精品解析：山东省济南市历下区2024--2025学年下学期七年级期中考试数学试题

2024~2025学年第二学期七年级期中教学质量检测数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本事件，熟练掌握基本事件的分类是解题的关键．根据经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯进行判断即可． 【详解】解：经过有交通信号灯路口，可能遇到红灯，可能遇到绿灯， 故这个事件是随机事件， 故选B． 2. 如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，结合量角器求出圆心角的度数即可． 【详解】解：由图和对顶角相等，可得：这个扇形零件圆心角的度数为； 故选A． 3. 2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等可能事件的概率公式求解． 本题考查概率的基本计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：总共有6部影片，每部影片被选中的可能性相等，其中《哪吒之魔童闹海》是1部，因此所求概率为成功事件数（1）除以总事件数（6），即． 故选：A． 4. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故选：C． 5. 某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（ ） A. 50 B. 56 C. 60 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 6. 如图，在四边形中，连接，且点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：A．∵，∴，故不能判断； B．∵，∴，故不能判断； C．∵，∴，故能判断； D．∵，∴，故不能判断； 故选：C． 7. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得BD=DC，然后由△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+AD+DC，进而可求解． 【详解】解：如图所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∵的周长为16cm，AB比AC长3cm， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD=16cm， ∴AC+3+BD+AD=16cm， ∴△ACD的周长为AC+AD+DC=13cm， 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 8. 如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 9. 如图，已知点P在直线外，在直线上任取一点Q，以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点M；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则的依据为（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 内错角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了基本作图和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是关键．连接，根据作图得到，由内错角相等，两直线平行即可证明结论成立，得到答案． 【详解】解：连接， 由作图可知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：C 10. 如图，将长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方形性质，折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，计算解答． 【详解】解：∵长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．， ∴，，， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知∠A＝30°，则∠A的余角为_____°． 【答案】60 【解析】 【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余，依此解答即可． 【详解】解：∵∠A＝30°， ∴∠A的余角＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了余角的定义，属于基础题目，熟练掌握余角的概念是解题关键． 12. 如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可利用“”判断， 故答案为：． 13. 一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中9所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何图形面积，先求出黑色方格面积和整个图的面积，再求出黑色方格的面积除以整个图的面积，即可求解；会求几何图形的概率是解题的关键. 【详解】解：由图得 黑色方格的面积为：， 整个图的面积为：， 小鸟停在黑色方格中的概率是， 故答案为：. 14. 如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为6，点E为射线上的动点，连接，作，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，垂线段最短，找出在直线上，即可求解；找出动点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， 又， （）， ， ， 在直线上， 时，的值最小， 与重合时，的值最小， 此时， 故答案：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，直线，相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，垂直的定义等知识，根据对顶角的性质求出，根据垂直的定义得出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后； （1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ （2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？ 【答案】（1） （2）放入了10个红球 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，解题的关键是： （1）分析出题中从袋中随机摸出一个球共有24种等可能结果，其中取出红球包含4种情况，由概率公式求解即可得到答案； （2）设放入红球x个，由概率公式列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球， ∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况， ∴取出红球的概率为； 【小问2详解】 解：设放入红球x个， 根据题意，得， 解得， 答：放入了10个红球． 18. 某学校组织七年级全体学生进行“探究豌豆种子萌发条件”的实验，各小组将若干粒豌豆种子放在一个铺好纸巾的培养皿中，在不同的条件下观察豌豆种子萌发情况，并汇总各组数据，完成以下探究： 培养皿的条件 甲 乙 丙 温度 23℃ 23℃ 5℃ 纸巾状态 干燥 潮湿 潮湿 发芽率 ①_____ ②_____ ③_____ 其中部分小组在甲种和丙种情况下，试验数据均为下表所示： 豌豆种子个数n 5 50 100 200 500 1000 发芽种子个数m 0 0 0 0 0 0 发芽种子频率 0 0 0 0 0 0 （1）由此可得，①处应填______，③处应填_____； 其中部分小组在乙种情况下，试验数据为下表所示： 豌豆种子个数n 5 50 100 200 500 1000 2000 4000 发芽种子个数m ④_____ 44 92 189 476 950 1900 3800 发芽种子频率 0.800 0.880 0.920 0.945 0.952 ⑤_____ 0.950 0.950 （2）通过计算，④处应填_______；⑤处应填_______； （3）由此估计，②处应填_______；因此，通过本次对照试验可得，除充足的空气以外，适宜的温度和适量的水分也是豌豆萌发的必要条件． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了频率的应用，由频率估算概率；根据表格的数据及频率的定义，由频率估算概率即可求解； （1）有表格数据，即可求解； （2）由表格数据得④，⑤，即可求解； （3）由表格数据得最后频率稳定的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由表格得 甲种和丙种情况下的发芽率都是， ①处应填，③处应填， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得 ④， ⑤， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由表格得 ②， 故答案为：． 19. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图： （1）过点E作线段的平行线，并标出平行线所过的格点G； （2）过点D作线段的垂线，并标出垂线所过的格点F； （3）的面积为______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，网格三角形面积等； （1）将向右平移，向下平移得，由平移的性质得，即可求解； （2）将向下平移得，由平移的性质得，由判定，结合全等三角形的性质，即可求解； （3）由，即可求解； 能利用平移的性质及全等三角形的判定及性质作图，割补法求三角形面积是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，将向右平移，向下平移得，故， 直线、点为所求； 【小问2详解】 解：如图， 将向下平移得， ， ，，， （）， ， ， ， ； 是的垂线，为求作的格点； 【小问3详解】 解：如图， ． 故答案为：． 20. 如图，在中，，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的性质得出，结合已知可得出，根据平行线的判定可得出，然后根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22. 数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离．小荷先沿方向走2.5米至点C，又沿着与垂直的方向走了3米至点D，并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小荷求出的长． 【答案】的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，即可求解． 【详解】解：由题意得米，米，米，， 点在同一直线上， 在和中，， ∴， ∴米， ∴米， 答：的长为米． 23. 在制作“地球仪”实实践活动中，小明根据以下制作原理绘制了“地球仪”平面设计图，并解决以下问题： 绘制“地球仪”平面设计图（从正面看） 制作原理 原理1 原理2 原理3 如图1，确定地球上两极和赤道的位置，连接南北两极确定地轴，地轴与赤道平面垂直； 如图2，地轴倾斜角为66.5°； 如图3，利用三角形的稳定性制作支架，保证地球仪的稳定； 问题解决 将以上问题抽象为以下数学问题：如图4，已知，，，，点E在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，结合角的和差，即可求解；能熟练利用平行线的判定及性质求角度是解题的关键． 详解】解：过作， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的有关计算及角关系探究等；掌握平行线的判定，能熟练利用角平分线的定义进行求解是解题的关键． （1）由补角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解； （2）由角平分线的定义得，，由，即可求解； （3）当时，即可求解． 【详解】解：（1）； 理由如下：， ， ； （2）平分， 平分， ， ， ， ； （3）当时，为直角三角形， ； ， ， 为直角三角形． 25. 【模型探究】 已知是等腰直角三角形，，．过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． （1）如图1，已知，，连接，则的面积为______； （2）如图2，已知，，连接，则的面积为______． 【方法迁移】 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，．又以为斜边构造，其中，求的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在中，，，．请以为边在左侧构造等腰直角三角形，连接构造，则的面积为_____． 【答案】（1）（2）（3）（4）或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，并能构建全等三角形是解题的关键． （1）由可判定，由全等三角形的性质得，求出，由三角形的面积，即可求解； （2）由（1）同理可证，同理可求； （3）过作交于，同理可证，由全等三角形的性质得，即可求解； （4）①如，，过作于，作交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，求出 ，即可求解； ②，，过作交延长线于，同理可求，即可求解；③如，，过作于，作交的延长线于，同理可求． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）由（1）同理可证：， ， ； 故答案为：； （3）过作交于， ， ， ， ， ， ， （）， ， ； 故答案为：； （4）①如图，，，过作于，作交的延长线于， ， ， ，， ， ， 同理可证：， ，， ， ， ， ， （）， ， ，， ， ， 解得：， ， ； ②如图，，，过作交延长线于， ， ， ， ， （）， ， ； ③如图，，，过作于，作交的延长线于， 同理可求：， ； 综上所述：的面积为或或； 故答案为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期七年级期中教学质量检测数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 2. 如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（ ） A. 50 B. 56 C. 60 D. 66 6. 如图，在四边形中，连接，且点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点P在直线外，在直线上任取一点Q，以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点M；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点Q为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则的依据为（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 内错角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 10. 如图，将长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知∠A＝30°，则∠A的余角为_____°． 12. 如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为______． 13. 一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中9所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是____． 14. 如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 15. 如图，正方形的边长为6，点E为射线上的动点，连接，作，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，直线，相交于点O，，若，求的度数． 17. 一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后； （1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ （2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？ 18. 某学校组织七年级全体学生进行“探究豌豆种子萌发条件”的实验，各小组将若干粒豌豆种子放在一个铺好纸巾的培养皿中，在不同的条件下观察豌豆种子萌发情况，并汇总各组数据，完成以下探究： 培养皿的条件 甲 乙 丙 温度 23℃ 23℃ 5℃ 纸巾状态 干燥 潮湿 潮湿 发芽率 ①_____ ②_____ ③_____ 其中部分小组在甲种和丙种情况下，试验数据均为下表所示： 豌豆种子个数n 5 50 100 200 500 1000 发芽种子个数m 0 0 0 0 0 0 发芽种子频率 0 0 0 0 0 0 （1）由此可得，①处应填______，③处应填_____； 其中部分小组在乙种情况下，试验数据为下表所示： 豌豆种子个数n 5 50 100 200 500 1000 2000 4000 发芽种子个数m ④_____ 44 92 189 476 950 1900 3800 发芽种子频率 0.800 0.880 0.920 0.945 0.952 ⑤_____ 0.950 0.950 （2）通过计算，④处应填_______；⑤处应填_______； （3）由此估计，②处应填_______；因此，通过本次对照试验可得，除充足的空气以外，适宜的温度和适量的水分也是豌豆萌发的必要条件． 19. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图： （1）过点E作线段的平行线，并标出平行线所过的格点G； （2）过点D作线段的垂线，并标出垂线所过的格点F； （3）的面积为______． 20. 如图，在中，，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 21. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 22. 数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离．小荷先沿方向走2.5米至点C，又沿着与垂直的方向走了3米至点D，并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小荷求出的长． 23. 制作“地球仪”实实践活动中，小明根据以下制作原理绘制了“地球仪”平面设计图，并解决以下问题： 绘制“地球仪”平面设计图（从正面看） 制作原理 原理1 原理2 原理3 如图1，确定地球上两极和赤道的位置，连接南北两极确定地轴，地轴与赤道平面垂直； 如图2，地轴倾斜角66.5°； 如图3，利用三角形的稳定性制作支架，保证地球仪的稳定； 问题解决 将以上问题抽象为以下数学问题：如图4，已知，，，，点E在上，且，求度数． 24. 【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 25. 【模型探究】 已知是等腰直角三角形，，．过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． （1）如图1，已知，，连接，则的面积为______； （2）如图2，已知，，连接，则的面积为______． 【方法迁移】 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，．又以为斜边构造，其中，求的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在中，，，．请以为边在左侧构造等腰直角三角形，连接构造，则面积为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$