考向3 建立二次函数模型解决实际问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 考向三} 建立二次函数相 1.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP= 3m,水从喷头P喷出后呈抛物线形向上至 最高点后落下.若最高点距水面4m,点P距 抛物线的对称轴1m,则为了使水不落到池 外，水池的最小半径为 A.1m B.1.5m C.2m D.3m y/m 69 N x/m (第1题) (第2题) 2.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球 从点O正上方2m的点A处发出，把球看成 点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离 x(m)满足y=a(.x一k)2十h.已知当球与 点O的水平距离为6m时，达到最高点，高 度为2.6m,球网与点O的水平距离为9m, 高度为2.43m,球场的边界距点O的水平距 离ON为18m,则下列判断正确的是() A,球不能过球网 B.球能过球网且不会出界 C,球能过球网但会出界 D.无法确定 3.(2025·甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央 竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的 抛物线形路径落下.建立如图所示的平面直 角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距 离x(m)满足y=-x2+2x士(z>0）,则 水流喷出的最大高度是 A.3m y/m B.2.75m C.2m D.1.75m x/m (第3题) 120 莫型解决实际问题“答案与解析"见P68 4.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈 抛物线形，两小孔形状、大小都相 同.正常水位时，大孔水面宽度AB 为20m,顶点M距水面6m(即MO=6m), 小孔顶点N距水面4m(即NC=4m).当水 位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的平面 直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度 EF是 y/m M B C x/m (第4题) 5.如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳子甩 到最高处时的形状是抛物线形.摇绳的甲、乙 两名同学拿绳子的手的间距为6米，到地面 的距离AO与BD均为0.9米，当绳子甩到 最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为 1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点O水 平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳 子甩到最高时超过他的头顶)，则m的取值 范围是 D (第5题) 6.(2024·宿迁模拟)一种玻璃水杯的截面示意 图如图①所示，其左右轮廓线AC、BD为某 一抛物线的一部分，杯口AB=8cm,杯底 CD=4cm,且AB/CD,杯深12cm.如图②， 若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP 45),水面正好经过点B,则此时点P到杯口 AB的距离为 cm. D (第6题) 7.(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观 的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛 物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面. 如图，以O为原点，直线FF′为x轴，桥塔 AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛 物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之 间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索 L1的最低点P到FF'的距离PD=2m(桥 塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线对应的函数表 达式 (2)若点E在缆索L2上，EF⊥FF',且 EF=2.6m,FO<OD,求FO的长. ↑y/m E D F'x/m (第7题) 8.(2025·上海金山二模)飞行汽车是 一种结合了传统汽车和飞行器功能 的交通工具，旨在实现地面行驶与 空中飞行的双重模式.它被视为未来城市交 通的重要方式之一，尤其在缓解交通拥堵和 拓展三维交通空间方面具有潜力.某数学小 期末压轴题特训 组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程.如 图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O,地平 线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立 平面直角坐标系.它在起飞后的初始飞行路 径呈抛物线形，当飞行汽车到达抛物线最高 点A后下降到点B,此时点B距离地面 0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速 度水平飞行一定距离后到达点C,切换到 直线下降飞行模式降落至地面点D.已知 初始飞行、水平飞行、下降飞行的飞行高度 y(千米)与飞行的水平距离x(千米)分别 满足y=ax2+2x(a<0)、y=0.3、y= -0.4x+b. (1)若仪表监测到水平飞行时间为0.09小 时，此时点C与起飞点O的水平距离为 10千米，求a和b的值， (2)若飞行汽车在最高点A时，与起飞点O 的水平距离为0.4千米，水平飞行了 t小时(0.08≤t≤0.1)到达点C后降落，求b 的取值范围. y/千米 A 水平飞行 C下降飞行 起飞点0 地平线 Dx/千米 (第8题) 121∠FEB, .∴.△AFNO△EBN. “欲器兴 -t2+2t+33-t .FN=1,即点F在直线y=1上. ① (第8题) 9.(1)点O(0,0)、A(6,0)在抛物 4 线y=gx+br十c上， c=0, 4 解得 (9×36+6b+c=0, 8 c=0. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 音-号吉-02-4 .顶点B的坐标是(3，一4). (2)如图①，A(6,0),B(3,一4)， '.易得直线AB对应的函数表达式 为y=青-8 OP //AB, .易得直线OP对应的函数表达式 为=子 设Q(3k,4k). :'∠OBA=∠QAB>∠OAB, .k>0. OP∥AB,QA不平行于OB, ∴.四边形OQAB为梯形 又.∠QAB=∠OBA, ∴.易得四边形OQAB为等腰梯形， QA=OB. .(6-3k)2+(4k)2=(3-0)2+ (一4-0，解得品或=1不合 题意，舍去) Q(器)： 3)"y=x-3)-4 .抛物线向左平移个(m>0)单位 长度后的新抛物线对应的函数表达式 为y=青x-3计m)-4D6-m,0以. ∴.新抛物线的顶点为(3一m,一4)， DE=6-m-3=3-m, ,新抛物线的顶点仍然在第四象限， ∴.03-m<3,即0m<3. 如图②，过点B分别作x轴、y轴的 垂线，垂足分别为E、F “器 BF BE =÷,且∠BPc= ∠BED=90° ∴.△BCF△BDE “慌器 3 3-m4 CF=(3-m). 4 :0C=4-CF=4-4(3-m). 3 4 在y=9x-3+m)2-4中， 4 令x=0,得)y=g(-3+m)2-4, .0℃=4 9(3-m)2 3 .4 4 4 -(3-m)=4- 9 (3-m)2, 21 解得m,=6,m:=3不合题意，舍去》. 21 .m-16 4 -4-3-2-1仅12345/ 6x 2 3 51 ① 5 4 2 E -4-3-210123456 -4 -5 F ② (第9题)》 68 考向三建立二次函数模型 解决实际问题 1.D解析：如图，以O为原点，OP 所在直线为y轴，过点O垂直OP的 直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 由题意，知y轴右侧的抛物线的顶点 坐标是(1,4).设y轴右侧的抛物线 对应的函数表达式为y=a(x一1)2+ 4.把(0,3)代人，得a十4=3，解得 a=一1.∴.y轴右侧的抛物线对应的 函数表达式为y=-(x-1)2+4.当 y=0时，-(x-1)2十4=0，解得 x1=3,x2=一1（不合题意，舍去）. ,.水池的最小半径是3m. y/m 0 x/m (第1题) 2.C解析：当球与点O的水平距 离为6m时，达到最高点，高度为 2.6m,∴.y与x之间的函数表达式 为y=a(x-6)2+2.6.函数y= a(x一6)2+2.6的图像过点(0,2)， ∴.2=(0-6)2a+2.6,解得a= 0y与x之间的函数表达式为 1 1 y=一 (x-6)2十2.6.当x=9时， 60 y=-60×(9-6)2+2.6=2.45. 2.45>2.43,.球能过球网.当 y=0时，一(x-6)+2.6=0,解 得x1=6+2√39，x2=6-2√39（不 合题意，舍去.6+239>18， ∴.球会出界.综上所述，球能过球网 但会出界 3.B 4203 3m解析：设大孔所在抛物 线对应的函数表达式为y=a.x2+6. 把A(-10,0)代人，得0=100a+6, 解得a=一 大孔所在抛物线对 应的函数表达式为y=一品十6 由NC=4m,可知点E、F的纵坐标 为4，∴.在y= 高2+6巾，令y= 品2+6=4，解得x= 4,得- 1小r(, ±103 4).EF=203 3 m. 5.1<m<5解析：如图，以O为坐 标原点，OD所在直线为x轴，OA所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 由题意，可知C(3,1.8).设抛物线对 应的函数表达式为y=a(x-3)2十 1.8.把A(0,0.9)代人，得0.9=9a+ 1.8,解得a=一0.1，.抛物线对应的 函数表达式为y=一0.1(x一3)2+ 1.8.当y=1.4时，-0.1(x-3)2+ 1.8=1.4,解得x1=1,x2=5..m 的取值范围是1<m<5. y/米 C B Dx/米 (第5题) 6.7解析：以AB的中点O为原点， AB所在直线为x轴，过点O且垂直 于AB的直线为y轴，建立如图所示 的平面直角坐标系，过点P作PE⊥ x轴于点E,则A(-4,0)、B(4,0)、 C(-2,-12)、D(2,-12).设抛物线 对应的函数表达式为y=a(x+4)· (x一4).把C(一2，一12)代入，得 一12=a×(一2+4)×(-2-4)，解 得a=1.∴.抛物线对应的函数表达 式为y=(x+4)(x-4)=x2-16. ∠ABP=45°，∠PEB=90°， ∴.∠BPE=45.∴.∠EPB= ∠EBP.∴EP=EB.设P(x,y). .'BE=(4-)cm,EP=-y cm. .-y=4-x,即-(x2-16)=4 x,解得x1=4(不合题意，舍去)， x2=一3.将x=一3代人y=x2一 16,得y=9-16=-7..PE=7cm, 即点P到杯口AB的距离为7cm B D cm (第6题) 7.(1)由题意，知AO=17m, ∴.A(0,17). ,OC=100m,缆索L,的最低点P 到FF'的距离PD=2m, '·缆索L1所在抛物线的顶点P的 坐标为(50,2). ∴.设缆索L,所在抛物线对应的函数 表达式为y=a(x-50)2+2. 将A(0,17)代人，得2500a+2=17, 解得a=5001 3 ∴.缆索L1所在抛物线对应的函数表 3 达式为y=x-50)2+2. (2),缆索L1所在抛物线与缆索L2 所在抛物线关于y轴对称，缆索L) 所在抛物线对应的函数表达式为y= 50%x-50)2+2. ∴.易知缆索L2所在抛物线对应的函 数表达式为yCz十50)2+2 令y=2.6,得2.6= （x+50)2+ 500 2,解得x=一40或x=一60. .FO<OD,OD=50 m, .x=-40 .'.FO的长为40m. 8.(1)由题意，得BC=100×0.09= 9(千米)，BC∥x轴，点C与起飞点O 的水平距离为10千米， ∴.B(1,0.3),C(10,0.3). 把B(1,0.3)代人y=a.x2+2x,得 0.3=a十2，解得a=一1.7. 把C(10,0.3)代人y=-0.4x+b,得 0.3=-4+b,解得b=4.3. (2)·飞行汽车在最高点A时，与起 飞点O的水平距离为0.4千米， 69 =0.4,解得a=-2.5 .一2 ∴.y=-2.5x2+2.x. 在y=-2.5.x2十2.x中，令y=0.3, 得0.3=一2.5.x2+2x,解得x1= 0.2,x2=0.6. :点B在点A的右侧， .点B的坐标为(0.6,0.3) ∴.点C的坐标为(0.6+1001,0.3) 点C在直线y=-0.4x十b上， ∴.0.3=-0.4(0.6+100t)+b, 即b=0.54+40t. 0.08≤1≤0.1， .3.74b4.54. 考向四 三角形相似的 判定与性质 1.A解析：设DE=x(x>0),则 AD=3.x.,四边形ABCD是平行四 边形，∴.BC=AD=3.x.F为BC 的中点CF=号：DE∥BC, ∴.△DEG∽△CFG.. S△DG S△(FG (=)=(号）=告，即sm: S△cpG=4:9. 2.C解析：如图，若剪得的纸条中有 一张是正方形，则正方形中平行于底 边的边长为3cm,即DE=3cm.过点 A作AG⊥BC于点G,交DE于点F. 由题意，得AG=24cm,BC=24cm. 设AF=xcm.·'DE∥BC,AG⊥ BC,.AG⊥DE,△ADE∽△ABC DE_AF 暖福即是云解得=8 ∴.AF=3cm..FG=AG-AF= 24-3=21(cm)..21÷3=7(张)， '.这张正方形纸条是第7张 D E 第2张 B4 △c第1张 G 第2题)