考向1 二次函数图像中的信息问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

期末压轴题特训 考向一二次函数图像中的信息问题“答案与解析”见64 1.二次函数y=一x2十bx十c的图像如图所 ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 示.若点A(x1,y1)、B(x2,y2)在此函数的图 的根为x1=一1，x2=3;⑤当x<1时，y随 像上，且x1<x2<1,则y1与y2的大小关 x增大而增大.其中，正确的是 () 系是 ( A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④⑤ 01 (第1题) 0 3\x x=1 02 A.y1≤y2 B.y<y2 (第4题) (第5题) C.y1≥y2 D.y1>y2 5.如图，二次函数y=a.x2十bx(a≠0)的图像经 2.二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图像如图 过点(2,0)，则下列说法中，错误的是() 所示，当y>0时，x的取值范围是( A.b>0 B.a+b>0 C.x=2是关于x的一元二次方程ax2十 bx=0的一个根 (第2题) D.若点(x1,y1)、(x2y2)在该二次函数的 A.x<-1 B.x>3 图像上，则当x1>x2>2时，y2<y1<0 C.-1<x<3 D.x<-1或x>3 6.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a.x2 3.一次函数y=a.x十b与二次函数y=ax2+ 4a.x+4(a>0).若A(m-1,y1)、B(m,y2)、 bx在同一平面直角坐标系中的图像大致为 C(m十2，y3)为抛物线上的三个点，且总有 y1>y3>y2,则m的取值范围是 () A.m<1 Rm>号 C.0<m<1 D.1<n 7.(2025·安徽)已知二次函数y=a.x2十bx+c (a卡0)的图像如图所示，则 () D. 4.如图所示为二次函数y=ax2+bx十c(a≠0) 图像的一部分，图像过点A(3,0),二次函数 (第7题) 图像的对称轴为直线x=1.给出下列结论： A.abc0 B.2a+b<0 ①bc>0;②a+b+c<0;③4a-2b+c>0; C.2b-c<0 D.a-b+c<0 116 期末压轴题特训 8.(2025·南京鼓楼期末)已知二次函数y= 0<y<5;④若点(m,y1)、(-m-2,y2)均 a.x2一4a.x一2(a≠0)，对于该二次函数图像 在该二次函数图像上，则y1=y2;⑤满足 上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),设m≤ a.x2+(b十1)x十c<2的x的取值范围是 x1≤m十2，当x2≥4时，y1<y2恒成立，则 x<一2或x>3.其中，正确的是 m的取值范围是 (填序号). 9.二次函数y=a.x2十bx十c的图像如图所示， 14.(2024·乐山)在如图所示的平面 则，点P(ab+c,abc)在第 象限 直角坐标系中，我们称横坐标、纵 坐标都为整数的点为“完美点”.已 知抛物线y=a.x2一2ax+2a(a为常数且 a>0)与y轴交于点A. (1)若a=1,求抛物线的顶，点坐标. (第9题) (第10题)》 (2)若线段OA(含端点)上“完美点”的个数 10.如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴 大于3且小于6，求a的取值范围. 的负半轴上，抛物线y=ax过点B.若 (3)若抛物线与直线y=x交于M、N两 ∠AOC=60°，则a= 点，线段MN与抛物线围成的区域（含边 11.已知A(x1,n)、B(x2,n)是抛物线y=x2十 界)内恰有4个“完美点”，求a的取值范围. bx十4上不同的两点.若点(x1十x2,m)也 在抛物线上，则m的值为 12.如图，二次函数y=ax2十bz十g (a≠0)的图像经过点(1,2)，且与 x轴交点的横坐标分别为x1、x2, 012345x (第14题) 且一1<x1<0,1<x2<2.有下列结论： ①abc<0:②a<b<-2a;③b2+8a< 4ac;④一1<a<0.其中，结论正确的是 (填序号). 2 (第12题) 13.(2024·烟台)已知二次函数y=a.x2十bx+ c的y与x的部分对应值见下表： -4 -3 -1 1 5 y 0 9 -27 有下列结论：①abc>0;②关于x的一元二 次方程a.x2十bx+c=9有两个相等的实数 根；③当一4<x<1时，y的取值范围是 117牌洗衣粉的质量、价格满意的人数较 少，对广告满意的人数较多，但B品 牌洗衣粉的销量比C品牌洗衣粉的 销量高（言之有理即可）. 1201人数 100 100 80 80 60 50 20 20 04 A B C其他洗衣粉 品牌 (典例3图) [变式](1)120：18. (2)三季度的百分比为20 33 100%=27.5%. 补全条形统计图和扇形统计图如图 所示 (3)270. 理由：根据条形统计图，可知每一季度 的销售量是逐渐增加的，平均每一季 度的增长量为6十9+12 9(万辆)， 3 .预测2025年这个区域新能源汽车 的销售量可能是54+63+72+81= 270(万辆)（言之有理即可）. ↑销售量/万辆 50 45 40F 33 30 24 20 18 10 04 四季度 15% 季度 20% 四季度 37.5% 季度 三季度 (27.5)% 典例4这个游戏不公平. 理由：列表如下： 差的绝对值 人甲 -1 -3 0 1 3 -2 3 个 由表可知共有9种等可能的结果，其 中两个数之差的绝对值大于1的结果 有4种，两个数之差的绝对值不大于 1的结果有5种」 4 ∴小明获胜的概率为。小刚获胜的 概率为号 .这个游戏不公平 [变式]B [综合素能提升] 1.B2.B3.A 4.C解析：画树状图如图所示.由树 状图，可知共有12种等可能的结果 其中能使关于x的方程x2十bx十c= 0有实数根的结果有6种，∴.关于x 的方程x2十bx十c=0有实数根的概 .61 率为22 b c b-4c -7 13 -11 4 1 0 2<3 -8 4 -12 开始 5 3+2 4 > 1 12 14<2 8 434 (第4题) 5.答案不唯一，如有一对“X”或一对 “#”解析：画树状图如图所示.由树 状图，可知共有8种等可能的结果.若 这个游戏是公平的，则需要P(甲方 赢)=P(乙方赢)，即当有一对“X”或 一对“#”时，甲方赢即可. 开始 (第5题) 6.出海解析：预测下月好天气 的概率是60%，坏天气的概率是 40%,.出海的平均收益为60%× 5000-40%×2000=2200(元).又 64 .不出海会损失1000元，.船队队 长做出的选择是出海. 7.(1)6. (2)2023年我国新能源汽车保有量与 公共充电桩数量配比值为2041万： 272.6万≈7.5. (3)不同意. 理由：·2022年的全国公共充电桩数 量的增长率为179.7-114.7 114.7 100%≈57%，2023年的全国公共充 电桩数量的增长率为 272.6-179.7X100%≈52%，57%> 179.7 52%, ∴.2022年全国公共充电桩数量的增 长率大于2023年全国公共充电桩数 量的增长率 期末压轴题特训 考向一 二次函数图像中的 信息问题 1.B2.D3.A 4.D解析：图像开口向下， ∴.a<0.,图像的对称轴在y轴的 -2>0,则b>0.:图像与 右侧，.一2a y轴的正半轴相交，∴.c>0..bc> 0.故①正确.当x=1时，y=a十b十 c>0.故②错误.，图像的对称轴为 直线x=1,图像与x轴交于点(3,0)， ∴.图像与x轴的另一个交点的坐标 为（一1,0）..关于x的一元二次方 程ax2十bx十c=0的根为x1=一1， x2=3.故④正确.当x=一2时，y= 4a一2b+c<0,故③错误.由图像，得 当x<1时，y随.x增大而增大.故⑤ 正确.综上所述，正确的是①④⑤： 5.D 6.D解析：y=ax2-4a.x十4 (a>0),.抛物线开口向上，对称轴 为直线x=2.:y1>y>y2.易 得2-m<m+2-2<2-(m-1). 3 ∴.1<m<2 7.C解析：.二次函数的图像开口 向上，.a>0.·图像的对称轴在 y轴的右制，会>0.6<0 ,图像与y轴的负半轴相交，∴c< 0.∴.abc>0.故选项A错误.由题图， 知图像交x轴于点(2,0)，另一个交 点横坐标在-1和0之间，2< 上21.=2u<b<-a.2a+ b>0.故选项B错误.由题图，知当 x=一1时，y>0,即a一b十c>0,故 选项D错误.：b<-a,即b十a<0, ∴.4b+4a<0.:当x=2时，4a+ 2b+c=0,..4a=-2b-c..4b一 2b一c<0,即2b一c<0.故选项C 正确. 8.0<m<2解析：由条件，可知该 二次函数图像的对称轴是直线x= -4=2.A(1y)、Bx2y2） _2a 是该二次函数图像上的两点，且m x1≤m+2,x2≥4，∴.点B(x2,y2)在 对称轴的右侧，点A(x,y1)关于对 称轴的对称点为(4一x1,y,).:m≤ x1≤m+2,∴.2-m4-x14-m. ①当a>0时，该函数的图像开口向 上，则对称轴右侧y随x增大而增 大.设m≤x1≤m十2，当x2≥4 时，y1<y2恒成立，∴.m+2<4,4 m<4,解得0m<2.②当a<0时， 该函数的图像开口向下，则对称轴右 侧y随x增大而减小，无法保证m≤ x1≤m+2,当x2≥4时，y1<y2恒成 立.综上所述，m的取值范围是0< m2. 9.一解析：·二次函数的图像开 口向下，∴.a<0.对称轴在y轴的 左侧，心23<0.b<0..ab>0 ,图像与y轴的正半轴相交，.c> 0..ab+c>0,abc>0..∴.点P(ab+ c,abc)在第一象限. 10.一1解析：如图，过点B作 BD⊥y轴于点D..菱形OABC的 边长为2，∴.OC=BC=2,AO∥BC :∠AOC=60°，.∠BCD=60°. '.在Rt△BCD中，BD=BC· sn∠BCD=2sin60°=2X 2=3, CD=BC·cos∠BCD=2cos60°= 2×2=1.OD=OC+CD=3. .B(一3，一3).把B(一√3，一3)代 入y=a.x2,得-3=3a..a=-1. 0 BY (第10题) 11.4解析：A(x1,n)、B(x2,n) 是抛物线y=x2+bx十4上不同的两 点，∴.点A(x1,n)、B(x2,n)关于抛 物线y=x2+bx+4的对称轴对称. 名+：=-6 2 :点(x1十x2,m),即(-b,m)在抛 物线上，∴.m=b2十b·（-b)十 4=4. 12.①②解析：：抛物线的开口向 下，∴.a<0.,抛物线与y轴的正半 轴相交，.c>0.对称轴在y轴的 右侧品>06>0.ak< 0.故①正确：-品<1,6< 一2a.'.a<b<一2a.故②正确， ,抛物线的顶点的纵坐标大于2，即 4ac-b Aa >2,又a<0,.4ac b2<8a,即b2+8a>4ac.故③错误. 由题图，知当x=1时，a十b十c=2, .'.c=2-a一b.当x=一1时，a b+c<0,∴.a-b+2-a-b<0,即 b>1.∴.b+2>3.当x=2时，4a十 2b+c<0,.4a+2b+2-a-b<0, 即3a+b+2<0..3a<-3,即 a<一1.故④错误.综上所述，结论正 确的是①② 13.①②④解析：把(-4,0)、（一1， 9)、(1,5)代入y=a.x2+bx+c,得 65 16a-4b+c=0, a=-1, a-b十c=9,解得b=-2, a+b+c=5, c=8. ∴.abc>0.故①正确.a=一1， b=一2，c=8,∴.该二次函数的表达 式为y=-x2-2x十8.当y=9时， -x2-2x+8=9,即x2+2x+1=0. 22-4×1×1=0,.关于x的一 元二次方程a.x2+bx+c=9有两个 相等的实数根.故②正确。·该二次 函数图像的对称轴为直线x= 一3+1=一1，二次函数图像的顶 2 点坐标为(-1,9).又a<0,.当 x<一1时，y随x增大而增大；当 x>一1时，y随x增大而减小；当 x=一1时，y取得最大值，为9.：当 x=一4时，y=0;当x=1时，y=5, 且0<5，∴.当-4<x<1时，y的取 值范围是0<y≤9.故③错误. m+二m-2=-1,点(m, 2 y1)、(-m-2,y2)关于直线x=-1 对称.∴.y1=y2.故④正确.由ax2十 (6+1)x+c<2,ax2+bx+c< -x十2，即-x2-2x十8<-x十2. 画出函数y=一x2一2x+8和y= 一x+2的图像如图所示.联立 y=-x+2, 解得 =2或 y=-x2-2.x+8, y=0 3：两个图像的交点的坐标 y=5. 为(2,0)、(-3,5).由图像，得当 x<一3或x>2时，一x2一2x十 8<-x+2,即a.x2+(b+1)x+c<2. 故⑤错误综上所述，正确的是①②④. 4 9 7 4 2 1 -5A-3-2-101X345x -2 -3 y=-x+2 -4 y=-x-2x+8 -5 (第13题) 14.(1)当a=1时，y=x2-2x+2 (x-1)2+1 ∴抛物线的顶点坐标为(1,1). (2)当x=0时，y=2a,即抛物线与 y轴的交点A的坐标为(0,2a). ,线段OA(含端点)上“完美点”的个 数大于3且小于6，即“完美点”的个 数为4或5，且a>0, ∴.当“完美点”的个数为4时，这4个 “完美点”的坐标分别为(0,0)、(0,1)、 (0,2)、(0,3):当“完美点”的个数为5 时，这5个“完美点”的坐标分别为(0， 0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4) .32a<5. ∴口的取值范開是产<a<号 (3)易知抛物线的顶点坐标为(1，a), 且过点P(2,2a)、Q(3,5a)、R(4, 10a). 显然，“完美点”(1,1)、(2,2)、(3,3)符 合题意 下面讨论抛物线经过点(2,1)或点(3， 2)的两种情况： ①当抛物线经过点(2,1)时，1=4a 4u十2a,解得a=2 1 此时，P(2,1).Q(3,2)R4,5). 5 如图①，符合题意的“完美点”有(1， 1)、(2,1)、(2,2)、(3,3),共4个 ②当抛物线经过点(3,2)时，2=9a 6如十解得a=号 此时，P(2,)Q(3,2R(4,4). 如图②，符合题意的“完美点”有(1， 1)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(3,3)、(4, 4),共6个. a的取值范围是 5 3 ① N(R) 012345x ② (第14题) 考向二以二次函数为 背景的探究性问题 1.A解析：由一次函数y=-2x十3 的图像，知C(0,3)、A(1.5,0),则c 3.∴.y=x2+bx十3.∴.二次函数图 像的预点华标为（合，12）设 B(a,a2+ab+3)(a<0).点B在 函数y=一2x十3的图像上，.a2+ ab+3=-2a+3①..AC:CB= /32+1.5 12,. /a2+(a2+ab+3-3)2 之@，联立①②，解得 a=-3, 或 b=1 a=3, (不合题意，舍去).∴.二次函 6=-5 数图像的顶点坐标为(7)】 2.B解析：如图，过点E作EM y轴于点M,延长ME交BC的延长 线于点N.易得∠AME=∠DNE= 90°，∠AEM=∠EDN,.∴.△AEMc∽ △FDN.兴兴由折益，得 DE=BD,AE=AB=3√5.设AM= BN=m,ME=..A(0,4)、 D(3W5,1),.DC=1,DE=BD=3. .EN=MN-ME=3√5-n,DN BN-BD=m-3.,.- 在Rt△AME中，根据勾股定理，得 m2+n2=(3√5)2②.由①②，易得 n=25,.AM=5,ME=25.过 m=5. 点E作EF⊥AB于点F,EF分别与 AD、OC交于点G、H,过点D作 DP⊥EF于点P.∴.易得EF=5, AF=2W5,E(2√5，-1)..EH=1, 66 EP=PH+EH=DC+EH=2. :∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG= ∠BAD,∴.△AFG∽△ABD. 福品即。G 353· 2.∴.HG=EF-FG-EH=2. ∴.点G的纵坐标为2.y=a.x2 4W5a.x+10=a(x-2√5)2+10-20a, ∴.抛物线y=a.x2-4√5ax十10的顶 点必在直线x=2√5上.又，抛物线的 顶点落在△ADE的内部，.此抛物线 的顶点必在线段G(不含端点)上 ：-110-2w<2.号<a<0 y A B G P D 0b- C M E (第2题) 3.B解析：“在y=4(x+2)(x- 8)中，当y=0时，x=-2或x=8, .A(一2,0)、B(8,0)..抛物线的 对称轴为直线x=一2，十8=3.故①正 2 确.⊙D的直径为8-(-2)=10， 即半径为5，∴.⊙D的面积为25元.故 ②错误在y=子（x+2)-8) 子名-4中，当x=0时y 一4，.C(0,一4).当y=一4时， 子-含-4=-4解得1=0… x2=6,.当CE∥AD时，E(6,-4), 则CE=6.AD=3一（一2）=5， .AD≠CE.∴.四边形ACED不是 平行四边形.故③错误.连接CD、 DM:y=2-x-4=- 3)2- 至÷M(6,-)又 :C(0,-4.D(3,0DM=5 cD=5CM=只：CD+Cw=