第7章 锐角三角函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

点H.斜坡AB的坡度i=1:2.4, 船立是设BH=米则 AH=12x米..AB √(5x)+(12x)7=13x(米. .13x=13,解得x=1..BH= 5米，AH=12米..·易知∠BHE= ∠E=∠BDE=90°，，.四边形 BHED为矩形.∴.HE=BD=6米， DE=BH=5米..AE=AH+ HE=12+6=18(米)..在 Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴.CE AE·tan45°=18×1=18（米）. ∴.CD=CE-DE=18-5=13(米)， 即大树CD的高度为13米. 2.A解析：如图，过点B作BD∥ AC,过点P作PE⊥AB于点E.由题 意，得∠PAC=60°，∠APO=30°， ∠PBD=15°.：斜坡AB的坡度i= 1:3,·an∠BAC=1=3 33 .∠BAC=30°.∴.∠PAO= ∠PAC-∠BAC=30°...∠PAO= ∠APO.∴·PO=AO,∠POB=60° :'BD∥AC,∴.∠DBA=∠BAC= 30°.∴.∠EBP=∠PBD+∠DBA= 45..易得EP=EB.设EP=EB= x米.∴.在Rt△POE中，EO= PE √3 PE ani0=3x米，P0=sin60 25 3x米.·A0= 23 3x米 :AO+OE+EB=AB=60米， 23 3x十x=60,解得x= 303-30.∴.OP=(60-20W3)米. D ---B A (第2题) 3.20解析：过点P作PD⊥AB,垂 足为D,过点P作PE⊥OC,垂足为 E.由题意，得OE=PD,PE=OD. 心山坡AP的坡度为3：4， 设DP=3xm,则AD=4红m 3 .在R△ADP中，AP= √AD+DP=5xm,AP=20m, ,∴.5x=20,解得x=4..AD=16m, DP=12m..OE=DP=12m.设 OA=am,则PE=DO=OA+AD= (a+16)m.在Rt△AOC中， ∠CAO=76°，∴.OC=AO·tan76°≈ 4am.,在Rt△CEP中，∠CPE= 8 21°，.CE=PE·tan21°≈2(a+ 8 16)m.:CE+0E=0C,.2a+ 16)+12=4a,解得a=5..C0= 20m,即大楼的高度约为20m. 4.如图，过点C作CG⊥AB于点G, 过点D作DH⊥AB于点H,则四边 形CDHG是矩形. .GH=CD=10 m,CG=DH ∠1=45°， ∴.易得CG=BG 设AH=xm,则AG=(x+10)m. :在Rt△ACG中，∠2=52°， .CG AG 10+x tan52°1.3m. BG=CG-10+z 1.3m. ∴.BH=BG+GIH= (9+1om ,在Rt△BDH中，∠3=65°， .tan65°= BH 10+x+10 1.3 DH 2.1. 10+x 1.3 .x≈1.8. .AH≈1.8m,BH≈19.1m. ∴.AB=BH+AH≈21m,即大楼 AB的高度约为21m. B G A (第4题) 第7章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A 58 [变式] 典例2C 原式=4× 3 1 [变式] -6×2 9+ 2)2 =23-5+ 1 = 2 1 + 2 典例3(1)，在Rt△ABC中， ∠CAB=90°， .cosC-BC =5 .AC=12, .BC=15. .AB=W√BC2-AC=9. (2)如图，过点D作DE⊥BC于 点E. 设AD=x,则CD=12-x. ,BD平分∠CBA,∠CAB=90°， ∴.∠EBD=∠ABD,∠DEB= ∠DAB=90°. 又，BD=BD, ∴.△BDE≌△BDA ∴BE=BA=9,DE=AD=x. ∴.CE=BC-BE=15-9=6. :在Rt△CDE中，∠CED=90°， ∴.DE2+CE2=CD2. .x2+62=(12-x)2,解得x=2 9 9 .AD= 2 9 ·tan∠DBA=AD-2=1 AB921 B (典例3图) [变式](1)设AC=3m. ·∠C=90,sin∠ABC=AC=3 AB=5· tan∠DAC-CD2 AC=3, .∴.AB=5m,CD=2m. .BC=√AB2-AC2=4m. ·BD=4,BC=CD+BD, ∴.4m=2m+4,解得m=2. ,.AC=3m=6. (2)如图，过点D作DE⊥AB于 点E 由(1)，知AB=5m=10,CD=2m= 4,AC=6. AB·DE_BD·AC 2 2 :10DE-4X6 2 2· ·DE=1 5 ·AC=6,CD=4, ∴.在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD=√/AC+CD=√62+4'= 2/13, .在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=VAD2-DE2= (2/13)2 5 12 ∴.tan∠BAD= AE 34=17 D 典例4(1)由题意，得四边形 EGBN是矩形， .EN=BG. ,在Rt△AGM中，AM=13分米， MG=12分米， .由勾股定理，得AG= √132-12=5（分米）. ,AB=19分米， .BG=AB-AG=19-5=14(分 米)，即MN=14分米. .该连衣裙MN的长度为14分米. (2)如图，过点E作EK⊥AB于点 K,延长EN,交l于点H. 由题意，得四边形EKBH是矩形. .'BK=EH. ,在Rt△AKE中，AE=13分米， ∠BAE=76.1°， ∴.AK=AE·cos76.1°≈13× 0.24=3.12(分米). ,AB=19分米， .BK=AB-AK=19-3.12= 15.88(分米). ∴.NH=EH-EN=BK-MN= 15.88-14=1.88≈2（分米） ∴.该连衣裙下端点V到地面水平线 1的距离约为2分米. E(ME D y777 (典例4图) [变式] 如图，由题意，得DB∥ AE//CO. ∴.∠DBC=∠BCO=36.9°， ∠EAC=∠ACO=30°. .在Rt△ACO中，AC=24m, 1 ·A0=2AC=12m,C0= √AC2-A0=123m. ,在Rt△BCO中，BO=CO· tan36.9°≈123×0.75=93(m), ,.AB=BO-AO=9√3-12≈ 3.6(m). 无人机从点A到点B的上升高度 AB约为3.6m. D-36.1B E--A C-0 [综合素能提升] 1.C2.B 3.B解析：由平移的性质，得AB∥ A'B',.∠B'EC=∠BAC=90°， ∠BAB'=∠AB'E,∠B=∠A'B'C. :amB=专m∠EBC=专 4 ,在Rt△B'EC中，tan∠EB'C= 器-青1设B0=rc>0.期 B'E=3x..由勾股定理，得B'C= 59 √EC2+B'E=√(4x)2+(3.x)7= 5x.AB'平分∠BAC, ∴∠BAB'=∠B'AC..∠AB'E= ∠B'AC..AE=B'E=3.x.在 Rt△ABC中，AB=7,∴.tanB= 怨-匹-“合部得 ABAB =专BC=5-9 4.6.55.5+1 6.7解析：如图，过点D作DHL 1 BC于点H..∠A=90°，∴.在 R△AC中，mB-瓷-是设 AC=3x(x>0),则BC=5.x..由勾 股定理，得AB=/BC2一AC2=4x. 'AD=AC =3x,:.BD=AB- AD=x.,在Rt△DBH中，sinB= 邵dDH-音曲勾股 定理，得BH=√BD-DH产= 5 CH=BC-BH 21 4 x. 六m∠D-8開-子 D BH (第6题) ,解析：连接EA、EC,QD,QD 与AE交于点H.易知点E、C、B在 同一条直线上.设菱形的边长为a米 (a>0).由题意，易得∠AEF=30°， ∠BEF=60°，∴.∠AEC=90°.易知 ∠DHE=90°，∴.在Rt△DHE中， EH=ED·cos30°= 2a米，DH= ED·sin30°-2米.QD=2DH= a米，AE=2EH=√3a米.∴.易得 BE=2a米..在Rt△AEB中， m∠ABE=能-受=号 2a 21 &Em∠AC-停 8.(1),在Rt△BOM中，∠BOM= 18.17°，BM=3米 BM .∴.OB= 3 sin∠BOM=sin18.17≈ 10(米). .直吊臂OB的长约为10米. (2)延长BM交水平线于点N. 由题意，得∠BNO=90°. .在Rt△BON中，∠OBM=36°， OB=10米， ,.BN=OB·cos∠OBM=10× c0s36°≈8.1（米）. .MN=BN-BM=8.1-3≈ 5(米). .货物M上升了约5米 第8章 统计和概率的 简单应用 8.1中学生的视力情况调查 1.C2.C3.不具有 4.先将30个零件编号为1、2、3、4、 5、…、28、29、30,并把号码写在形状、 大小相同的标签上，然后将这些标签 放到同一个不透明的箱子里，搅拌均 匀，抽签时，每次从中抽取1个标签， 并且不放回，连续抽10次，就得到 1个容量为10的样本（合理即可）. 5.D6.B7.红 8.样本选取不合理（合理即可） 易错警示 未正确把握数据统计的合理性 抽取样本时，要排除主观因素 的影响，使样本具有随机性、代表 性、广泛性。 9.我觉得小丽质疑“简单随机抽样的 方法”可以理解，但得出不可靠的结论 失之偏颇.虽然有抽到全班数学成绩 较好的10名同学的数学成绩的可能 性，但是从概率的角度看巧合样本出 现的概率是非常小的，因此简单随机 抽样抽出的样本还是具有代表性和可 靠性的（合理即可）. 10.(1)40. (2)喜欢羽毛球的学生人数为40 4一12一8=16，补全条形统计图如图 所示. (3)36° .16 (4)1800×40 =720(名)， ,∴.估计全校有720名学生喜欢羽 毛球 学生喜欢的课间体育活动的 条形统计图 人数16 16A 12 12 8 4 0 ABCD体育活动 (第10题) 11.B 12.(1)①140. ②第2组的人数为140-7-49 28一21=35，补全频数分布直方图如 图所示. ③126° ④595. (2)①少. ②< 人数 49 42 35---- 28 21 14 7-- 0 406080100120140 使用时间x/分钟 (第12题) 8.2货比三家 1.B2.B3.否所取的样本容量 太小，样本缺乏代表性（合理即可） 4.乙 5.(1)从两种品牌产品销售量的增 长率折线统计图中看不出两种品牌产 品销售量的多少， 理由：根据增长率无法判断产品的数量， 要做出这样的推断，必须已知两种品 牌2019年的销售量（合理即可）. (2)由折线统计图，可得B牌产品每 年销售量的增长率比A牌产品每年 60 销售量的增长率大；两种品牌产品销 售量的增长率逐年增加（合理即可）. 6.B 7.C解析：由题图，可得山药的销售 额大约为6000元，质量为300千克， .平均价格为6000÷300= 20(元/千克).西蓝花的销售额大约为 8000元，质量为1100千克，.平均价 格为8000÷1100≈7.27（元/千克）. 蘑菇的销售额大约为17500元， 质量为1300千克，.平均价格为 17500÷1300≈13.5（元/千克）.尖椒 的销售额大约为11000元，质量为 2000千克，.平均价格为11000÷ 2000=5.5(元/千克).茄子的销售额 大约为24000元，质量为2000千克， ∴.平均价格为24000÷2000 12(元/千克).丝瓜的销售额大约为 18000元，质量为2200千克，.平均 价格为18000÷2200≈8.18（元/ 千克).黄瓜的销售额大约为21000 元，质量为2500千克，.平均价格为 21000÷2500=8.4(元/千克)..4月 的平均价格最高的是山药： 8.A 9.④解析：测试的学生人数为10十 250+150+90=500.故①正确.由折 线统计图可知，从1月到4月，测试成 绩“优秀”的学生人数在总人数中的占 比逐渐增长.故②正确.由折线统计图 可知，4月增长的“优秀”人数比3月 增长的“优秀”人数多.故③正确.4月 测试成绩“优秀”的学生有500× 17%=85(名).故④不正确 10.(1)30. (2)由题意，得第三个月A、B两款洗 碗机的销量为400×25%=100（台）， 从折线统计图，可知第三个月A款洗 碗机的销量为50台， ∴，第三个月B款洗碗机的销量为 100-50=50(台) .第四个月B款洗碗机的销量为 400×30%-40=80(台). 补全洗碗机月销量的折线统计图如图第7章锐角三角函数 第7章整合拔尖 ●“答案与解析”见P58 知识体系构建 特殊角的三角函数值 解直角 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、 三角形 角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形 一般角的三角函数值 锐角三角函数 由三角函数值求锐角 实际应用 在Rt△ABC中，∠C=90,abc分别是∠A、∠B、∠C所对的边，则sinA=是，csA=名 tanA=a 9高频考点突破 考点一锐角三角函数的定义 变式]计算：4sin60°-6cos60°tan30°+sin45°. 典例1如图，将△ABC放在由边 长为1的小正方形组成的网格中， 点A、B、C均在格点上，则cosA的 A 值是 ( (典例1图)》 A B.10 5 C.2 D.0.5 [变式]如图，△ABC的各个顶点都在正方形网 考点三解直角三角形 格的格点上，则sinA的值为 典例3如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°， csC=AC=12,BD平分∠CBA,交边AC 于点D.求： (1)线段AB的长. 考点二○特殊角的三角函数值 (2)tan∠DBA的值. 典例2 在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且满 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 (典例3图) C,等腰三角形 D.等边三角形 提示 根据非负数的性质及利用特殊角的三角函数值 求出∠A、∠B的度数，进而得出△ABC的形状. 95 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 [变式]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，（精确到1分米，参考数据：sin76.1°≈0.97， 3 sim∠ABC-号点D在边BC上，BD=4,连接 cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04)？ AD,an∠DAC=号求： 2 E(M) E(ME (1)AC的长 B (2)tan∠BAD的值. (① ② (典例4图) [变式](2025·广安)随着科技的发展，无人机 在实际生活中应用广泛.如图，O、C是同一水平 线上的两点，无人机从点O竖直上升到点A,在 点A测得点C的俯角为30°，A、C两点的距离 为24m.无人机继续竖直上升到点B,在点B测 考点四实际应用题 得点C的俯角为36.9°.求无人机从点A到点B 典例4(2025·湖南)如图，某处有一个晾衣装 的上升高度AB(点O、A、B、C在同一平面内， 置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线L 精确到0.1m,参考数据：sin36.9°≈0.60， 于点B、D,AB=19分米，CD>AB.在点A、C cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，√3≈1.73). 之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米， 36.g的7B 一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重 合)，且直线MN⊥U. 0 (1)如图①，当该连衣裙下端点N刚好接触到 地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG为 12分米，求该连衣裙MN的长度. (2)如图②，为避免该连衣裙接触到地面，在另 端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E 的右侧)，若∠BAE=76.1°，则此时该连衣裙下 端，点N到地面水平线L的距离约为多少分米 96 第7章锐角三角函数 综合素能提升 1.如图，在△ABC中，∠A=30,amB= 8.(2025·凉山)如图①，某型号起重机吊起一 2 货物M在空中保持静止状态时，货物M与 AC=23,则AB的长是 () 点O的连线MO恰好平行于地面，BM= A.4 B.3+3C.5 D.2+23 3米，∠BOM=18.17°（精确到1米，参考数 据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95， tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈ 0.81,tan36°≈0.73). (第1题) (第3题) (1)求直吊臂OB的长， 3 2.已知cosa一，则锐角a的取值范围是(（ (2)如图②，直吊臂OB与BM的长保持不 变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36° A.0°<a<309 B.30°<a<459 时，货物M上升了多少米？ C.45°<a<60° D.60°<a<909 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=7, B tanB=3,将△ABC沿BC方向平移得到 4 水平线。 0 水平线 ② △A'BC',A'B'交AC于点E,连接AB'.若 (第8题) AB'平分∠BAC,则B'C的长为 () A B 4.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，cosA= 4√41 5 ,sinB=3AB=8,则BC的长为 5.在△ABC中，∠B=45°，∠A=75°，AB= √6，则BC的长为 6如图，在△ABC中，∠A=90,sinB=号，点 3 D在边AB上.若AD=AC,则tan∠BCD 的值为 D DC/p (第6题) (第7题) 7.如图所示为由6个形状、大小完全相同的菱 形组成的网格，菱形的顶点称为格点.若 ∠AOF=60°，点A、B、C都在格点上，则 tan∠ABC的值为 97