7.6 用锐角三角函数解决问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

在Rt△CDF中，由勾股定理，得 CD=DE2+CF2= √)+)- 2 ·cos∠BCD=CF 2 CD√10 10 2 D E ① ) ② (第13题) 7.6用锐角三角函数 解决问题 第1课时坡角问题 1.C2.A3.155m4.13 5.过点C作CF⊥AB于点F. ∴.∠BFC=∠AFC=90. 斜坡BC的坡度为1：2.4， .BF:CF=5:12. 设BF=5.xm. .'CF=12x m. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC2=BF2+CF2,即6.52=(5.x)2+ (12.x)2,解得x=0.5(负值已舍去)， ∴.BF=2.5m,CF=6m. ,在Rt△ACF中，∠ACF=56°， .'.AF=CF·tan∠ACF≈6X 1.48=8.88(m). ∴.AB=AF+BF=8.88+2.5≈ 11.4(m). ∴.电线杆AB的高约为11.4m. 6.A 7.A解析：如图，过点D作DE⊥ BM,DF⊥AB,垂足分别为E、F.由 题意，得BF=DE,DF=BE.:斜坡 CD的坡度为1：2器=子设 DE=x米(x>0),则CE=2x米. ∴.在Rt△CDE中，CD= √CE+DE2=√(2x)2+xz= √5x(米).CD=√I5米，.√5x= √I5,解得x=√5.∴.BF=DE= √5米，CE=25米.：BC=(8 3N3)米，'.DF=BE=BC+CE= 8-3√5+25=(8-√5)米.在 Rt△AFD中，∠BAD=45°，.AF= an45=(8-B)米.·AB=AF+ DF BF=8一√3十√3=8（米），即电线杆 AB的高为8米. D B C EM (第7题) 8.12解析：由题意，可知四边形 AEFD为矩形.∴.DF=AE.在 Rt△ABE中，∠ABE=45°，AB= 6√2m,∴.AE=AB·sin∠ABE= 6×号 =6(m)..DF=6m.背 水坡CD的坡度i=1:√5，∴.FC= 6√3m..在Rt△CDF中，由勾股定 理，得CD=√DF+FC= √62+(65)2=12(m). 9.号解析：如图，延长AN,交BC 的延长线于点E.由题意，得AD= BC=CD=9cm,∠D=90°，AD∥ BC,AN∥FG.设DN=xcm,则 CN=CD-DN=(9-x)cm.'密封 透明正方体容器水平放置在桌面上与 放在坡角为α的斜坡上，容器里水的 体积不变：且放在坡角为a的斜坡上 时，水的体积等于长为9cm、宽为 9cm、高为(9一x)cm的长方体的体 积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm 的长方体的体积的一半之和，∴.9× 9(9-x)+2×9×9x=9×9X7,解 得x=4,即DN=4cm.:AN/FG, ∴∠AEF=∠F=a.:AD∥BC, .∠DAN=∠AEF=a..tana= tan∠DAN=DN=4 AD 9 52 A(M) E a B G (第9题) 10.(1)过点B作BH⊥AF于点H 在Rt△ABH中，∠BAH=30°， sin∠BAH= BH AB' :.BH=AB·sin30°=800X2 400(m). ,易得四边形BHFE为矩形， ∴.EF=BH=400m. ∴.AB段山坡的高EF为400m. (2)·BC段山坡的坡度i=1:1, ∴.在Rt△CBE中，tan∠CBE=l. ∴.∠CBE=45°. ∴.CE=BC·sin∠CBE=200X sin45°=200x2 =100√2(m). ∴.CF=CE+EF=100√2+400≈ 541(m). .山峰CF的高度约为541m. 11.3v0 解析：，斜坡AB的坡度 5 =1:3小架=分：易知 BE 1 ∠CBD+∠ABE=9O°，∠ABE+ ∠A=90°，.∠CBD=∠A.又.易 知∠BDC= ∠AEB=90°， .△CBD∽△BAE..BE=AE CD BD CD BE 1 ·BDAE=3设CD=x米(x> 0),则BD=3x米..在Rt△CBD中， 由勾股定理，得BD+CD=BC,即 3x)2土x2=2,解得x=5(负值 已舍去.D1米 方法归纳 化归直角三角形解题 解答此题时，我们需要结合条 件将∠A化归到以BC为斜边的直 角三角形中，进而运用勾股定理 建立关于未知量的方程，求得问 题的结果 12.(1)如图①，延长BA交EF于点 M,则BM⊥EF. .∴.∠AME=90 ∠AEF=23°， .∴.∠MAE=67 .∠BAC=38°， .∠DAC=180°-∠BAC ∠MAE=75. (2)如图②，过点A作AN⊥CD于 点N. ∴.∠AND=∠ANC=90. ∠ADC=60°， ..∠NAD=30 .∴.∠CAN=∠CAD-∠NAD=45. .易得AN=CN. 在Rt△ADN中，ND=AD· cos60°=3m,AN=AD·sin60°= 3√3m, .CD=CN+ND=AN+ND= 3√5+3≈8(m). ∴.CD的长约为8m. B C 38 A出 60D F 237 E M B C 38 A 60 D F 23 E ② (第12题) 第2课时与旋转有关的问题 1.D2. 3 sin asinβ sin a+sin B 3.过点A作AD⊥OB于点D. 设细线OB的长为xcm. 由题意，易得四边形ANMD是矩形 .∴.DM=AN=14cm. ,BM=5 cm, .'DB=DM-BM=9 cm. .'.OD=(x-9)cm. 在Rt△AOD中，OD=OA· cos∠AOD, .x-9=x·cos66°，解得x≈15.3. ∴.细线OB的长约为15.3cm. 4.B 5.D解析：如图，过点A'作A'M⊥ AB,垂足为M.由题意，得A'O= AO=4米.在Rt△A'OM中， AM :sima=AO,.A'M=A'0· sina=4sina米，即点A上升的高度 为4sina米. A 0 B M B' (第5题) 6.(3+32)解析：如图，过点C作 CE⊥OB于点E,过点D作DF⊥OB 于点F.根据题意，得OD=OB= OC=6m.:在Rt△ODF中， ∠DOF=30°，.DF=OD· sin30°=6× =3(m)..在 Rt△OCE中，∠COE=45°，.∴.CE= 0C·sim45°=6X9 =3√2(m) ∴.DF+CE=(3+3√2)m,即座板从 点C处摆动至点D处的水平距离为 (3+3√2)m 0 45 E----- -F D B 地面 (第6题) 7.21解析：∠AOB=150°， .'.∠AOC=180°-∠AOB=30°. ,在Rt△ACO中，AC=11cm, .∴.A0=2AC=22cm.∴.AO= AO=22cm.∠A'OB=108, .∠A'OD=180°-∠A'OB=72 .在Rt△A'DO中，A'D=A'O· sin72≈22×0.95≈21(cm). 8.(1)如图①，连接OA 由题意，得简车每秒旋转360°×号÷ 53 60=5°. :在Rt△ACO中，cos∠AOC= 0C2.211 OA315' ∴.∠AOC≈43° :180-43=27.4(s,即经过大约 5 27.4s,盛水筒P首次到达最高点. (2)如图②，盛水筒P浮出水面3.4s 后，连接OA、OP,则∠AOP=3.4X 5°=17. ∴.∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+ 17°=60° 过点P作PD⊥OC于点D. .在Rt△POD中，OD=OP· c0s∠P0D=3cos60°=3X2 1 1.5(m). ∴.CD=OC-OD=2.2-1.5= 0.7(m). ∴.浮出水面3.4s后，盛水筒P距离 水面约0.7m (3)如图③，延长CO交⊙O于点H. :点P在⊙O上，且MN所在的直 线与⊙O相切， ∴.当点P在MN所在的直线上时，P 是切点. 延长MN交⊙O于点P,连接OP,则 OP⊥MN. :在Rt△OPM中，cos∠POM= OP 3 OM-8, .∠POM≈68. .在Rt△COM中，cos∠COM= 0C_2.2_11 OM8=401 .∠COM≈74. ∴.∠POH=180°-∠POM ∠C0M=180°-68°-74°=38. .38÷5=7.6(s), ∴盛水筒P从最高点开始，至少经过 约7.6s恰好在MV所在的直线上. 水面 以 ① D 水面 ② 水面 ③ (第8题) 9.(1)8:69. (2)如图，过点C作CH⊥AB于点 H,则∠CHO=∠CHB=90°. ,四边形OCDE为平行四边形， .'OC=DE=20 cm. .在Rt△COH中，∠COB=27°， .CH=20Xsin27≈9(cm). .OH=√202-92=√319(cm). BC=41 cm, ∴.在Rt△BCH中，由勾股定理，得 BH=√412-9=40(cm. .'AP=AO=AB-OH-BH= 69-√319-40=(29-√319)cm. ∴.限位器P应装在离点A约(29- /319)cm的位置， F D/C A(P)O H (第9题) 第3课时仰角、俯角 和方向角问题 1.C2.D3.1205 4.如图，过点C作CM⊥DE于点M. ,.易得CM=BE,EM=BC .FG⊥DE,∠FDA=∠GDC=53°， ∴.∠ADE=∠CDM=37 DE=80 m, ∴.在Rt△AED中，AE=DE· tan37°≈80X0.75=60(m). ,∴.CM=BE=AB-AE=75.9 60=15.9(m). CM '.在Rt△DCM中，DM tan37 15,9-21.2m. 0.75 .BC=EM=DE-DM=80- 21.2≈59(m). ∴.建筑物BC的高度约为59m. G. E B (第4题) 5.A 6.16解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E,则易得四边形BEDC是 矩形.∴.BE=CD=6m.由题意，得 ∠ADE=45°，∠ACB=58°.在 Rt△ADE中，∠ADE=45°，.AE= DE.设AE=xm(.x>0),则DE= x m..'.BC=x m,AB=(6+x)m. :在Rt△ABC中，tan∠ACB 能，6十2≈1,60，解得x=10.经 检验，x=10是原分式方程的解，且符 合题意.∴.AB=6+10=16(m). ∴.甲建筑物的高度AB约为16m. B (第6题) 7.50解析：如图，过点C作CD1 AB,交AB的延长线于点D,则易得 ∠BCD=30°.设BC=x海里(x> O),则在Rt△BCD中，BD=BC· m∠CD=子：海里，CD=C· cos∠BCD=3 x海里.·AD= AB十BD=(30+2)海里.“在 Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2, (30+）广+()°=0，解 得x=50(负值已舍去).∴.BC 50海里，即此时该渔船与小岛C之间 的距离是50海里 B (第7题) 54 8.如图，过点E作EI⊥AC于点I, 过点D作DH⊥AC于点H,则 ∠DHB=∠AIE=90 :AB、DE均与水平线FC垂直， .DE∥AC. ∴.∠DBH=∠BDE=72.5. .在Rt△DBH中，HD=BD· sin72.5°≈22×0.95=20.9(m), BH=BD·cos72.5°≈22×0.30= 6.6(m). 易得四边形EDHI是矩形， ∴.IH=DE=1.7m,EI=HD= 20.9m. ∠AEI=45°，∠AIE=90, .∠EAI=45=∠AEI .AI=EI=20.9m. .AB=AI+IH-BH=20.9+ 1.7-6.6=16(m). ∴.信号杆的高度AB约为16m. B Eeta D --- (第8题) 9.(1)如图，过点A作AE⊥CD于 点E,过点B作BF⊥CD于点F. ∴.∠AED=∠BFC=90°. 由题意，得∠DAE=30°， .在Rt△ADE中，AE=AD· cos∠DAE=20·cos30°=10W3(千 米)，DE=AD·sin∠DAE=20· sin30°=10（千米）. 甲无人机位于点A的正东方向 10千米的点B处，点D位于点C的 正西方向上， .AB//CD. ∴.AE⊥AB,BF⊥AB. ∴.四边形AEFB是矩形 ∴.EF=AB=10千米，BF=AE= 10W3千米. '.DF=DE+EF=10+10=20(千米). .在Rt△BDF中，由勾股定理，得 BD=√DF+BF= √202+(103)2=10wW7≈26.5（千米）. .B、D两点间的距离约为26.5千米 (2)如图，当甲无人机运动到点M,乙 无人机运动到点N时，此时满足 MN=20千米，过点M作MT⊥CD 于点T 由题意，得∠BCF=90°-30°=60°， '.在Rt△FBC中，BC= BF 10w3 sin∠BCF=sin60 =20(千米)， BF CE= 10√3 tan∠BCF tan60° =10(千米). ∴.CD=DF+CF=20+10=30(千米). 设BM=x千米，则DN=2x千米， CM=(20-x)千米， .在Rt△CMT中，CT=CM· cos∠MCT=(20-x)·cos60°= (1o-2x)千米，MT=CM· sin∠MCT=(20-x)·sin60°= (1o,6-g)开米 ∴.TN=CD-DN-CT=30-2x (10-x)=(20-号)千米 在Rt△MNT中，由勾股定理，得 MN2=MT+NT,即20=（105- 复)广+(20-8)广解得x=15 5√5或x=15+5√5（不合题意，舍 去. ∴.BM=15-5√5≈3.8（千米），即当 甲无人机飞离点B处3.8千米时，两 无人机可以开始相互接收到信号. 北 D NE (第9题) 专题特训九三角函数的 实际应用问题 1.D解析：如图，过点A作AE⊥ CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点 F,连接AB.易知点E、A、B、F在同 一条直线上.，点A、B之间的距离 为10cm,可以通过闸机的物体的最 大宽度是64cm,'.AE=BF=(64 10)÷2=27(cm)..∴.在Rt△ACE AE 中，AC= =27×2=54(cm). sin 30 (第1题) 2.B 3.(100√3一160)解析：过点B作 BE⊥AD于点E,过点C作CH⊥DG 于点H,则易得点B、C、H在同一条 直线上，四边形BEDH是矩形. ∴DE=BH,BE=DH.在 Rt△ABE中，∠BAE=60°，∴.BE= AB·n60=20×9=1005(em, 2 AE=AB·cos60°=200X2 100(cm).∴.DH=1003cm. AD 280 cm,AE 100 cm, '.DE=180cm.'.BH=180cm. .BC =20 cm,.'CH 160 cm. ,在Rt△CHF中，∠CFH=45, ∴.∠CFH=∠HCF=45°.∴.HF= CH=160 cm..'DF=DH-FH= (100√5-160)cm. 4.(1)如图，过点B作BM⊥FG,垂 足为M,则四边形BHGM为矩形. ∴.MG=BH=3.4m,∠HBM=90°， ∠AMB=90°. ∴.∠ABM=∠ABH-∠HBM= 125°-90°=35 :在Rt△ABM中，sin∠ABM= AM AB' '.AM=AB·sin35°≈6.1×0.57= 3.477(m). ∴.AG=AM+MG=3.477+3.4≈ 6.9(m). ∴.操作平台A离地面的高度AG约 为6.9m (2)能. 如图，连接BF。 .在Rt△ABM中，cOs∠ABM= BM AB' 55 '.BM=AB·cos35≈6.1X0.82≈ 5.0(m). .MG=3.4m, ∴.FM=FG-MG=14.4-3.4= 11(m). .在Rt△FBM中，根据勾股定理， 得BF2=BM+FM2=5.02+112= 146(m2). .132=169>146, ∴.操作平台A能到达楼顶F. A B-- -gM G EHD (第4题) 5.50 6.(1)如图，过点D作DH⊥BC于 点H,DF⊥AC于点F. 在Rt△ADF中，∠ADF=a= 36.87,sim∠ADF=AE AD 设AF=3.xm,则AD=5xm. ∴.由勾股定理，得DF= √JAD2-AF2=4.xm. .'AC=16 m,AD+DE=36 m, ∴.DE=(36-5.x)m,CF=(16- 3x)m. ,易知∠DHC=∠ACB= ∠DFC=90°， ∴.四边形DHCF为矩形 .DH CF (16-3x)m,DF CH. 在Rt△DEH中，∠DEH=B= 262am∠DEH-. 、、.16325,解得x2. 36-5.x ∴.36-5x=26. ∴.坝面DE的长约为26m (2)由(1)，易得DH=10m,拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 7.6 用锐角三角函数解决问题 第1课时 坡角问题 ◆“答案与解析”见P52 基础进阶 0.83,cos56°≈0.56，tan56°≈1.48). 1.如图所示为滑梯的示意图，滑坡AB的坡度 是1：3，滑坡的水平宽度AC是6m,则高 BC为 A.3m B.5m C.2m D.4m B (第5题) (第1题) (第2题) 2.如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶的 幻素能攀升 高为18cm,深为30cm,现打算将台阶改为 6.如图所示为某滑雪运动员沿着坡度i=1: 斜坡，台阶的起点为A,斜坡的起点为C,斜 √3的斜坡滑行时的情景，她滑行的距离s(m) 坡BC的坡度i=1:5,则AC的长是( 与时间t(s)之间的关系为s=t2+2t.若她滑 A.210 cm B.120 cm 到坡底用时6s,则她下降的高度为() C.504 cm D.60 cm A.24mB.48mC.36m D.243 m 3.(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水 坡AB的斜面坡度i=1：√2（斜面坡度是指 坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比). B C M 若堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度 (第6题) (第7题) 是 7.如图，电线杆AB直立于地面BM,CD是一 斜坡，其坡度为1：2，AD是电线杆的一斜拉 钢绳.已知BC=(8一33)米，CD=√15米， B (第3题) (第4题) ∠BAD=45°，则电线杆AB的高为() 4.如图，斜坡AB的坡度i1=1:3,现需要在 A.8米 B.10米 D.9米 不改变坡高AH的情况下使坡度变缓，调整 C.12米 后的斜坡AC的坡度i2=1：2.4.已知斜坡 8.如图，某大坝的横断面为梯形ABCD,AE、 DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α= AB=10米，则斜坡AC= 米 5.(2025·松原宁江模拟)如图，一电线杆AB 45°，坡长AB=6√2m,背水坡CD的坡度 用拉绳AC固定，点C在斜坡BC的顶端，斜 i=1:3,则背水坡CD的长为 m. 坡BC=6.5m,坡度为1：2.4，测得拉绳AC 与水平线CE的夹角∠ACE=56°，求电线杆 E AB的高（精确到0.1m,参考数据：sin56°≈ (第8题) 84 第7章锐角三角函数 9.(2025·扬州)如图①，棱长为9cm 思维拓展 的密封透明正方体容器水平放置在 11.★如图所示为将一正方体货物沿坡 桌面上，其中水面高度BM=7cm. 面AB装进货车货厢的平面示意 将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水 图，已知长方体货厢的高BC为 面MN恰好经过点A,其主视图如图②所 2米，斜坡AB的坡度i=1：3,延长CB交 示，则tana= 地面于点E,且CE垂直于地面.现把图中 A D 的货物继续向前推移，当货物顶点D与点C A(M 重合时，恰好可把货物放平装进货厢，此时 BD= 米 a B (1 ② (第9题) 10.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山 的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段 地面E 山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800m, (第11题) BC=200m,坡角∠BAF=30°，BC段山坡 12.(2025·宿迁模拟)山坡上有一棵与水平面 的坡度i=1：1.求： 垂直的大树AB,一场台风过后，大树被刮 (1)AB段山坡的高EF 倾斜并在点C处折断倒在山坡上，树的顶 (2)山峰CF的高度（精确到1m,参考数 部恰好接触到坡面的点D处（如图）.已知 据：√2≈1.414). 山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜 角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所 成的角∠ADC=60°，AD=6m.求： (1)∠DAC的度数， (2)CD的长（精确到1m,参考数据：√2≈ (第10题) 1.4,√3≈1.7，√6≈2.4) 23E (第12题) 85 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第2课时 与旋转有关的问题 ◆“答案与解析”见P53 基础进阶 幻素能攀升 1.（2025·南通启东二模)如图，一条细绳系着 4.如图，某汽车车门的底边长OM为0.95m, 一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点 车门侧开后的最大角度（∠NOM)为72°.若 O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两 将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点 个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为 中到车身的最大距离是 ( 40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高 A.0.95m B.0.95sin72°m 度差为 ( C.0.95cos72°m D.0.95tan72°m A.(50-50sin40°)厘米 A B.(50-50cos40)厘米 C.(50-50sin20°)厘米 0 D.(50-50c0s20°)厘米 B' (第4题) (第5题) 0 5.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平 位置AB绕点O按顺时针方向旋转到A'B AB 的位置，AO=4米，栏杆的旋转角∠AOA'= (第1题) (第2题) 2.已知跷跷板AB的长为3m,由于跷跷板的支 a,则点A上升的高度为 () 撑点O偏离中点，因此当端点A碰到地面 A.4tana米 B.4cosa米 时，AB与地面的夹角为α（如图①），当端点 4 C. 米 D.4sina米 sina B碰到地面时，AB与地面的夹角为3（如图 6.如图，秋千静止时，秋千链子OB与支柱OA ②)，则跷跷板AB的支撑点O到地面的距离 重合，秋千链子OB=6m,将座板推至点C OH是 m. 处，此时秋千链子与支柱的夹角为45°，松开 3.如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面 后座板摆动至点D处，此时秋千链子与支柱 内的A、C两点间来回摆动，点A与地面之 的夹角为30°，则座板从点C处摆动至点D 间的距离AN=14cm,小球在最低处点B 处的水平距离为 m 时，与地面之间的距离BM=5cm,∠AOB= 66°.求细线OB的长（精确到0.1cm,参考数 据：sin66°≈0.91，cos66≈0.41，tan66°≈ 2.25). A地面 D O (第6题) (第7题) 7.(2024·盐城盐都三模)如图所示为一台笔记 本电脑的示意图，当笔记本电脑的张角 M (第3题) ∠AOB=150时，顶部边缘A处离桌面的高 度AC为11cm,当笔记本电脑的张角 86 第7章锐角三角函数 ∠AOB=108°时，顶部边缘A'处离桌面的 思维拓展 高度A'D约为 cm(点A的对应点 9.新情境·现实生活（2025·镇江丹阳 是A',精确到1cm,参考数据：sin72°≈0.95， 二模)现代化的写字楼为了优化室 cos72°≈0.31，tan72°≈3.08) 内通风效果，特别设计了一种可调 8.新考向·数学文化筒车是我国古代利用水力 整角度的平开窗（如图①）.窗户推开不同角 驱动的灌溉工具.如图，半径为3m的筒车 度时，室内通风效果会有所不同.把该实物图 ⊙0按逆时针方向每分钟旋转？圈，简车与 抽象成如图②所示的示意图.已知滑撑支架 的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定 水面分别交于点A、B,筒车的轴心O距离水 在窗页底边，B、C、D三点固定在同一条直线 面的高度OC=2.2m,筒车上均匀分布着若 上.当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和 干个盛水筒.从某个盛水筒P刚浮出水面时 DB均落在AB上；当点O向点B滑动时， 开始计时参考数据：cos43=sin47°≈ 15 四边形OCDE始终为平行四边形，其中 OE=8cm,DE=20cm,BC=41cm.窗户打 sin16=c0os7440sn2°=6s68≈g 开一定角度后，OC与AB形成一个角 (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最 ∠COB.出于安全考虑，部分公共场合的平开 高点？ 窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度 (2)浮出水面3.4s后，盛水筒P距离水面 应该控制在30°以内（即∠C)B≤30°） 多高？ (1)滑撑支架中CD的长度为 cm, (3)若接水槽MN所在的直线是⊙O的切 滑动轨道AB的长度是 cm 线，且与直线AB交于点M,OM=8m,则盛 (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平 水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰 开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器 好在MN所在的直线上？ P,来控制平开窗的开启角度，当点O滑动到 点P时，∠COB=27°，则限位器P应装在离 点A多远的位置（参考数据：sin27°≈0.45）？ 水面 (第8题) D E (第9题) 87 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第3课时 仰角、俯角和方向角问题 “答案与解析”见P54 基础进阶 为75.9m,试求建筑物BC的高度（精确到 1.观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测 1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 员的高度忽略不计)观察前方高出海平面 0.80,tan37°≈0.75). 150米的一座山崖顶端，测得其仰角为60°， 则小船和山崖之间的水平距离为 ( A.1503米 B.1003米 E B C.503米 D.300米 (第4题) 2.无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如 图，某人利用无人机测量某大楼的高度BC, 无人机停在空中点P处，测得地面点A处的 俯角为60°，且点P到点A的距离为80米， 同时测得楼顶点C处的俯角为30°.已知点 A与大楼的距离AB为70米（点A、B、C、P 在同一平面内)，则大楼的高度BC为( 幻素能攀升 A.51米 B.29√3米 5.如图，在小山的东侧点A处有一个热气球， C.(403-10)米 D.30√3米 受西风的影响，以20m/min的速度沿与地面 成75°角的方向飞行，15min后到达点C处， 60 、T30 此时热气球上的人测得小山西侧点B处的 俯角为30°，则A、B两点间的距离为() 7777777777777元 (第2题) (第3题)》 A.300√2m B.375√2m 3.(2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端 C.375√6m D.250√6m A、B的距离不易测量，某科技小组需要用无 人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至 30°7 距湖面90m的点C处，从点C测得点A的 俯角为60°，测得点B的俯角为30°(A、B、C B (第5题， (第6题) 三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A、B 6. 如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物顶部 的距离为 m. 点A处测得乙建筑物顶部点D的俯角α为 4.某校数学社团开展利用无人机测量建筑物高 45°，底部点C的俯角3为58°，BC为两座建 度的实践活动.如图，当无人机飞到点D处 筑物之间的水平距离.已知乙建筑物的高度 时，测得建筑物顶部点C和水平地面上点A CD为6m,则甲建筑物的高度AB约为 的俯角∠GDC与∠FDA均为53°，此时无人 m(精确到1m,参考数据：sin58°≈ 机的高度DE为80m,点A、B之间的距离 0.85,cos58°≈0.53，tan58°≈1.60). 88 第7章锐角三角函数 7.如图，海中一渔船在点A处，与小岛C相距思维拓展 70海里.若该渔船由西向东航行30海里到 9.(2025·重庆)为加强森林防火，某 达点B处，此时小岛C位于点B的北偏东 林场采用人工瞭望与无人机巡视两 30°方向，则此时该渔船与小岛C之间的距离 种方式监测森林情况.如图，点A、 是 海里. B、C、D在同一平面内.点A处是瞭望台，某 一时刻，观测到甲无人机位于点A的正东方 向10千米的点B处，乙无人机位于点A的 B 南偏西30°方向20千米的点D处.两无人机 (第7题) 同时飞往点C处巡视，点D位于点C的正西 8.(2025·陕西)小涵和小宇想测量公园山坡上 方向上，点B位于点C的北偏西30°方向上 一个信号杆的高度.在征得家长同意后，他们 带着工具前往测量.测量示意图如图所示，他 (参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24， 们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE, 7≈2.65) 测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡 (1)求B、D两点间的距离（精确到0.1千米）. 面的夹角3为72.5°，又测得点D与信号杆 (2)甲、乙两无人机同时分别从点B、D处出 底端B之间的距离DB为22m.已知DE= 发，沿BC、DC往点C处进行巡视，乙无人机 1.7m,点A、B、C在同一条直线上，AB、DE 的速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机 均与水平线FC垂直.求信号杆的高度AB 相距20千米时，它们可以开始相互接收到信 (参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈ 号.当甲无人机飞离点B处多少千米时，两 0.30,tan72.5°≈3.17). 无人机可以开始相互接收到信号（精确到 0.1千米)？ C (第8题) (第9题) 89