精品解析：山东济南市历下区2025-2026学年下学期七年级数学学情调研试题

七年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 学校开展“寻找谷雨”实践活动，设有“做香椿饼”、“品谷雨茶”、“赏牡丹花”三项活动，小夏同学随机选择一项参加，“品谷雨茶”被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 1 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意翻开数学书的某页，这页的页码是偶数 B. 任取两个正整数，其和大于1 C. 打开电视机，某频道正在播放新闻联播 D. 2026年8月，趵突泉水位创同期历史新高 4. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C. 等腰三角形“三线合一” D. 三角形具有稳定性 7. 小明在验证三角形三个内角的和等于时，撕下，使其顶点与的顶点重合，一条边与的一条边重合．如图是操作和证明过程，则相应依据正确的是（ ） 解：由操作可知 根据“① ” 所以． 根据“② ” 所以． A. ①两直线平行，内错角相等；②同旁内角互补，两直线平行 B. ①内错角相等，两直线平行；②同旁内角互补，两直线平行 C. ①内错角相等，两直线平行；②两直线平行，同旁内角互补 D. ①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补 8. 如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若 ，则点应是图中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 28 10. 图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时．如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线与入射光线平行，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 12. 如图，一个被分成个扇形的转盘，其中红、黄、蓝扇形的圆心角度数分别为和和，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是______． 13. 如图，一张四边形纸片，，．若将其沿折叠后，恰好使，，则_____度． 14. 如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 15. 如图，在中，，点分别为边垂直平分线上的动点，连接，当周长最小时，_____度． 三、解答题 16. 一个角的补角比这个角的3倍大，求这个角的度数． 17. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下： 随机抽取的乒乓球数 200 400 600 800 1000 优等品数 186 340 534 721 900 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）若购入了此批乒乓球300个，请计算优等品约为多少个． 18. 如图，，，．和全等吗？请说明理由． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出关于直线的对称图形； （2）若格点到点的距离相等（即），则网格中满足条件的点共有_____个； （3）在直线上找一点，使的值最小，请借助网格在图中标出点的位置． 20. 小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形．如图，，．求证：． 21. 图1是某车的侧面示意图，折线段表示后备箱车后盖（可如图打开），过点作地面的垂线段，车后盖的边与平行．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，，与地面平行，，求车后盖打开角的度数． 22. 为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． （1）小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若米，米，求旗杆高度． 23. 一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． （1）从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ （2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； （3）现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 24. 角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A． B． C． D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 25. 如图，有两个全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中的顶点与的斜边中点重合，．将绕点顺时针旋转，边与边交于点，边与边交于点，连接． （1）点到的距离是_____； （2）在的旋转过程中， ①请判断的形状，并说明理由； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，就是轴对称图形， 对四个选项逐一判断． 【详解】解：A跑步图标：找不到能使图形对折后完全重合的直线，不是轴对称图形； B射箭图标：动作左右不对称，对折后无法完全重合，不是轴对称图形； C击剑图标：不存在满足条件的对称轴，对折后无法重合，不是轴对称图形； D举重图标：沿图形中间的竖直线对折，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形． 2. 学校开展“寻找谷雨”实践活动，设有“做香椿饼”、“品谷雨茶”、“赏牡丹花”三项活动，小夏同学随机选择一项参加，“品谷雨茶”被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率计算公式，用所求事件包含的等可能结果数除以所有可能的结果总数即可求解． 【详解】解：∵三项活动被选中的可能性相等，所有等可能的结果总数为3，“品谷雨茶”被选中的结果只有1种， ∴“品谷雨茶”被选中的概率为 ． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意翻开数学书的某页，这页的页码是偶数 B. 任取两个正整数，其和大于1 C. 打开电视机，某频道正在播放新闻联播 D. 2026年8月，趵突泉水位创同期历史新高 【答案】B 【解析】 【详解】解：必然事件是指在一定条件下一定发生的事件． A选项中，任意翻开数学书某页，页码可能是奇数也可能是偶数，该事件是随机事件，不符合要求； B选项中，由最小的正整数是可知，任取两个正整数，和最小为，满足，该事件是必然事件，符合要求； C选项中，打开电视机，频道可能播放其他节目，不一定正在播放新闻联播，该事件是随机事件，不符合要求； D选项中，2026年8月趵突泉水位不一定创同期历史新高，该事件是随机事件，不符合要求． 4. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用 “垂线段最短” 的性质，判断的取值范围． 【详解】解：在中，，是点B到上点D的距离， 根据垂线段最短，知， ， ． 不可能是2， A符合题意． 5. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据“两直线平行，同位角相等”得，再根据“直角三角形的两个锐角互余”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 在中，， ∴． 6. 如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C. 等腰三角形“三线合一” D. 三角形具有稳定性 【答案】C 【解析】 【详解】解：，  为等腰三角形，  ，  为底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线也是底边上的高，  故这一操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 7. 小明在验证三角形三个内角的和等于时，撕下，使其顶点与的顶点重合，一条边与的一条边重合．如图是操作和证明过程，则相应依据正确的是（ ） 解：由操作可知 根据“① ” 所以． 根据“② ” 所以． A. ①两直线平行，内错角相等；②同旁内角互补，两直线平行 B. ①内错角相等，两直线平行；②同旁内角互补，两直线平行 C. ①内错角相等，两直线平行；②两直线平行，同旁内角互补 D. ①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【详解】解：由操作可知，， 观察图形可知，与是直线、被直线所截形成的内错角， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴①处的依据是“内错角相等，两直线平行”， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴②处的依据是“两直线平行，同旁内角互补” ． 8. 如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若 ，则点应是图中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可知对应边相等，可得，利用勾股定理计算出的长度，再分别计算点到点的距离，即可确定点的位置． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为，  ，  ，  由勾股定理得，，  由勾股定理得：，，，， ，  ∴点应是点． 9. 如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 10. 图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时．如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线与入射光线平行，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，得到，设，则，利用平行线的性质，以及光的反射现象，列式计算即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 12. 如图，一个被分成个扇形的转盘，其中红、黄、蓝扇形的圆心角度数分别为和和，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，蓝色扇形的圆心角度数为，整个圆的圆心角为，  ∴指针落在蓝色区域的概率为． 13. 如图，一张四边形纸片，，．若将其沿折叠后，恰好使，，则_____度． 【答案】60 【解析】 【分析】延长交于点，利用平行线的性质和折叠的性质求得，再利用四边形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ，  ，  ，  ，  ． 15. 如图，在中，，点分别为边垂直平分线上的动点，连接，当周长最小时，_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质求得，，推出当共线时，周长最小，利用三角形内角和定理结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵点分别为边垂直平分线上的动点， ∴，， ∴， ∴当共线时，周长最小，如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 16. 一个角的补角比这个角的3倍大，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，补角的定义，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角是和为． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，根据题意得： ， 解得：， 答：这个角的度数为． 17. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下： 随机抽取的乒乓球数 200 400 600 800 1000 优等品数 186 340 534 721 900 根据以上信息，回答下列问题： （1）______； （2）若购入了此批乒乓球300个，请计算优等品约为多少个． 【答案】（1）0.9 （2）270 【解析】 【分析】（1）先计算每次抽查的优等品率，再观察这些率的变化趋势，找到稳定趋近的数值，该数值即为． （2）先利用问题（1）得到的稳定优等品率，再用总数乘以优等品率来计算． 【小问1详解】 解：抽取800个时优等品率约为， 抽取1000个时优等品率为， 结合图像可知稳定后的． 【小问2详解】 购入300个时，优等品数量约为个． 18. 如图，，，．和全等吗？请说明理由． 【答案】 全等，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 在和中，  ，  ． 【解析】 【分析】因为已知，所以可利用平行线的性质得到一组对应角相等．因为已知，所以通过等式性质可推导出．结合已知，找到对应的边和角，匹配全等判定定理来证明． 【详解】解：略． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出关于直线的对称图形； （2）若格点到点的距离相等（即），则网格中满足条件的点共有_____个； （3）在直线上找一点，使的值最小，请借助网格在图中标出点的位置． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）5 （3） 如图所示，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）先分别找出A、B、C三点关于直线l的对称点、、，再顺次连接这三个对称点得到． （2）因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以先作出线段的垂直平分线，再数出该垂直平分线上的格点数量． （3）先找出点C关于直线l的对称点，再连接该对称点与点B，这条线段与直线l的交点即为点Q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知网格中满足条件的点分别有，，，，共有5个； 【小问3详解】 略 20. 小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形．如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ，∴ ； ∵，∴  ，  ∴； ∵，∴  ；∴ ． 【解析】 【分析】因为已知，根据平行线的性质定理，可推出相关角的关系．因为已知，结合前面由得到的角的关系，可推导出能判定的角的等量关系． 【详解】略． 21. 图1是某车的侧面示意图，折线段表示后备箱车后盖（可如图打开），过点作地面的垂线段，车后盖的边与平行．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，，与地面平行，，求车后盖打开角的度数． 【答案】70度 【解析】 【分析】因为，，，所以可先利用平行线的性质推导相关角度关系求出，进而得出的度数．因为已知，，所以可先在中利用三角形内角和定理求出的度数．最后根据求解． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴． ∵，， ∴． ∴ ． 22. 为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． （1）小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若米，米，求旗杆高度． 【答案】（1） 解：认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，，  ． 在和中， ， ，  ， 因此认同小明的观点． （2）米 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴米， 又∵米，  米， 由（1）已证，  米． 23. 一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． （1）从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ （2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； （3）现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【答案】（1） （2） 解：游戏不公平，理由如下： 由（）可知，标有的数字是奇数的概率是，所以标有的数字是偶数的概率是，即小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平； （3）乙盒子获得奖励的概率更大 【解析】 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）分别求出两人获胜的概率即可判断求解； （）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解； 本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种， ∴标有的数字是奇数的概率是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，； 当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，，，； 甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为；乙盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为， ∵， ∴乙盒子获得奖励的概率更大． 24. 角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A． B． C． D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 【答案】（1）C （2） （3）解：射线是的平分线，理由如下： ∵， ∴，，， ∴，即． 又， ， ∴． 在和中：， ， ，即是的平分线． 【解析】 【分析】（1）因为作图步骤中得到了三组对应边相等，所以可利用全等三角形的判定定理来确定依据，进而判断是角平分线的理由． （2）因为是角平分线，根据角平分线的性质可得到点L到的距离等于的长度；然后利用三角形面积公式，代入对应底和高的数值即可计算面积． （3）因为已知两个三角形全等，所以可得对应边、对应角相等；再结合已知条件，可证明 ，根据全等三角形对应角相等，得到，从而判断是否为角平分线． 【小问1详解】 解：由尺规作图步骤可得：，，为公共边，三边对应相等，依据判定，从而得到是角平分线，因此选C． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， 又∵，， ∴点到的距离h也等于．  ∴． 【小问3详解】 略 25. 如图，有两个全等的等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中的顶点与的斜边中点重合，．将绕点顺时针旋转，边与边交于点，边与边交于点，连接． （1）点到的距离是_____； （2）在的旋转过程中， ①请判断的形状，并说明理由； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2） ①是等腰直角三角形，理由如下： ∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点， ∴， ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ② 【解析】 【分析】（）连接，过点作于，可得 ， ，再根据三角形面积公式解答即可求解； （）①证明，可得，即可求证；②由全等三角形的性质得，设，则，可得，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴ ， ∵点是斜边的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得， ∴点到的距离是； 【小问2详解】 解：①略 ②∵ ， ∴， 设，则， ∴， ∵ ， ∴， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $