精品解析：浙江金华市义乌市丹溪中学2025--2026学年期中质量检测九年级数学试题卷

丹溪中学期中质量检测九年级数学试题卷 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比-4小的数是（ ） A. -5 B. -3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：∵-5＜-4＜-3＜1＜0， ∴比-4小的数是-5， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的运算规则，逐个判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 3. 如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 先根据题意得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵已知物和像都与主光轴垂直，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况， ∴恰好选中两名男学生的概率是：． 故选A． 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率． 5. 利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，为的弦，于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由直角三角形的性质求出，再由圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 7. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴ . 8. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行列式即可． 【详解】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱， 即， 故选A． 9. 在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 或15 B. 15或 C. 或 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点． 10. 如图①，菱形的对角线相交于点，，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图②所示，图中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，先由菱形的性质得到，，再推出当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点P与点D重合，则当时，，则，利用勾股定理求出，，当时，，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点P与点D重合， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 14. 方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 15. 如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造特殊图形以及全等和相似三角形，是解题的关键：延长至点，使得，连接、，易得为等边三角形，证明，得到，证明，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ，， ， 又， ， ， ∴， ， ； 故答案为：． 16. 如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与、相交于点、，连接，由题意可得直线，、、三点共线，设，则，，证明，得出，设，则，，由对称性可得，，故，求出，，证明，得出的边上的高为，求出，，即可得解． 【详解】解：设直线与、相交于点、，连接，如图： ， ∵线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上， ∴直线，、、三点共线， ∵， ∵， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由对称性可得，，故， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的对应高之比为， ∴的边上的高为， ∴，， ∴，， ∴四边形与的面积之比为． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了立方根，零次幂，先化简绝对值，运算立方根以及零次幂，再运算减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线． （1）尺规作图：在射线上找一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）根据（1）的作法，若，直接写出的长． 【答案】（1） 根据题意，以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接，如图， 则点F即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，连接即可． （2）作于点H，根据矩形的判定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点H， 是等腰直角三角形，是斜边上的中线，， ，，， ， ， ， 故四边形是矩形， ， ． 20. 在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示． （1）求九（1）班A等级的百分比． （2）已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩． （3）金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数． 【答案】（1） （2）分 （3）280名 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以总人数，再乘以百分之一百即可得到答案； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用1000乘以抽取的50名学生中A等级的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 答：九（1）班A等级的百分比为； 【小问2详解】 解：∵一共有名学生， ∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数， ∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分， ∴小义的成绩是分； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校A等级的总人数为280名． 21. 某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． （1）如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； （2）如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）可行 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】（1） （2） （3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【解析】 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 23. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）当时，y的最大值为8，求a的值； （3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可解答； （2）根据抛物线的开口方向，分情况讨论即可； （3）先根据题意，得出是最小的函数值，再根据抛物线的开口方向，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：， 该二次函数图象的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大． ，且，，， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得； 当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得，， 综上，a的值为或． 【小问3详解】 解：由题可知，是最小的函数值， 由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点， ，， 当时，， ， ， ∴关于关于的函数图像开口向下，当时取最大值， ∵， 随的增大而减小， 当时，， ∴； 当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去， 综上，的取值范围是． 24. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】（1） 解：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线； （2）证明，得，得，可得，证明，得,，由,得； （3）过点E作于点G，则，当四边形面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得，∴，得，由，得,即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或； 【小问3详解】 过点E作于点G， 则， 当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹溪中学期中质量检测九年级数学试题卷 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比-4小的数是（ ） A. -5 B. -3 C. 0 D. 1 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是凸透镜成像原理图，已知物和像都与主光轴垂直，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（） A. B. C. D. 5. 利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的弦，于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，在反比例函数的图象上．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 或15 B. 15或 C. 或 D. 不存在 10. 如图①，菱形的对角线相交于点，，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图②所示，图中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 分解因式：_______． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 14. 方程的解为_______． 15. 如图，在等边三角形中，点在边上，，连接，点在线段上，连接．若，，则的值为________． 16. 如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线． （1）尺规作图：在射线上找一点，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）． （2）根据（1）的作法，若，直接写出的长． 20. 在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示． （1）求九（1）班A等级的百分比． （2）已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩． （3）金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数． 21. 某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． （1）如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； （2）如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 23. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）当时，y的最大值为8，求a的值； （3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 24. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $