．(多选题)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有黄球40个，白球60个，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数，则（    ） 参考数据： k 5 6 7 8 9 10 0.07465 0.12441 0.16588 0.17971 0.15974 0.11714 0.06530 0.12422 0.17972 0.20078 0.17483 0.11924 A．如果采取有放回摸球，其方差为24 B．如果采取不放回摸球，其期望为8 C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率约为0.7988 D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1的限制条件下，采用不放回摸球估计的结果更可靠 【答案】BCD 【解析】对于A，当采取有放回摸球时，则每次摸到黄球的概率为， 此时，方差为，故A错误； 对于B，当采取不放回摸球时，则服从超几何分布，期望为，故B正确； 对于C，如果采取不放回摸球，样本中黄球比例为，总体黄球比例为0.4，因此， 查阅参考数据中超几何分布列（第三行）可知，该值约等于，故C正确； 对于D，如果采取有放回摸球时，查阅参考数据中二项分布列（第二行）可知， ， 因,即采用不放回摸球估计的结果更可靠，故D正确. 题型六 正态分布 1．某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（  ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知，则，，可知10名学生的成绩在90分以上的人数， 所以． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：因为甲零件的平均长度与乙零件相同，所以，所以A错误. B：正态分布关于均值对称，所以，所以B错误. C：因为甲零件的离散程度越大，所以方差更大，即，所以C正确. D：因为，在坐标轴上在的右侧，，所以D错误. 3．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ） 参考数据：若，则． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为体温X服从正态分布，所以， 因为X的值在内的概率约为0.9973， 根据参考数据知，即， 所以，所以，所以， 所以，解得. 4．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 5．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 【解析】①当小张步行方式上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为：， ②当小张骑自行车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为：， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为：， ④当小张自己开车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为：， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大， 题型一 条件概率与乘法公式 1．（2026·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种. 根据分步乘法计数原理，总情况数为种. 若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种，再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，此时情况数为种. 若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种， 剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，此时情况数为种. 所以甲参加九连环活动的情况数共有种，则甲参加九连环活动的概率. 若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，则甲和乙都参加九连环活动的概率. 根据条件概率公式. 2．多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定定义，求出所给数中多重完美数的个数，再利用条件概率公式求解. 【解析】6的正因数：，由，得6是多重完美数； 9的正因数：，由，13不是9的整数倍，得9不是多重完美数； 12的正因数：，由，28不是12的整数倍，得12不是多重完美数； 28的正因数：，由，得28是多重完美数； 45的正因数：，由，78不是45的整数倍，得45不是多重完美数， 因此中多重完美数有2个，非多重完美数有3个， 从5个数中取2个，有多重完美数的取法数为，其中恰有一个不是多重完美数的取法数为，所以取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为. 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为已知庄家获胜，则点数为豹子或者小， 点数为豹子有6种情况； 点数和为4有，所有排列有3种情况； 点数和为5有，所有排列有种情况； 点数和为6有，所有排列有种情况； 点数和为7有的所有排列，有种； 点数和为8有，所有排列有种情况； 点数和为9有，所有排列有种情况； 点数和为10有，所有排列有种情况； 所以小有种情况； 其中三枚骰子点数最大的是5的情况有：，，，，，，，的所有排列共有种情况；所以对应概率为. 4．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，良为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 解法一：因为，，所以 解法二：因为，，所以 题型二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为所以 由全概率公式可得. 2．（2026·浙江·模拟预测）一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件， 根据题意，，，. 根据全概率公式，，代入已知， 得：，解得. 3．小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则，， 由全概率公式可得， 所以. 4．（25-26高二上·山东·期末）某系统有3种状态，记为状态1､状态2､状态3，系统每一步的状态转移只与当前状态有关，与之前状态无关.记，其中第行第列元素表示从状态转移到状态的概率.初始状态分布为表示第步系统的状态.则经过两步后系统处于状态2的概率为（ ） A．0.412 B．0.422 C．0.432 D．0.442 【答案】C 【解析】由题意可得， 所以 题型三 随机变量的均值 1．已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可得的所有可能取值为，随机选取集合中5个元素构成子集，有个子集，集合中以正整数为最小数的5元子集共有个，所以， 所以. 2．（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：4次都抽到同1个礼品，故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. 所以. 故. 3．在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数Z的均值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，表示第一次就抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为； ，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为，，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“谢谢参与”的奖券，…,第n次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为， 所以的均值为． 4．（25-26高三上·广东湛江·月考）有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故 5．有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________. 【答案】 【解析】由题意知：大楼共层，设随机变量，则， ，，则的分布列如下： ，. 题型三 随机变量的方差 1．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【解析】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 2．（25-26高三上·江西·开学考试）赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时的抽取次数，则（ ） A．的取值为2，3，4，5 B．时，共有108种抽取顺序 C． D． 【答案】ABD 【解析】已知6个脐橙，其中有3个不合格产品，即合格品有3个， 每次从中抽取1个且不放回，所以要抽到第2件合格品时的抽取次数X的取值为2，3，4，5，故选项A正确.当时，表示前3次抽取中有1个合格品和2个不合格品，第4次抽取的是合格品。 从3个合格品中选1个，有种选法;从3个不合格品中选2个，有种选法;前3次抽取的顺序有种排法，第四次抽合格品，此时剩2件合格品，有2种抽法. 根据分步乘法计数原理，抽取顺序共有=（种），故选项B正确. ， ， , 故选项C错误.,故选项D正确. 3．有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ） A．存银行 B．房产投资 C．商业投资 D．房产投资和商业投资均可 【答案】C 【解析】房产投资的收益平均值为：， 方差为, 商业投资的收益平均值为：， 方差为 因为，，所以选择商业投资. 4．一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（ ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 【答案】C 【解析】不妨设出发顺序为 ，若, 使得，交换与 的出发顺序，显然 会比交换前更早完成比赛, 交换前 和 的完赛总时长为交换后和的完赛总时长为又 故交换后和 的完赛总时长减少，而其他人不变，从而全体完赛总时长减少. 由此可反复交换在此过程中完赛总时长均减小，直到按 降序排列，此时达到最优. 题型一 概率与数列递推 1.如图，青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记为第次跳跃后对应数轴上的数字（，），则满足，的跳跃方法有多少种（  ）      A．336 B．448 C．315 D．420 【答案】B 【解析】因为，所以或.当，时，前次向左跳跃次，向右跳跃次，后次向右跳跃次，所以有种；当，时，前次向右跳跃次，向左跳跃次，后次向左跳跃次，向右跳跃次，所以有种.综上所述：满足，的跳跃方法有种. 2.（25-26高二·天津）甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况： 一是第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以． 3.（多选题）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得到图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据题意可得纸板比纸板剪掉了半径为的半圆， 故，即， 故，， 累加可得，所以，故A错误，C正确； 又，故，即，故D错误； 又,累加得正确，故B正确， 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 【答案】 【解析】记棋子在位置时最终获胜的概率为，则，因为棋子位于0时向左右移动的概率都为，所以，又因为棋子位于1时向左移动的概率为，向右移动的概率为，所以，代入可得，解得. 因为棋子初始位于0，所以获胜概率即为. 5．（25-26高二·天津）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为________，第n次传球后球在乙手中的概率为________． 【答案】 【解析】每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故，所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为，所以，即. 故答案为：； 题型二 概率与函数综合 1．柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|)＝，P()＝，则P(X)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称， 由P(|X|)＝，可得，因为P()＝， 所以，因此， 所以， 2．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】切比雪夫不等式的形式为：， 由题知， 则的具体形式为. 3．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数的定义域为R的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，共36种情况，如下 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 记函数的定义域为R为事件A，即恒成立，需满足，即，满足的有26种情况，故. 记函数为偶函数为事件B，函数的定义域为，由偶函数的定义知，即或. 满足或的有6种情况，故,故, 4．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（  ） ①若，则 ②若，则； ③若，则当时，取得最大值 ④若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则 A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】①若，则，故①正确； ②假设，因为，，所以， 所以，所以， 这与矛盾，所以假设不成立， 而当时，易得，所以，故②正确； ③若，则， ， 设，， 则， 令，得，解得，此时函数单调递减， 令，，解得，此时函数单调递增， 所以当时最大，所以当时，取得最大值，故③正确； ④由题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴， 又，，，， ∴，∴，故④正确． 综上，正确说法的序号为①②③④， 5．(多选题)为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（ ） A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的 B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的 C． D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为 【答案】BCD 【解析】极大似然是一种估计方法，A错误； 设鲤鱼和草鱼的比例为，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为， 设， 时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，最大，故B正确； 根据题意，（其中或1，）， 所以，可知C正确； 令，解得，且时，时，故在上递增，在上递减，故达到极大值时，参数的极大似然估计值为，故D正确. 6．现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 【答案】5 【解析】由题意，得随机变量可取颗骰子的点数都不小于的概率为， 点数都不小于的概率为，其中， 所以， 所以， 令，则， 记， 因为都关于单调递减， 所以关于单调递减， 又，，所以的最小值为5. 由（i）知. 所以 ， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $