第4章三角形 同步练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边的长度可能是（   ） A． B． C． D． 4．用直角三角板作某条边上的高，下列作法正确的是 （ ） A． B． C． D． 5．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 二、填空题 8．已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的另两边长分别是___________． 9．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 10．一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 11．如图，已知，点在边上，若，则______． 12．如图，在中，，，垂足分别为，，若，，，则的长为_____．（用含有，的代数式表示） 13．如图，已知和，点在同一条直线上，，．若，则的长为______ 14．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 三、解答题 15．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 16．已知：如图，，相交于点．请写出图中相等的线段，并进行证明． 17．如图，玲玲想要测量池塘两端的点F、C之间的距离，但点F，C之间的距离不能直接测量，已知点B．F，C，E在同一条直线上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一侧取一点A，再在直线的另一侧取一点D，使得，且，同时，若测得，，求点F、C之间的距离． 18．如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求． 19．如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 20．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】：如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】：（1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 2．D 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，需熟悉并掌握哪些条件能唯一确定三角形是解题关键． 根据三角形全等的判定定理，只有、、、、能唯一确定三角形．逐一分析各选项是否符合这些条件即可． 【详解】解：对于选项A，∵ ，， ，但，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形，故此选项不符合题意． 对于选项B，∵ 给出两边， 和非夹角， 属于条件， ∴不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 对于选项C，∵ 只给出三个角，没有边，相似三角形有相同角但大小不同， ∴ 不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 对于选项D，∵ 给出两个角，和它们的夹边，符合条件， ∴ 能唯一确定，故此选项符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，设第三边为，则，由此即可求解． 【详解】解：设第三边长度为， ∵三角形三边关系：，即， ∴根据题意，符合题意， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：三角形一边上的高一定经过这条边所对的顶点，作边上的高，过作直线的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，由图形可知选项C符合题意， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查根据作图过程，判断三角形全等的依据，由作图过程可知，，，即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是， 故选B． 6．A 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当，时，；②当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当，时，， ∴，， ∴，， 此时，不符合； ②当，时，， ∴，， 解得，， 综上所述：当a的值为1时，能使与全等． 故选：A． 8．7，7 【分析】本题考查等腰三角形的定义和性质，三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论已知边是腰还是底边，利用周长进行求解，最后要验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：① 若已知边长为底边，则腰为 ，此时三边为 ，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）； ② 若已知边长为腰，则 底为，此时三边为 ，但 ，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，另两边长均为 ． 故答案为：7，7． 9． ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知利用，分别证明，，即可求解． 【详解】解：在与中， ，，， ， ， ， ， 在与中， ∵，，， ， 图中全等的三角形有对，它们分别是，． 故答案为：，，． 10． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，得出和的值即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， 对应边相等， 由于两个三角形都有边长为的边， 可能对应，则对应，对应， ，， ． 其他对应关系均导致矛盾，只有这一种情况成立． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，，进而根据三角形内角和定理得到，可知，即可得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先根据“角边角”证明，可得，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．9 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟知三角形全等的判定方法是解题的关键．根据题意用判定方法证得，再根据全等的性质得，则易求得的长． 【详解】解：如图，与交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 15．(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 16．，，，，，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由此得，，，，，再证明，，可得，，，即可求证，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：相等的线段为，，，，，，理由如下， ∵， ∴，，，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，． 17． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F、C之间的距离为． 18．(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）过作的延长线于点，可证，得到，再证明，得到，即可求证； （）由全等三角形的性质得，，即得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作的延长线于点， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）证明：由（）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 20．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $