期中阶段综合检测卷（考试范围第5章二次函数与第6章相似三角形）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

期中综合检测卷 （考试范围：第5章二次函数与第6章相似三角形） （时间：120分钟 满分：150分） 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．若2x＝5y，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是（﹣1，3） C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．与y轴交点（0，3） 3．若，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 4．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 5．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 6．夹文件的一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，经测量知AE＝AF＝25mm，EB＝FD＝35mm，EF＝20mm，则在图2闭合状态下点B，D之间的距离是（　　） A．25mm B．50mm C．28mm D．48mm 7．将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），下面4种方法中正确的有（　　） ①向右平移2个单位长度； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝AD，AC与BD交于点E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半径为（　　） A．6 B． C．5 D．2 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段a＝1cm，b＝3cm，则线段a，b的比例中项为　 　 cm． 12．如图，A、B、C、D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则的值是 　 ． 13．东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降4.8cm时，碗中汤面的水平宽度为　 　 cm（碗的厚度不计）． 14．如图，△A′B′C和△ABC是以点C为位似中心的位似图形，△A′B′C和△ABC的面积之比为1：4，点C的坐标为（2，0）；若点B的横坐标为8，则点B的对应点B′的横坐标为 　 　 ． 15．对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于3n，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，则c的值为 　 　 ． 16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共10小题，共102分） 17．（10分）（1）已知：，求的值． （2）已知a：b：c＝2：3：4，a+b﹣c＝6，求a+b+c的值． 18．（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝mx+n． （1）a＝ 　 　 ，h＝ 　 　 ； （2）当y1≥0时，x的取值范围是 　 　 ； （3）当﹣3＜x＜4时，y1的取值范围是 　 　 ； （4）当y1＜y2时，x的取值范围是 　 　 ． 19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线． （1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由； （2）求的值． 20．（10分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝4.6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求反射点B到木板的距离（即BC的长）； （2）求灯泡到地面的高度AG． 21．（10分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆CD放在灯杆AB（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着BD方向移动1.8米放置另一个等长木杆EF． （1）请分别画出木杆CD，EF的影子（用线段表示，适当加粗）； （2）若测得木杆CD影长为1.2米，求木杆EF的影子长度． 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC∥AE． （1）求证AB＝AC； （2）求证△ADE∽△BDA； （3）若AC⊥BD，BC＝4，，则AE的长为 　 　 ． 23．（10分）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线AED，下半部分可看作矩形AOCD，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面OC的距离为7米，AO＝CD＝3米，棚宽OC＝12米． （1）求抛物线AED的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在AD上方的抛物线部分加装一根横梁PQ（点P、Q均在抛物线上），且PQ∥AD，若横梁PQ与地面OC的距离是米，则横梁PQ的长度是多少米？ 24．（10分）如图（1），一台移动喷灌设备喷出的水流可以近似的看作是形状不变的抛物线，喷水头的高度（即PA的长）是1m．当喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度5m． （1）求水流喷出的最远水平距离AB． （2）斜坡ON如图（2）所示，斜坡的水平距离（即OM）为27m，竖直高度（即MN）为9m，一株高12m的大树在斜坡前方，大树顶端T与MN所在直线的距离为6m．若要使该移动喷灌设备喷出的水流刚好经过大树的顶端T，求该设备与坡底的距离OA． 25．（10分）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉淇得出AC2＝AD•AB，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°． ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝①_____． 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△②_____．∴③_____，∴AC2＝AD•AB． 请完成填空：①　 　 ；②　 　 ；③　 　 ． 【探究应用】（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，且∠ACE＝∠AFC． ①若AF＝2，AC＝3，求S△ACE：S△AFC的值； ②求证：． 26．（12分）二次函数y＝ax2+bx+8的图象与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P是这个函数图象的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点P在直线BC下方时，过点P作PM⊥BC，垂足为M，求PM的最大值； （3）如图2，当点P在x轴上方时，连接PA、PB，直线l是二次函数图象的对称轴，过点P作PN⊥l，垂足为N，以点N为圆心作圆，PT与⊙N相切，切点为T．若以PT的长为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，试说明⊙N的半径是常量． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合检测卷 （考试范围：第5章二次函数与第6章相似三角形） （时间：120分钟 满分：150分） 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．若2x＝5y，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵， ∴5x＝2y， 故A不符合题意； B、∵， ∴5x＝2y， 故B不符合题意； C、∵， ∴5x+5y＝7x， ∴5y＝2x， 故C符合题意； D、∵， ∴5x﹣5y＝3y， ∴5x＝8y， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是（﹣1，3） C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．与y轴交点（0，3） 【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标以及增减性，令x＝0，求得与y轴的交点即可求解． 【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3中， a＝﹣1＜0，函数图象开口向下，A错误； 函数图象的顶点坐标是（1，3），B错误； 函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小，C正确； 令x＝0，则y＝﹣1+3＝2，故与y轴的交点为（0，2），D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．若，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】抛物线的对称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出y1、y2、y3的大小关系． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2， 由x，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的增减性、对称性是常考的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 【分析】由▱ABCD可得，AD∥BE，AD＝BC，BN＝ND，进而得出△ADM∽△EBM，根据相似三角形的性质和点E为BC的中点可得，即可得出结论． 【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BE，AD＝BC，BN＝ND， ∴△ADM∽△EBM， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴BEBCAD， ∴， 设BM＝a，则MD＝2a，BD＝3a， ∴DNa， ∴2：3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 5．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据H是AB的黄金分割点求出AH2＝BH•AB，求出，S2＝BH•BC＝BH•AB，则S1＝S2，即可得出结论． 【解答】解：∵H是AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH•AB， ∵正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2， ∴，S2＝BH•BC＝BH•AB， ∴S1＝S2， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割、正方形的性质、矩形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 6．夹文件的一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，经测量知AE＝AF＝25mm，EB＝FD＝35mm，EF＝20mm，则在图2闭合状态下点B，D之间的距离是（　　） A．25mm B．50mm C．28mm D．48mm 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵AE＝AF＝25mm，EB＝FD＝35mm，EF＝20mm， ∴AB＝AD＝25+35＝60（mm）， 由题意得，，且∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∴， ∴BD＝48mm， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似的判定及性质，能够熟练判定相似并利用性质进行计算是解题关键． 7．将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），下面4种方法中正确的有（　　） ①向右平移2个单位长度； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（2，0）代入可求解． 【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意； ③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移或翻折后的解析式是解题的关键． 8．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝AD，AC与BD交于点E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半径为（　　） A．6 B． C．5 D．2 【分析】连接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，连接OA，由垂径定理可得AO⊥BD，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：连接DC，AO，OD，如图： ∵AB＝AD， ∴∠ADE＝∠ACD， ∴△ADE∽△ACD， ∴，即， 解得AD＝2， ∵AB＝AD，即A是的中点， ∴AO⊥BD，BH＝DH＝2， 在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2， ∴AH2， ∴OH＝OD﹣2， 在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2， ∴OD2＝（OD﹣2）2+（2）2，解得OD＝6． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】设直线OG交BC于点F，由矩形的性质得OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，而AE＝2.5，则DE＝1.5，可证明△AOE≌△COF，得AE＝CF＝2.5，则S四边形CDEF＝4，由S△CFG＝41.5DG2.5（2+DG），求得DG＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：设直线OG交BC于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，AE＝2.5，对角线AC、BC交于点O， ∴OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，DE＝AD﹣AE＝4﹣2.5＝1.5， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF＝2.5， ∴S四边形CDEF（1.5+2.5）×2＝4， ∵S△CFG＝41.5DG2.5（2+DG）， ∴DG＝3， 故选：D． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△AOE≌△COF是解题的关键． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤． 【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， ∴abc＞0，故①正确； ∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8， ∴y＝﹣x2﹣2x+8， 当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9， ∴x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， 故②正确； ∵对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）， 又∵a＜0， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，函数取最大值9， ∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5， ∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； ∵， ∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称， ∴y1＝y2，故④正确； 由ax2+（b+1）x+c＜2得ax2+bx+c＜﹣x+2， 即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2， 画函数y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下： 由， 解得，， ∴A（2，0），B（﹣3，5）， 当x＜﹣3或x＞2时，ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段a＝1cm，b＝3cm，则线段a，b的比例中项为　　 cm． 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解． 【解答】解：设线段a、b的比例中项为c， 则c2＝ab＝1×3＝3， ∴c（cm）（负的舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 12．如图，A、B、C、D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则的值是 　　 ． 【分析】先证明BD∥AC，再根据“平行于三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△PBD∽△PAC，即可根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AE、BC，设每个小正方形的边长都为1，如图， 由勾股定理得AC＝BE，AE＝BC3， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∴BE∥AC， ∵B、E、D三点在同一条直线上， ∴BD∥AC， ∴△PBD∽△PAC， ∵BE＝DE， ∴BD＝2BE＝2AC， ∴2， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△PBD∽△PAC是解题的关键． 13．东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降4.8cm时，碗中汤面的水平宽度为　20　 cm（碗的厚度不计）． 【分析】设抛物线解析式为y＝ax2，由碗口宽度和深度可得a的值，当汤面下降4.8cm时，汤面高度为5cm，代入抛物线解析式即可． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2， 由碗口宽度和深度碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm， 可得C（14，9.8）． ∴9.8＝a×142 a， ∴为yx2， 当汤面下降4.8 cm 时，汤面高9.8﹣4.8＝5，代入抛物线解析式yx2， 可得x＝±10， 因此汤面宽度为20cm． 【点睛】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 14．如图，△A′B′C和△ABC是以点C为位似中心的位似图形，△A′B′C和△ABC的面积之比为1：4，点C的坐标为（2，0）；若点B的横坐标为8，则点B的对应点B′的横坐标为 　﹣1　 ． 【分析】作B′E⊥x轴于E，BF⊥x于F，则BF∥B′E，得出△BCF∽△B′CE，即，由△A′B′C和△ABC的面积之比为1：4，得出△A′B′C和△ABC的相似比为1：2，即可得出CE的长，从而得解． 【解答】解：如图，作B′E⊥x轴于E，BF⊥x于F， ， 则BF∥B′E， ∴△BCF∽△B′CE， ∴， ∵点C的坐标为（2，0）；若点B的横坐标为8， ∴CF＝6， ∵△A′B′C和△ABC是以点C为位似中心的位似图形，△A′B′C和△ABC的面积之比为1：4， ∴△A′B′C和△ABC的相似比为1：2， ∴， ∴， ∴EC＝3， ∴点B的对应点B′的横坐标为2﹣3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于3n，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，则c的值为 　2　 ． 【分析】先设二次函数y＝x2+7x+2c的三倍点为（m，3m），然后即可得到方程m2+4m+2c＝0，再根据二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，可知方程m2+4m+2c＝0有两个相等的实数根，从而可以求得c的值． 【解答】解：设二次函数y＝x2+7x+2c的三倍点为（m，3m）， 则3m＝m2+7m+2c， ∴m2+7m+2c﹣3m＝0， ∴m2+4m+2c＝0， ∵二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”， ∴Δ＝42﹣4×1×2c＝0， 解得c＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答． 16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是　b＜﹣1　 ． 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， 则B（5，0），A（﹣1，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0， 解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b， 所以b的取值范围为b＜﹣1． 故答案为：b＜﹣1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 二．填空题（共10小题，共102分） 17．（1）已知：，求的值． （2）已知a：b：c＝2：3：4，a+b﹣c＝6，求a+b+c的值． 【分析】（1）设a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入，即可求解； （2）设a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入a+b﹣c＝6，求出k值，代入a+b+c，即可求解． 【解答】解：（1）设， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， 则； （2）设a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴2k+3k﹣4k＝6， ∴k＝6， ∴a+b+c＝2k+3k+4k＝9k＝9×6＝54． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． 18．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝mx+n． （1）a＝ 　﹣1　 ，h＝ 　1　 ； （2）当y1≥0时，x的取值范围是 　﹣1≤x≤3　 ； （3）当﹣3＜x＜4时，y1的取值范围是 　﹣12＜y1≤4　 ； （4）当y1＜y2时，x的取值范围是 x＜0或x＞3　 ． 【分析】（1）设顶点式为y＝a（x﹣1）2+4，再把A点坐标代入可求出a的值，从而得到抛物线解析式，然后写出h的值； （2）先解方程﹣（x﹣1）2+4＝0得到抛物线与x轴的交点坐标，然后利用函数图象写出抛物线不在x轴下方所对应的自变量的范围即可； （3）先利用抛物线解析式计算出x＝﹣3和x＝4所对应的函数值，然后利用二次函数的性质x＝1时，y1有最大值4，从而得到当﹣3＜x＜4时，y1的取值范围； （4）结合函数图象写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y1＝a（x﹣1）2+4， 把A（3，0）代入得a（3﹣1）2+4＝0， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y1＝﹣（x﹣1）2+4， 即a＝﹣1，h＝1； 故答案为：﹣1，1； （2）当y1＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y1≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （3）当x＝﹣3时，y1＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣12， 当x＝4时，y1＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣5， 而x＝1时，y1有最大值4， ∴当﹣3＜x＜4时，y1的取值范围是﹣12＜y1≤4； 故答案为：﹣12＜y1≤4； （4）当x＜0或x＞3时，y1＜y2． 故答案为：x＜0或x＞3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：把解不等式的问题转化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线． （1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由； （2）求的值． 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝72°，然后利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，从而利用两角相等的两个三角形相似可得：△CBD∽△CAB，即可解答； （2）根据等角对等边可得：DA＝DB，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，从而可得AD＝DB＝BC，然后利用相似三角形的性质可得：，从而可得CB2＝AC•CD，再利用等量代换可得：AD2＝AC•CD，从而可得点D是AC的黄金分割点，最后利用黄金分割的定义即可解答． 【解答】解：（1）△ABC与△BDC相似， 理由：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C72°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∴∠A＝∠DBC＝36°， ∵∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB； （2）∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴DA＝DB， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∵∠C＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BD＝BC， ∴AD＝DB＝BC， ∵△CBD∽△CAB； ∴， ∴CB2＝AC•CD， ∴AD2＝AC•CD， ∴点D是AC的黄金分割点， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝4.6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求反射点B到木板的距离（即BC的长）； （2）求灯泡到地面的高度AG． 【分析】（1）先证明△BFC∽△BED，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求BC的长； （2）先证明△BGA∽△BFC，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求AG的长． 【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE， 则△BFC∽△BED， ∴， ∴， 解得：BC＝3， 经检验，BC＝3是原等式的解， 答：BC的长为3m； （2）∵AC＝4.6m， ∴AB＝4.6﹣3＝1.6（cm）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝0.8m， 答：灯泡到地面的高度AG为0.8m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 21．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆CD放在灯杆AB（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着BD方向移动1.8米放置另一个等长木杆EF． （1）请分别画出木杆CD，EF的影子（用线段表示，适当加粗）； （2）若测得木杆CD影长为1.2米，求木杆EF的影子长度． 【分析】（1）根据中心投影的性质画出图形即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图，作射线AC，AE分别交直线BF于点G，H，则DG，FH即为所求． （2）由题知，CD＝EF＝2米，BD＝0.6米，DF＝1.8米，DG＝1.2米， ∵AB∥CD， ∴∠ABG＝∠CDG，∠BAG＝∠DCG（两直线平行，同位角相等）， ∴△GCD∽△GAB， ∴， ∴， ∴AB＝3， 同理△HEF∽△HAB． ∴， ∴， 解得：FH＝4.8． ∴木杆EF的影子长度为4.8米． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC∥AE． （1）求证AB＝AC； （2）求证△ADE∽△BDA； （3）若AC⊥BD，BC＝4，，则AE的长为 　　 ． 【分析】（1）连接AO，并延长交BC于点F，根据切线的性质得∠EAF＝90°，根据平行线的性质得到AF⊥BC，根据圆周角定理即可得证； （2）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，通过角的等量代换，相似三角形的判定即可得证； （3）根据题意求出BF＝CD＝BN，证明△ABM∽△BNM，求出，AF＝AD＝3．进而求出BD，利用相似三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：连接AO，并延长交BC于点F， ∵AE是⊙O的切线， ∴AF⊥AE， 即∠EAF＝90°， ∵BC∥AE， ∴∠AFC＝90°， 即AF⊥BC， ∴， ∴AB＝AC， （2）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°． ∵∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠BDA＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠BDA， ∵BC∥AE， ∴∠E+∠BCD＝180°， ∴∠E＝∠BAD， 在△ADE和△CAE中，∠ADE＝∠BDA，∠E＝∠BAD， ∴△ADE∽△BDA． （3）解：由题意得∠BAN＝∠CAN＝∠CBN． ∵AC⊥BD， ∴∠AGF＝90°＝∠AMB， ∴∠FBM＝∠CAN， ∴∠FBM＝∠CAN＝∠CBN＝∠BAN＝∠CAD， ∴△ABF≌△ACD（ASA），△MBF≌△MBN（ASA）， ∴BF＝CD＝BN， ∵BC＝4， ∴BM＝CM＝2， ∴FM＝MN＝1， ∵∠BAM＝∠NBM，∠AMB＝∠BMN， ∴△ABM∽△BNM， ∴， ∴AM＝4． ∴，AF＝AD＝3． ∵BC•AM＝AC•BG， ∴， ∴，DG， ∴． ∵△ADE∽△BDA， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线AED，下半部分可看作矩形AOCD，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面OC的距离为7米，AO＝CD＝3米，棚宽OC＝12米． （1）求抛物线AED的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在AD上方的抛物线部分加装一根横梁PQ（点P、Q均在抛物线上），且PQ∥AD，若横梁PQ与地面OC的距离是米，则横梁PQ的长度是多少米？ 【分析】（1）根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，再将点A（0，3）代入函数表达式可得答案； （2）令，求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，四边形AOCD是矩形，AO＝CD＝3米，OC＝12米， ∴点A（0，3），AD＝OC＝12米， ∴顶点E（6，7）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，把点A的坐标代入得： 36a+7＝3， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得x1＝1.5，x2＝10.5， ∴10.5﹣1.5＝9（米）， ∴横梁PQ的长度是9米． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 24．如图（1），一台移动喷灌设备喷出的水流可以近似的看作是形状不变的抛物线，喷水头的高度（即PA的长）是1m．当喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度5m． （1）求水流喷出的最远水平距离AB． （2）斜坡ON如图（2）所示，斜坡的水平距离（即OM）为27m，竖直高度（即MN）为9m，一株高12m的大树在斜坡前方，大树顶端T与MN所在直线的距离为6m．若要使该移动喷灌设备喷出的水流刚好经过大树的顶端T，求该设备与坡底的距离OA． 【分析】（1）如图（1），建立如图所示的平面直角坐标系，由喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度5m，得到抛物线的顶点坐标为（6，5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+5，解方程得到抛物线的解析式为y（x﹣6）2+5，当y＝0时，即0（x﹣6）2+5，解方程即可得到结论； （2）如图（2），过T作TF⊥OM于F，过A作AE⊥TF于E，AH⊥OM于H，根据矩形的性质得到AH＝EF，AE＝HF，设AH＝EF＝m，由△OAH∽△ONM，求出OH＝3m，再求T（33﹣3m，12﹣m），将T点代入函数解析式求出m＝8，则OH＝24，AH＝8，可求AO＝8（米）． 【解答】解：（1）如图（1），建立如图所示的平面直角坐标系， ∵喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度5m， ∴抛物线的顶点坐标为（6，5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+5， ∵P（0，1）， ∴1＝a（0﹣6）2+5， ∴， ∴抛物线的解析式为y（x﹣6）2+5，当y＝0时， 即0（x﹣6）2+5， 解得x＝6+3或x＝6﹣3（不合题意，舍去）， ∴水流喷出的最远水平距离AB为（6+3）米； （2）如图（2），过T作TF⊥OM于F，过A作AE⊥TF于E，AH⊥OM于H， 则四边形AHFE是矩形， ∴AH＝EF，AE＝HF， 设AH＝EF＝m， ∵△OAH∽△ONM， ∴，即， 解得OH＝3m， ∴HN＝OM﹣OH＝27﹣3m， ∴FH＝AE＝HM+MF＝33﹣3m， ∵FT＝12， ∴TE＝12﹣m， ∴T（33﹣3m，12﹣m）， 当x＝33﹣3m时，12﹣m（33﹣3m﹣6）2+5， 解得m＝11或m＝8， ∵MN＝9， ∴m＝8， ∴OH＝24，AH＝8， ∴AO＝8（米）； 答：该设备与坡底的距离OA为8m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键． 25．数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉淇得出AC2＝AD•AB，理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝①_____． 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△②_____． ∴③_____， ∴AC2＝AD•AB． 请完成填空：①　∠ACD ；②　∠ACD ；③　　 ． 【探究应用】（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，且∠ACE＝∠AFC． ①若AF＝2，AC＝3，求S△ACE：S△AFC的值； ②求证：． 【分析】（1）证明△ABC∽△∠ACD可推出结论； （2）证明△ACE∽△AFC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解； （3）由①知△ACE∽△AFC，得出AC2＝AF•AE．再结合（1）AC2＝AD•AB，即可推出结论． 【解答】（1）解：嘉淇得出AC2＝AD•AB，理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD． 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△∠ACD． ∴， ∴AC2＝AD•AB． 故答案为：∠ACD；ACD；； （2）①解：∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC， ∴△ACE∽△AFC， ∴； ②证明：由①知△ACE∽△AFC， ∴， ∴AC2＝AF•AE． 由（1）得AC2＝AD•AB， ∴AF•AE＝AD•AB， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．二次函数y＝ax2+bx+8的图象与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P是这个函数图象的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点P在直线BC下方时，过点P作PM⊥BC，垂足为M，求PM的最大值； （3）如图2，当点P在x轴上方时，连接PA、PB，直线l是二次函数图象的对称轴，过点P作PN⊥l，垂足为N，以点N为圆心作圆，PT与⊙N相切，切点为T．若以PT的长为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，试说明⊙N的半径是常量． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）连接PB，PC，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，设P（m，m2﹣6m+8），则D（m，﹣2m+8），利用三角形的面积公式求得PD•OB（﹣m2+4m）×4＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，利用二次函数的性质得到△PBC的面积的最大值为8，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）过点P作PE⊥x轴于点E，连接NT，设⊙N的半径为r，设P（n，n2﹣6n+8），则PE＝n2﹣6n+8，PN＝n﹣3，利用三角形的面积公式求得△PAB的面积，利用圆的切线的性质定理，勾股定理和正方形的面积公式求得以PT的长为边长的正方形的面积，再利用已知条件得到（n﹣3）2﹣r2＝n2﹣6n+8，化简即可求得r值，则结论可求． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+8的图象与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0）， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣6x+8． （2）连接PB，PC，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，如图， 令x＝0，则y＝8， ∴C（0，8）， ∴OC＝8， ∵A（2，0）、B（4，0）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴BC4． 设直线BC的解析式为y＝kx+c， ∴． ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8． 设P（m，m2﹣6m+8），则D（m，﹣2m+8）， ∵点P在直线BC下方， ∴PD＝（﹣2m+8）﹣（m2﹣6m+8）＝﹣m2+4m． ∴PD•OB（﹣m2+4m）×4＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴当m＝2时，S△PBC的面积有最大值为8． ∵BC•PM， ∴PM＝8， ∴PM． ∴PM的最大值为． （3）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣6x+8的对称轴为直线x＝3， 过点P作PE⊥x轴于点E，连接NT，设⊙N的半径为r，如图， ∵PT与⊙N相切，切点为T， ∴NT⊥PT． 设P（n，n2﹣6n+8），则PE＝n2﹣6n+8，PN＝n﹣3， ∴△PAB的面积AB•PE2×（n2﹣6n+8）＝n2﹣6n+8． ∵以PT的长为边长的正方形的面积＝PT2＝PN2﹣NT2＝（n﹣3）2﹣r2， ∵（n﹣3）2﹣r2＝n2﹣6n+8， ∴r2＝1， ∵r＞0， ∴r＝1． ∴⊙N的半径是常量． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，三角形的面积公式，圆的切线的性质定理，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $