第6章 图形的相似 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

第6章 图形的相似 一、单选题 1．下列图形中位似中心在图形上的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 3．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 4．两个三角形周长之比为9∶5，则面积比为（  ） A．9∶5 B．81∶25 C．3∶ D．不能确定 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，，且，下列结论不一定正确的是（    ）． A．∽ B． C． D． 8．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，将线段放大得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 10．等腰三角形 ⊿ABC和⊿DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为 11．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DEBC交AC于点E，若，AE=6，则EC= ． 12．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE= ． 13．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= 三、解答题 14．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2：1，点C的对应点的坐标是________． (2)求的面积． 15．如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 16．如图，在中，点在边上，点不与点重合，点在边上，且，连接并延长至点，使，连接，求证：． 17．已知：如图，在中，，，于点． (1)用尺规作图：在边上找一点，使，并说明理由（保留作图痕迹，不写做法）； (2)求线段的长． 18．如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可． 【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意； B、 ，位似中点在图形上，符合题意； C、 ，位似中点在图形外部，不合题意； D、 ，位似中点在图形外部，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 2．C 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键． 根据相似图形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意； B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意； C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意； D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键. 4．B 【详解】试题分析：由两个相似三角形的周长之比为9：5，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得这两个三角形的相似比，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． ∵两个相似三角形的周长之比为9：5， ∴这两个三角形的相似比为9：5， ∴这两个三角形的面积之比为81：25． 考点: 相似三角形的性质． 5．A 【分析】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的两个内项之积等两个外项之积是解决问题的关键． 根据比例的基本性质可得出的值． 【详解】解：， ， 故选：A． 6．B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为4:3， ∴相似比是 又∵相似三角形对应高的比等于相似比， ∴对应边上高的比为 故选B. 【点睛】考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键. 7．D 【分析】根据可得，然后由可得，进而根据相似三角形的判定和性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴，， 故A、B、C正确，D错误， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键. 8．C 【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长． 【详解】：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共， ∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC． 设BD=x，则BC=x，CD=2-x． 由于， ∴． 整理得：x2+2x-4=0， 解方程得：x=-1±， ∵x为正数， ∴x=-1． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长． 9． 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的概念，相似三角形的性质是解答问题的关键． 根据位似变换的概念得到，求出相似比，计算即可． 【详解】解：根据题意得与是位似图形， ， ， ， 与的位似比为， 点的坐标为，即， 故答案为： ． 10．3：4 【详解】∵等腰三角形△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4， ∴由相似三角形对应边上的高之比等于相似比可得：它们底边上的高线的比为3：4. 故答案为3：4. 11．9 【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，然后将EC代入计算即可． 【详解】解：∵DEBC， ∴=， ∴，即，解得EC=9． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理等知识点，根据DEBC得到=是解答本题的关键． 12．124° 【详解】试题解析：在△ABC中，  ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°， 在四边形AFDE中， ∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°， 又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°， ∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56° =124°. 13．． 【详解】解：令AE=4x，BE=3x， ∴AB=7x. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB=7x，CD∥AB， ∴△BEF∽△DCF. ∴， ∴DF= 【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键. 14．(1)作图见解析， (2)10 【分析】本题考查了三角形的相似，作位似图形，求网格中图形的面积； （1）按要求作出符合条件的位似图即可，根据作出的图形即可写出顶点的坐标； （2）利用割补法即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：所画的位似图形如下： 点的坐标是， 故答案为：； （2）解：． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 16．见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，可证明，推出，再由内错角相等，两直线平行可证明结论． 【详解】证明：，， ． 又， ． ． ． 17．(1)见解析； (2)线段的长为. 【详解】（1）解：所求图形如图所示， 理由：依作图可知：， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， 由（1）可知， ∴， 即， 解得， ∴线段的长为. 18．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $