第4章三角形 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 2．下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 4．两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可能是（    ） A． B． C． D． 5．在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 6．王刚同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知中，，则按角分类是________三角形． 10．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为________． 11．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 12．如图，在和中，已知，，要证明，可补充的条件是_____．（写出一个即可） 13．如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 14．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 15．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为______． 16．如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（只填序号） 三、解答题（满分72分） 17．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 18．如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 19．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 20．图，点是上一点，交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 23．在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________． 24．如图，已知直线，点A是直线上一个定点，点B在直线上，两平行线之间有一点P，连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)过P作的平分线交直线于点E，延长交直线于点D． （ⅰ）如图2，过B作，交于点F，若．求证：； （ⅱ）若，当时，直接写出的值． 参考答案 1．解：自行车支架一般都会采用的设计， 这种设计方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B． 2．解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 3．解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 4．解：A．∵， ∴第三根木棒的长不可能是，故此选项不符合题意； B．∵， ∴第三根木棒的长可能是，故此选项符合题意； C．∵， ∴第三根木棒的长不可能是，故此选项不符合题意； D．∵， ∴第三根木棒的长不可能是，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据“”证明即可． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴证明的依据是． 故选：D． 6．C 【分析】由题意得，，，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 在和中， ， ； ∴， ，即两堵木墙之间的距离为． 7．A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 9．锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 10． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①当是腰长时， 底边为， ∵， ∴、、不能组成三角形； ②当是底边时， 腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为. 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 12．（或） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 故答案为：或 13．相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：由题意，得，， ． 在和中， ， ． 故答案为：相等． 14． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明得，根据求出即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由角角边的判定定理证明与全等，再由即可求解． 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．①③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理，逐个判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； 没有理由能证明，故②错误； ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，无条件能证明是等边三角形，即不能证明，故④错误， ∴①③正确， 故答案为：①③． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 18．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，选择条件，可利用证明；选择条件，可利用证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴． 19．(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用． （1）根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ，， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 22．(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 23．(1)点Q到直线AC的距离为1； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动，分2类情况讨论：①若点在线段上；②若点在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1． （2）解：作交直线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动， 下面分2类情况讨论： 若点在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 若点在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ∴，， ∴， 解得： ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 24．(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），，， 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，分情况讨论数形结合是解题的关键； （1）过点P作，证得，，即可解答； （2）（ⅰ）证即可解答； （ⅱ）分点D在点A左侧或右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点P作， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴； （2）（ⅰ）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：（ⅱ）过点P作， ∵，， 是的平分线， ∴， 在上取一点，使四边形为正方形， 当点D在点A左侧时， 由（1）的结论可得， ∴， ∴； 当点D在点A右侧时， 由（1）的结论可得， ∴， ∴， ∴； ∴为，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $