第6章 图形的相似 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

.最小值为0，且当x>0时，y随x 增大而增大 18.(1)把P(-2,3)代人y=x2+ a.x+3,得(-2)2-2a+3=3,解得 a=2. .该二次函数的表达式为y=x2十 2.x+3=(x+1)2+2 ∴.图像的顶点坐标为（一1,2）. (2)①把x=2代人y=x2+2x+3, 得y=11. ∴.当m=2时，n的值为11. ②2≤n<11. 19.(1),抛物线y=a.x2十bx十a 4的对称轴是直线x=1, .b=-2a. .y=ax2-2ax +a-4=a(x- 1)2-4. ∴.抛物线y=a.x2+bx十a一4的顶 点坐标为(1，一4). (2)分两种情况讨论： ①当a<0时，抛物线开口向下，y有 最大值一4，不符合题意，舍去. ②当a>0时，抛物线开口向上 .1-(-2)>3-1, .当x=一2时，y取得最大值5. 将(-2,5)代人y=a(x-1)2-4,得 (-2-1)2a-4=5,解得a=1. 综上所述，a的值为1. 20.(1)把(-1,5)代人y=x2- (m+1)x+2m+3,得5=1+m+1+ 2m十3，解得m=0. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= x2-x+3. (2).y=x2-(m+1)x+2m+3= x2mx一x+2m+3=x2-x+ m(-x+2)+3,当x=2时，y=5, ∴.抛物线开口向上，经过定点(2,5). 设EF所在直线对应的函数表达式为 y=kx+b(k≠0). 将E(一1，一1)、F(3,7)代人，得 -1=-k+b, k=2, 解得 7=3k+b, b=1. .y=2.x+1. 将x=2代人y=2x+1,得y=5. .点(2,5)在直线y=2x+1上. 如图①，当x=一1时，抛物线在点E 的下方，符合题意， 把x=-1代人y=x2-(m+1)x+ 2m+3,得y=5+3m '.5+3m<-1,解得m<-2. 如图②，当x=3时，抛物线在点F的 下方，符合题意。 把x=3代人y=x2-(m+1)x+ 2m+3,得y=9-m. .9-m<7,解得m>2。 令x2-(m+1)x+2m+3=2x+1. 整理，得x2-(m十3)x+2m十2=0. 当(m+3)2-4(2m+2)=0时，符合 题意. .m1=m2=1. 综上所述，当m<-2或m>2或 m=1时，符合题意。 :抛物线的对称轴为直线x= -(m+1)_m+1 2 ∴.该抛物线的顶点的横坐标的取值 范围是x< 2或x>或x=1 .3 ① ② (第20题) 21.(1)由题意，得y=P+8T 10x+8×21-x+2)x+47 8 整理，得y=-x2+4x十160. 当y=148时，-x2+4x+160=148, 解得x1=6,x2=-2. 0≤x≤9， x=6. ∴该商场建造的隔热层厚度为 6厘米 (2)由(1)，得y=-x2+4x+160. t=y十x2, 74 '.1=-x2+4x+160+x2=4x+ 160. 4>0, ∴1随x增大而增大. :172≤1≤192， ∴.当t=172时，4x+160=172,解得 x=3;当t=192时，4x+160=192, 解得x=8. ∴.x的取值范围是3≤x≤8. 22.(1):安排x名工人加工“雅”服 装，y名工人加工“风”服装， .安排(70一x一y)名工人加工“正” 服装. “正”服装的件数和“风”服装的件 数相等， .(70-x-y)×1=2y. 签理，得y=子十 70 (2)根据题意，得“雅”服装每天获利 x100-2(x-10)]元. .'.=2yX24+(70-x-y)×48+ x100-2(x-10)]. .0=-2.x2+72x+3360(x≥10). (3)由(2)，得e=-2x2+72x+ 3360=-2(x-18)2+4008. ∴.当x=18时，w取得最大值，此时 y=-1 ×18+3=3 7052 y为整数， ∴.x≠18. ,该二次函数的图像开口向下， '.取x=17或x=19 53 当x=17时，y=3,不符合题意：当 x=19时，y=17,符合题意. ∴.70-x-y=34. .安排19名工人加工“雅”服装， 17名工人加工“风”服装，34名工人加 工“正”服装，可使每天获得的总利润 最大 第6章拔尖测评 一、1.D2.D 3.D解析：如图，过点D作DG∥ BC,交AB于点G,交EF于点H,则 易得DG=CB,DH=CF,HG=FB, BG=FH=CD=3...EH=2,AG- 7.ABEF,'.△DEH∽△DAG .EH AG=2:7=DH DG. .CF CB=2:7...CF:FB= 2：5. D C /、H G (第3题) 4.C解析：∠ABC=90°， ∴.∠ABD+∠CBD=9O.BD⊥ AC,∴.∠ADB=∠BDC=90°，则 ∠ABD+∠A=90°..∠A= ∠CBD.'.△ABDC∽△BCD. “职品 :△BCD和△ABD 的面积比为9：16， BD 4 CD=12,.BD=16. 5.D 6.C解析：过点D作DG∥AB,交 CE于点G.∴.∠AEF=∠DGF. F是AD的中点，AF=DF,在 △AFE和△DFG中， ∠AEF=∠DGF, ∠AFE=∠DFG,.△AFE≌ AF-DF, △DFG.∴.AE=DG..·DG∥BE &△cGO△CBE.e-器 .CD “BD=,设CD=,BD=1 器心服中 AEn 7.C解析：如图，过点A作AE x轴于点E,过点A'作A'F⊥x轴于 点F.B(-2,0)、C(-1,0)、B(1, 0)、A'(2,-3),∴.OB=2,OC OB'=1,OF=2,A'F=3.∴.BC=1, CB'=2,CF=3.,△ABC∽ △4Bc,器=器= BC 1 AE=:∠ACE=∠A'CP, ∠AEC=∠A'FC=90°，∴.△AEC∽ △ArC既-=2c g.·0E=c+0c= 5 A(-) B'F EB (第7题) 8.D解析：①·四边形ABCD是 正方形，∴.OC=OB,AC⊥BD, ∠OCF=∠OBE=45°.，∴.∠BOC= 90.又，∠EOF=90°，∴.易得 ∠BOE=∠COF.∴.△BOE≌ △COF.故①正确.②，四边形 ABCD是正方形，.∠BCD=90° ∴.∠EOF=∠ECF=90°.∴.O、E、 C、F四点共圆.∴.∠EOG=∠CFG, ∠OEG=∠FCG..△OGEC∽ △FGC.故②正确.③，△BOE≌ △COF,∴.S△oE= S△coF· 1 ·.S阳边形CF=S△r=4SE方彩D= 1.故③正确.④，四边形ABCD是 正方形，0C=2AC,BC=CD. ,△BOE≌△COF,.BE=CF, OE=OF.又：∠EOF=90°， ∴.△EOF是等腰直角三角形. ∴.∠OEG=45°=∠OCE. :∠EOG=∠COE,∴.△OEG △0R∴8裴8e0G0c OE.·OC=2AC,易知OE= [号EF,0G·AC=EF2,:BE月 CF,BC=CD,∴.CE=DF.在 Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2, .BE2+DF2=EF2..OG.AC= BE2+DF2..∴.DF2+BE2=2OG· OC.故④正确.综上所述，正确的是① ②③④. 二、9.17010.①②③11.45 12.913.36或90或108 75 14.2.8解析：过点C作CD⊥y轴 于点D,设AC交y轴于点E. ∴.CD∥x轴.∴.∠ECD=∠EAO, ∠CDE=∠AOE=90°..'.△DECc∽ △OEA.∠BCA=2∠CAO, '.∠BCD=∠ECD..易知BD= DE.设BD=DE=x,则OE=4 2,△nc0△0EA,÷折 器即子-产解得x=12.经 检验，x=1.2是原分式方程的解，且 符合题意.∴.DE=1.2,OE=4-2X 1.2=1.6..OD=DE+OE=1.2+ 1.6=2.8.∴.n的值为2.8. 15.4-22解析：：∠ACB=90°， AC=BC=2,∴.△ABC是等腰直角 三角形.·易得∠BAC=46,把 √2.：△ADE是等腰直角三角形， :易得∠DAE=5,祀=E ·∠BAD=∠CAE,C=0 ∴.△ABD△ACE.△CEF与 △ABD相似，.'.△ECFC△ACE. ∴.∠CEF=∠CAE.:∠AEF= ∠DCF=90°，∠AFE=∠DFC, ∴.∠CAE=∠CDF.∴.∠CEF= ∠CDF..CE=CD.设BD=x,则 CD=CE=2-x.·△ABDn △AcE器被-E,即号 √2，解得x=4一2√2.经检验，x=4 2√2是原分式方程的解，且符合题意 .BD的长为4-22. 16.1255解析：根据题意，得CD= EF=5步，DF=1000步，DG= 123步，FH=127步.CD∥AB, .△GCD∽△GAB.AB=GB CD GD :EF∥AB,∴.△HEF∽△HAB. 需器CD=F需 那设D=步，则 123 127 127+1000+x,解得x=30750,经检 验，x=30750是原分式方程的解，且 符合题意.∴.GB=BD+DG=30873步. :AB=CD:GB-1255步.山峰 GD AB的高度为1255步 三、17.(1)AB的垂直平分线交 边BC于点E,∠ACB=90°， .AE=BE,∠FDA=∠FDB= ∠ACB=∠FCE=90° .∠DAE=∠B. :∠DEB=∠CEF,∠B=90°- ∠DEB,∠F=90°-∠CEF, ∠B=∠F ∴.∠F=∠DAE :∠ADE=∠FDA, ∴.△ADE△FDA. (2)DE=2EF=2 ∴.EF=1,则DF=DE+EF=3. .△ADEO△FDA, 部器 .AD2=DE·DF=6. .在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=√AD+DE=√I0. 18.(1)如图，图案②即为所求作. (2)如图，图案③即为所求作. ③ (第18题) 19.(1)连接OD、CD. ,∠ACB=90°， .∠OCD+∠DCE=90° OC=OD, ∴.∠OCD=∠ODC. :AC是⊙O的直径， .∠ADC=90. .∴.∠CDB=180°-∠ADC=90 :E是边BC的中点， DE-CE-TBC. ∴.∠DCE=∠CDE. ∴.∠ODC+∠CDE=∠OCD+ ∠DCE=90°」 ∴.∠ODE=90 ,OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线 (2)AD=4,BD=9, '.AB=AD+BD=4+9=13. :∠ACB=∠ADC=90°，∠A= ∠A, '.△ACB∽△ADC “船把 ∴.AC2=AD·AB=4X13=52. '.AC=2√13（负值已舍去）. ∴.⊙0的半径为√3 20.(1)D是△ABC的“理想点”. 理由：D是AB的中点，AB=4, ∴.AD=DB=2. :AC2=(22)2=8,AD·AB=8, ∴.AC2=AD·AB. .AC=AD LAB AC ∠A=∠A, .'.△ACDc△ABC .∠ACD=∠B. ∴.D是△ABC的“理想点” (2)如图， ,D是△ABC的“理想点”， ∴.∠ACD=∠B或∠BCD=∠A. 当∠ACD=∠B时， ∠ACD+∠BCD=90, ∴.∠BCD+∠B=90. ∴.∠CDB=90°，即CD⊥AB. 当∠BCD=∠A时，同理，可得 CD⊥AB. :在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB=5,AC=4, ∴.BC=V√AB2-AC=3. :2AB·CD=2AC·BC, 76 CD=12 1 B (第20题) 21.(1)△ABCc△ADE, ·∠Ba=∠DAB8e :装-0∠C-∠CAD ∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE. ∴.△ABDC∽△ACE. (2)AE∥BC, .∠ACB=∠CAE 由(1)，知∠BAD=∠CAE, .∠BAD=∠ACB. ∠ABD=∠CBA, ∴.△ABDC∽△CBA. +常照 AB=4,BC=5, 六M-9 (3)由(1)，知△ABDc∽△ACE. ·∠Am=∠E=w授罡 ∴.∠ACB+∠ECF=90. EF⊥BC, ∴.∠ABC=∠CFE=90°. ∴.∠CEF+∠ECF=90. ∴.∠ACB=∠CEF ∴.△ABCc∽△CFE. “0品 “装器 “报梁 …器器 ∴BD=CF. 22.(1)①1.解析：·∠ACB= 90°，∠CAB=45°，.∠ABC= ∠CAB=45°.∴.CA=CB.同理，可 得CD=CE.,∠ACB=∠DCE= 90°，∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE ∠BCD,即∠ACD=∠BCE. ∴.△ACD≌△BCE..AD=BE. ②90°.解析：△ACD≌△BCE, .∠CAB=∠CBE=45. ∴.∠DBE=∠CBE+∠ABC=9O. (2),∠ACB=∠DCE=90°， ∠CAB=∠CDE=60°， ∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE- ∠BCD,即∠ACD=∠BCE, ∠CED=∠ABC=90°-60°=30. 易得AC=合AB. ∴.BC=√AB-AC=√5AC. 同理，可得是号 3 “瓷罡 又：∠ACD=∠BCE, ∴.△ACD△BCE. BE :AD BC -AC =3,∠CBE= ∠CAD=60°. ∴.∠DBE=∠ABC+∠CBE=9O. a)由(2.知船-C=。 ∠DBE=90°，∠CAB=60°，AB= 2AC. .BE=3AD. AC=3, .AB=6. 设AD=x,则BE=√3x,BD=6-x. 在Rt△DBE中，BD+BE=DE, .(6-x)2+(W5x)2=(2√7)2，即 x2-3.x+2=0,解得x=1或x=2. ∴.AD的长为1或2. 期中拔尖测评 -、1.C2.B3.D4.A 5.D解析：由题意，可得AC∥DE, ∠C=∠D=90.∴.∠PAC=∠E. &△ACPo△EDA.:品品 ,AC=90米，AD=30米，DE= 22.5米，.PC=120米..AP= √PC2+AC=√1202+902= 150(米).∴.点A与点P之间的距离 为150米. 6.A 7.C解析：①二次函数y= a.x2十bx十c的图像开口向上，∴.a> 0.·图像的对称轴在y轴的右侧， -步>0.b<0.:二次函数 :.2a1 y=a.x2+bx十c的图像与y轴的负 半轴相交，∴.c<0..bc>0.故①错 误.②：二次函数y=ax2十bx十c 的图像的对称轴为直线x=1, -力=1，即b=一2a.记函数y :.2a ax2+bx十c的图像交x轴于另一点 C则易得C(一1,0).将C(一1,0)代 入y=a.x2+bx+c,得a一b+c=0. .3a十c=0.∴.3a十2c=c<0.故② 正确.③，”二次函数y=ax2十bx十 c的图像的对称轴为直线x=1,a> 0,∴.当x=1时，y=a.x2十bx十c取 得最小值，最小值为a十b十c. ∴.ax2+bx+c≥a+b+c..a.x2+ bx≥a+b.故③正确.④由题意及②， 得C=(-1)×3=-3,.c=-3a. -2<c<-1,∴.-2<-3a< -1<a<号.6=-2a, ∴.a+b+c=a-2a-3a=-4a. ·-号<a十6十c<-亭故④正 确.综上所述，正确的有②③④，共 3个. 8.C解析：由题意，可得点D的坐 标为(0,2)，点C的坐标为(8,2).将 1 D(0,2)和C(8,2)代人y=-4x2+ 12=c, bx+c,得 1 解 2=-4×82+86+c,1 77 2”y=-女+2x+2令 得 {c=2. x=4,可得y三一1×42十2×4+ 2=6.∴.隧道顶端点N到地面AB的 距离为6m. 1 =、9.310.9 11.6解析：a-b2=4,∴.b2= a-4.∴.原式=a2-3(a-4)十a 14=a2-2a-2=(a-1)2-3. b2=a-4≥0，.a≥4.1>0， ∴.当a≥4时，原式的值随a增大而 增大.∴.当a=4时，原式取得最小 值，最小值为6. 12.16或25解析：△ADE与 △ABC相似，，'.△ADE∽△ABC或 △AEDC∽△ABC.①当△ADE∽ △ABC时，AD:AB=AE：AC,即 AD:AB=2:4.'.两个三角形的相 似比为1：2.'.两个三角形的面积比 为1：4.△ADE的面积为4， ∴.△ABC的面积为16.②当 △AEDC∽△ABC时，AD：AC= AE:AB,即AD:AC=2:5..两 个三角形的相似比为2：5.∴.两个三 角形的面积比为4：25.：△AED的 面积为4，.△ABC的面积为25.综 上所述，△ABC的面积为16或25. 13. 解析：点A的坐标 为(3,4)，点B的坐标为( .OB= 3,且易得OA=5,AB= 2 9若△0BC∽△0AB,则 OA O元B片设AC=x,则0C=5-x, OC CE CB=CA=k0E-5-益解 525 33 得x-9:OE=号.若△OC0 9 △0BA.则器需祭设AC CE=y,则0C=5-y.9E=之 2520 33拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第6章拔尖测评 ○满分：100分○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各组中的四条线段成比例的是 A.6cm、2cm、1cm、4cmB.4cm,5cm、6cm、7cmC.3cm、4cm、5cm、6cmD.6cm、3cm、8cm、4cm 2如果四条线段acd构成行-行，m>0,那么下列式子中，成立的是 () B.方-d+m ac十m c行 3.如图，在梯形ABCD中，AB//CD//EF.若AB=10,CD=3,EF=5,则CF：FB等于 () A.2:7 B.5:7 C3:7 D.2:5 D D (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD= 12,那么BD的长是 () A.8 B.12 C.16 D.4 5.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD,则下列结论中，错误的是 A.EF-TAE B.△ABEO△AEFC.△ABE∽△ECFD.△ADFC∽△ECF 在ABC中，点D在BC上，F是AD的中点，连接CF并延长，交AB千点E若号 BE 的值为 () A B 7+1 n n n+1 D.2 (第6题) (第7题) 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（一2,0），点C的坐标为（一1， 0),以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C.若点A的对应点A'的坐标为 (2,一3)，点B的对应点B的坐标为(1,0)，则点A的坐标为 () A.(-3,-2) B(-2,) c(-) n.(-2 8.如图，在面积为4的正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线 OM、ON分别交BC、CD于点E、F,且∠EOF=90°，OC、EF交于点G.有下列结论： ①△BOE≌△COF;②△OGE∽△FGC;③四边形CEOF的面积为1；④DF2+ G BE2=2OG·OC.其中，正确的是 )D4 F A.①②③ B.①② (第8题) C.③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得A地到B地的距离是3.4cm,那么A地到B地的实际距 离是 km. 10.如图，D、E两点分别在线段AB、AC上，有下列条件：①∠AED=∠B;②∠ADE=∠C;③AD· AB=AE·AC:④AD:AC=DE:BC.其中，能使△ADE与△ACB一定相似的是 (填 序号). Y个 B(0,4) >C(3,n) A(-4,0)0 (第10题) (第12题) (第14题) 11.己知两个相似三角形的一组对应边的长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 12.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且AB=4,AC=6.当AD= 时，△ABC AACD. 13.己知等腰三角形ABC被某一条直线分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则 等腰三角形ABC的顶角的度数是 14.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,0）、(0,4)，点C(3,)在第一象限内，连接AC、 BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n的值为 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点D在线段BC上，以AD为斜边作等腰直角三角形 ADE,线段DE与AC交于点F,连接CE.若△CEF与△ABD相似，则BD的长为 B (第15题) (第16题) 16.《海岛算经》中记载：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一 百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表 末参合.问岛高几何？其大意如下：如图，为了求海岛上的山峰AB的高度，在点D处和点F处竖立高 都是3丈(1丈-步)的标杆CD和EF,点D、F相隔100步，且AB.CD和EF在同一平面内，从点 D处后退123步到点G处时，点A、C、G在同一条直线上，从点F处后退127步到点H处时，点A、 E、H在同一条直线上，则山峰AB的高度为 步 三、解答题（共52分） 17.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交边BC于点E,交AC的延长线于点F, 连接AE. (1)求证：△ADE△FDA. (2)若DE=2EF=2,求AE的长. D (第17题) 18.(7分)如图，在平面直角坐标系中，将点A(1,0)、B(0,2)、C(2,3)、D(3,1)用线段依次连接起来得到一 个图案①.请按要求对图案①作如下变换： (1)将图案①绕点O按逆时针方向旋转90得到图案②. (2)以点O为位似中心，相似比为2：1，将图案①在位似中心的异侧进行放大，得到图案③. (第18题) 19.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D,E是边BC的中点，连 接DE. (1)求证：DE是⊙O的切线， (2)若AD=4,BD=9,求⊙O的半径. E (第19题》 20.(9分)定义：若点D在△ABC的边AB上，连接CD,且满足∠ACD=∠B,则称满足这样条件的点为 △ABC的“理想点” (1)如图①，若D是△ABC的边AB的中点，AC=2√2，AB=4,试判断D是不是△ABC的“理想点”， 并说明理由. (2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4.若D是△ABC的“理想点”，求CD的长. D ① ② (第20题) 21.(10分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是BC上一点，△ABC△ADE,连接CE. (1)如图①，求证：△ABD∽△ACE. (2)如图②，若AB=4,BC=5,当点D移动到使AEBC的位置时，求BD的长. (3)如图③，过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F,求证：BD=CF. B D B D ① ② ③ (第21题) 22.(12分) (1)如图①，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，D是线段 AB上一动点，连接BE. ①职的值为 ②∠DBE的度数为 (2)如图②，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，D是线段 AB上一动点，连接E,求器的值及∠DBE的度数 (3)在(2)的条件下，若AC=3,DE=2√7，求线段AD的长 ② (第22题)