考向2 以二次函数为背景的探究性问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

14.(1)当a=1时，y=x2-2x+2 (x-1)2+1 ∴抛物线的顶点坐标为(1,1). (2)当x=0时，y=2a,即抛物线与 y轴的交点A的坐标为(0,2a). ,线段OA(含端点)上“完美点”的个 数大于3且小于6，即“完美点”的个 数为4或5，且a>0, ∴.当“完美点”的个数为4时，这4个 “完美点”的坐标分别为(0,0)、(0,1)、 (0,2)、(0,3):当“完美点”的个数为5 时，这5个“完美点”的坐标分别为(0， 0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4) .32a<5. ∴口的取值范開是产<a<号 (3)易知抛物线的顶点坐标为(1，a), 且过点P(2,2a)、Q(3,5a)、R(4, 10a). 显然，“完美点”(1,1)、(2,2)、(3,3)符 合题意 下面讨论抛物线经过点(2,1)或点(3， 2)的两种情况： ①当抛物线经过点(2,1)时，1=4a 4u十2a,解得a=2 1 此时，P(2,1).Q(3,2)R4,5). 5 如图①，符合题意的“完美点”有(1， 1)、(2,1)、(2,2)、(3,3),共4个 ②当抛物线经过点(3,2)时，2=9a 6如十解得a=号 此时，P(2,)Q(3,2R(4,4). 如图②，符合题意的“完美点”有(1， 1)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(3,3)、(4, 4),共6个. a的取值范围是 5 3 ① N(R) 012345x ② (第14题) 考向二以二次函数为 背景的探究性问题 1.A解析：由一次函数y=-2x十3 的图像，知C(0,3)、A(1.5,0),则c 3.∴.y=x2+bx十3.∴.二次函数图 像的预点华标为（合，12）设 B(a,a2+ab+3)(a<0).点B在 函数y=一2x十3的图像上，.a2+ ab+3=-2a+3①..AC:CB= /32+1.5 12,. /a2+(a2+ab+3-3)2 之@，联立①②，解得 a=-3, 或 b=1 a=3, (不合题意，舍去).∴.二次函 6=-5 数图像的顶点坐标为(7)】 2.B解析：如图，过点E作EM y轴于点M,延长ME交BC的延长 线于点N.易得∠AME=∠DNE= 90°，∠AEM=∠EDN,.∴.△AEMc∽ △FDN.兴兴由折益，得 DE=BD,AE=AB=3√5.设AM= BN=m,ME=..A(0,4)、 D(3W5,1),.DC=1,DE=BD=3. .EN=MN-ME=3√5-n,DN BN-BD=m-3.,.- 在Rt△AME中，根据勾股定理，得 m2+n2=(3√5)2②.由①②，易得 n=25,.AM=5,ME=25.过 m=5. 点E作EF⊥AB于点F,EF分别与 AD、OC交于点G、H,过点D作 DP⊥EF于点P.∴.易得EF=5, AF=2W5,E(2√5，-1)..EH=1, 66 EP=PH+EH=DC+EH=2. :∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG= ∠BAD,∴.△AFG∽△ABD. 福品即。G 353· 2.∴.HG=EF-FG-EH=2. ∴.点G的纵坐标为2.y=a.x2 4W5a.x+10=a(x-2√5)2+10-20a, ∴.抛物线y=a.x2-4√5ax十10的顶 点必在直线x=2√5上.又，抛物线的 顶点落在△ADE的内部，.此抛物线 的顶点必在线段G(不含端点)上 ：-110-2w<2.号<a<0 y A B G P D 0b- C M E (第2题) 3.B解析：“在y=4(x+2)(x- 8)中，当y=0时，x=-2或x=8, .A(一2,0)、B(8,0)..抛物线的 对称轴为直线x=一2，十8=3.故①正 2 确.⊙D的直径为8-(-2)=10， 即半径为5，∴.⊙D的面积为25元.故 ②错误在y=子（x+2)-8) 子名-4中，当x=0时y 一4，.C(0,一4).当y=一4时， 子-含-4=-4解得1=0… x2=6,.当CE∥AD时，E(6,-4), 则CE=6.AD=3一（一2）=5， .AD≠CE.∴.四边形ACED不是 平行四边形.故③错误.连接CD、 DM:y=2-x-4=- 3)2- 至÷M(6,-)又 :C(0,-4.D(3,0DM=5 cD=5CM=只：CD+Cw= 5+()--(原)°=Dw, ∴.△CDM是直角三角形，且 ∠DCM=90°，即DC⊥CM.又.DC 是⊙D的半径，.直线CM与⊙D相 切.故④正确.综上所述，正确结论的 个数是2. 4.C解析：将A(2,0)代人y= az?10 4 -3x+4与y=3x十6中，解 得a= 号6=-y= 十4y=青一子设点M的横 10 坐标为m,则M(m,号m2-9w 2 3m )N(m,学m一号)由题意，易得 B(5,4)、C(0,4),∴.2<m<5,AC= 2V5,AB=BC=5..∠CAB= ∠ACB..△ABC是等腰三角形.当 MN与对称轴所在的直线重合时，点 M,N的坐标分别为（侵，）、 (停，号)易得BN= ,MN= 25 吾·BN+MN=5=AB放选项A 错误.易知BC∥x轴，∴.∠BAE= ∠CBA,,△ABC是等腰三角形，不 是等边三角形，∠CBA≠∠BAC, .∠BAC=∠BAE不成立.故选项 B错误.如图，过点A、B分别作ADL BC、BF⊥AC,垂足分别为D、F. ,△ABC是等腰三角形，∴.BF是 ∠ABC的平分线..·易证∠CAD ∠ABF=专∠ABC,∠ANM- ∠DAB,∴.∠ACB-∠ANM= ∠CAB-∠DAB=∠CAD= 2∠ABC.故选项C正确. 1 :S四边形AM=S△AMx十S△AM, S△r=2BC·AD=10,SAIM 2MN·(xB-xA)=二m2+7m白 10,∴.S四边形AM=一m2十7m= (a+当m=时， 7 S5m取得最大值，为号故选项 D错误. y个 B 0 E (第4题) 5.一4≤n<5解析：，y=x2十 2x-3=(x十1)2-4，.二次函数 y=x2+2x-3的图像开口向上，顶 点坐标为（一1，一4），对称轴是直线 x=一1.点P(m,n)到y轴的距离 小于2，.-2<m<2.又-1 (-2)<2-(-1),当m=2时，n= (2+1)2-4=5,当m=-1时，n= 一4，.n的取值范围是-4≤n<5. 6.3十√5解析：如图，连接AC、 BC.抛物线对应的函数表达式为 y=x2-2x-3,∴.点D的坐标为 (0,-3)..OD=3.令y=0,得0= x2-2x-3,解得x=-1或x=3. .A(-1,0)、B(3,0)..AO=1, BO=3.AB为半圆M的直径， ∴.∠ACB=90°.CO⊥AB,∴.易 得CO2=AO·BO=3..CO=√3 (负值已舍去).'.CD=OD+CO 3+√3】 AO M B a D (第6题) 7.4+2√5或4-25或4或-1 解析在)=一子十8巾，令=0， 得y=3..B(0,3).点P的横坐 标为a,PQM轴，.P(a,-号a2+ 2a+5)Q(a,-a+3）..PQ 67 -2+2a+5-(-a+3川 --2,0 Va2+(a+3-3)=a 0---2= 当--2=a时 整理，得a2一8a-4=0,解得a1=4十 26:=4-25:当4-a 平a时，整理，得a2-3a-4= 2=- 0,解得a3=4,a4=-1.综上所述，d 的值为4+25或4-2√5或4或-1. 8.(1)由题意，得y=(x+1)(x一 3)=x2-2x-3. (2)∠ACB=∠BCM. 理由：如图①，过点B作y轴的平行 线，交CM的延长线于点H. 在y=x2一2x-3中，令x=0,得 y=-3. .C(0,-3). 由点B、C的坐标，易知OB=OC. ∴.∠ABC=∠OCB=45°. BH轴， ∴.∠HBC=∠OCB=45. :点M的横坐标为号，点M在二次 函数y=x2-2x一3的图像上， M(停号)》】 由点C、M的坐标，易得直线CM对 1 应的函数表达式为y=一3x一3. 当x=3时，y=-4,即BH=4= AB. :∠ABC=∠HBC=45,BC=BC, '.△BCA≌△BCH. ∴.∠ACB=∠HCB,即∠ACB= ∠BCM. (3)如图②，连接AF. 设N(t,0)(-1<t<3),则E(t,t2- 2t-3). ∴.AN=t+1,EN=-(t2-2t- 3)=-t2+21+3,BN=3-t. ∠AFN=∠ABE,∠FAN= ∠FEB, .∴.△AFNO△EBN. “欲器兴 -t2+2t+33-t .FN=1,即点F在直线y=1上. ① (第8题) 9.(1)点O(0,0)、A(6,0)在抛物 4 线y=gx+br十c上， c=0, 4 解得 (9×36+6b+c=0, 8 c=0. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 音-号吉-02-4 .顶点B的坐标是(3，一4). (2)如图①，A(6,0),B(3,一4)， '.易得直线AB对应的函数表达式 为y=青-8 OP //AB, .易得直线OP对应的函数表达式 为=子 设Q(3k,4k). :'∠OBA=∠QAB>∠OAB, .k>0. OP∥AB,QA不平行于OB, ∴.四边形OQAB为梯形 又.∠QAB=∠OBA, ∴.易得四边形OQAB为等腰梯形， QA=OB. .(6-3k)2+(4k)2=(3-0)2+ (一4-0，解得品或=1不合 题意，舍去) Q(器)： 3)"y=x-3)-4 .抛物线向左平移个(m>0)单位 长度后的新抛物线对应的函数表达式 为y=青x-3计m)-4D6-m,0以. ∴.新抛物线的顶点为(3一m,一4)， DE=6-m-3=3-m, ,新抛物线的顶点仍然在第四象限， ∴.03-m<3,即0m<3. 如图②，过点B分别作x轴、y轴的 垂线，垂足分别为E、F “器 BF BE =÷,且∠BPc= ∠BED=90° ∴.△BCF△BDE “慌器 3 3-m4 CF=(3-m). 4 :0C=4-CF=4-4(3-m). 3 4 在y=9x-3+m)2-4中， 4 令x=0,得)y=g(-3+m)2-4, .0℃=4 9(3-m)2 3 .4 4 4 -(3-m)=4- 9 (3-m)2, 21 解得m,=6,m:=3不合题意，舍去》. 21 .m-16 4 -4-3-2-1仅12345/ 6x 2 3 51 ① 5 4 2 E -4-3-210123456 -4 -5 F ② (第9题)》 68 考向三建立二次函数模型 解决实际问题 1.D解析：如图，以O为原点，OP 所在直线为y轴，过点O垂直OP的 直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 由题意，知y轴右侧的抛物线的顶点 坐标是(1,4).设y轴右侧的抛物线 对应的函数表达式为y=a(x一1)2+ 4.把(0,3)代人，得a十4=3，解得 a=一1.∴.y轴右侧的抛物线对应的 函数表达式为y=-(x-1)2+4.当 y=0时，-(x-1)2十4=0，解得 x1=3,x2=一1（不合题意，舍去）. ,.水池的最小半径是3m. y/m 0 x/m (第1题) 2.C解析：当球与点O的水平距 离为6m时，达到最高点，高度为 2.6m,∴.y与x之间的函数表达式 为y=a(x-6)2+2.6.函数y= a(x一6)2+2.6的图像过点(0,2)， ∴.2=(0-6)2a+2.6,解得a= 0y与x之间的函数表达式为 1 1 y=一 (x-6)2十2.6.当x=9时， 60 y=-60×(9-6)2+2.6=2.45. 2.45>2.43,.球能过球网.当 y=0时，一(x-6)+2.6=0,解 得x1=6+2√39，x2=6-2√39（不 合题意，舍去.6+239>18， ∴.球会出界.综上所述，球能过球网 但会出界 3.B 4203 3m解析：设大孔所在抛物 线对应的函数表达式为y=a.x2+6. 把A(-10,0)代人，得0=100a+6, 解得a=一 大孔所在抛物线对拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 考向二以二次函数为背景的探究性问题 ，“答案与解析”见P66 1.如图，一次函数y=一2x十3的图像与x轴、 4.（2025·厦门模拟)如图，抛物线y=ax2 y轴分别相交于A、C两点，二次函数y 10 4 x2十bx十c的图像过点C且与一次函数在第 十4与直线y=3x+b经过点A(2,0): 二象限交于另一点B.若AC：CB=1:2,则 且相交于另一点B,抛物线与y轴交于点C, 这个二次函数图像的顶点坐标为 ( 与x轴交于另一点E,点N在线段AB上， 过点N的直线交抛物线于点M,且MN∥ y轴，连接AM、BM、BC、AC,当点N在线 c合》 n经》 段AB上移动时（不与点A、B重合），下列结 论中，正确的是 () 0 (第1题) (第2题) 2.如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系 0 /A E (第4题) 中，点A的坐标为(0,4)，点C在x轴上，点 A.MN+BN<AB D(3√5,1)在BC上，将矩形OABC沿AD B.∠BAC=∠BAE 折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B 的对应，点为E.若抛物线y=ax2一4√5a.x十 C∠ACB-∠ANM=3∠AIC 10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的 D.四边形ACBM的最大面积为13 内部，则a的取值范围是 5.若点P(m,n)在二次函数y=x2十2x一3的 A B. -11 图像上，且点P到y轴的距离小于2，则n的 取值范围是 c品a 11 3 -13 D.5<a<20 6.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围 3如图，范物线yx十2)· y 成的封闭图形称为“果圆”.已知A、B、C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线对应 D (x一8)与x轴交于A、B两 的函数表达式为y=x2-2x一3，AB为半圆 点，与y轴交于点C,顶点为 M M的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦 M,以AB为直径作⊙D.有 (第3题) CD的长为 下列结论：①抛物线的对称 y 轴是直线x=3;②⊙D的面积为16π；③抛 物线上存在点E,使四边形ACED为平行四 边形；④直线CM与⊙D相切.其中，正确结 论的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 (第6题) 118 期末压轴题特训 7.如图，直线y= 4x+3分 9.(2025·上海虹口三模)在平面直角 别交x轴、y轴于点A、B, B 坐标系中，抛物线y=音产十c十： P是抛物线y=一2十 经过原点，且与x轴相交于点A,点A的横 坐标为6，抛物线的顶点为B, 2x十5上的一个动点，其横 (第7题) (1)求抛物线对应的函数表达式和顶点B的 坐标为a,过点P作平行于y轴的直线，交直 坐标 线y=-一+3于点Q,则当PQ=BQ时， (2)过点O作OP∥AB,在直线OP上取一 点Q,使得∠QAB=∠OBA,求点Q的坐标. a的值是 (3)将该抛物线向左平移m个(m>0)单位 8.(2024·泰州兴化二模)已知二次函数y= 长度，所得新抛物线与y轴的负半轴相交于 x2+bx+c的图像与x轴交于A(一1,0)、 点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动 B(3,0)两点，与y轴交于点C 到点D的位置，CB:DB=3:4,求m的值. (1)求这个二次函数的表达式. (2)如图①，连接AC、BC.若点M在二次函 数y=x2+bx十c的图像上，且点M的横坐 标为？，连接CM,则∠ACB与∠BCM相等 吗？请说明理由. (3)如图②，N是线段AB上任意一点（点N 不与点A、B重合)，过点N作NE⊥x轴，交 抛物线于点E,连接AE、BE,作△ABE的外 接圆⊙P,延长EN交⊙P于点F.求证：点 F在某条定直线上 (第8题) 119