专题特训十 与三角函数有关的综合&数学活动 测量建筑物的高度-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

∴.在Rt△DEH中，由勾股定理，得 EH=√DE2一DH2= √262-10=24(m). 设BC=ym. :S△A=S△ADF十S梯形DF,且易知 DF=CH=8 m,AF=6m, 1 1 1 ·2X16y=2×6×8+2 ×(8+ 8+24)×10,解得y=28 .BC=28m. ,.BE=CE-CB=8+24-28= 4(m). ∴坡脚向前推进的距离BE的长约 为4m. D F 16m H (第6题) 7.如图，设过点B的水平线交ED于 点M,交FH于点N,则易知四边形 ABMD、四边形DMNH、四边形 ABNH都是矩形 ∴.BM=AD=0.6m,BN=BM+ MN=AD+DH=0.6+1.4=2(m), HN=DM=AB=1.2 m. (1)·在Rt△EBM中，∠EBM= 50°，BM=0.6m, .EM=BM·tan50°≈0.6X1.19 0.714(m). .DE=DM+EM=1.2+0.714≈ 1.9(m),即支柱DE的高约为1.9m. (2),在Rt△FBN中，∠FBN= 26.5°，BN=2m, .FN=BN·tan26.5°≈2X0.50= 1(m). .FH=FN+HN=1+1.2= 2.2(m),即棚顶F离地面的高度FH 约为2.2m. F B M26.5° H D (第7题) 8.如图，作正东方向航线BD,过点C 作CE⊥BD于点E,过点A作AF⊥ BD于点F,过点C作CG⊥AF于 点G 根据题意，得CE=110km, ∠ECB=79 设EF=xkm. 易知四边形CEFG是矩形， ∴.CG=EF=xkm,FG=CE= 110km. ∴.在Rt△CBE中，BE=CE· tan∠ECB=110×tan79°≈110×5= 550(km). .'BF=BE-EF=(550-2)km. ,在Rt△ABF中，∠BAF=63°， AF-tan ZBAF 550-工km. 2 ∴.AG=AF-FG= (55022-110）km. 2 ,在Rt△AGC中，∠GAC=37°， tam37°=AG CG :075≈x÷(5022-110),解得 x=90. .50,-2=230. 2 .港口A到航线的距离约为 230km. 北 G-C 人79 B (第8题) 专题特训十与三角 函数有关的综合 1.是 解析：原方程可化为(c一 a)x2十2bx十c十a=0.由题意，可知 c-a≠0,4b2-4(c-a)(c+a)=0, ∴.c2=a2+b2.∴.△ABC是直角三 角形，且∠C=90°.3c=a+3b, .c2=(3c-3b)2+b2..4c2 56 9bc+5b2=0.∴.c=b(不合题意，舍 去或c=6.3× =a十36. 3b=4a.'tan A=4=3 b=4 2.由题意，得4a2-4(b+c)(c- b)=0, .a2+b2=c2 .∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90 '.sin B cos A-cos Bsin A=0, 6.b-.4=0. CCCC .b2=a2. ∴.b=a. ∴.△ABC是等腰直角三角形. 3.2 4.(1)把x=0代人y=kx一1，得 y=-1, ∴.点C的坐标是(0，-1). ∴.OC=1. '在Rt△OBC中，tan∠OCB= OB 1 0元=2 :0B=2 1 ·点B的坐标是(？，0)： 把B(2,0)代人y=x-1,得 2-1=0,解得6=之 (2)由(1)，知直线AB对应的函数表 达式为y=2x-1. &s=20B·y= 1 =7 点A在第一象限内， x>0, 解得今号 (2x-1>0, ∴.△AOB的面积S与x之间的函数 表达式为s=名子(>)】 5.(1)点B的坐标为(2,0)， ∴.OB=2. AB⊥x轴， AB 3 '.tan∠AOB OB2 .AB=3 .点A的坐标为(2,3). 把A(2,3)代入y=么，得=2× 3=6. (②)易知点E的纵坐标为号 将y=号代人y=得= ·点E的坐标为(4，多) 设直线AE对应的函数表达式为y= ax+b. 将A(2,3)、E(4,)代人，得 13=2a+b, 3 a= 4 解得 =4a+b, 9 b=2 .直线AE对应的函数表达式为 3 y=-是+ (3)AN=ME. 3 理由：在y=一 4x+9中，令y=0 -9 可得x=6:令x=0,可得y=2 ÷M6,0N(0,号) i0M=6.0N=号 如图，延长DA,交y轴于点F,则易 得AF⊥ON,AF=2,OF=3. &NP=0N-0r=号 ∴.在Rt△ANF中，根据勾股定理， 得AN=VAF+NF=号. :CQM=6-4=2,BC=受，易得 DC⊥x轴， ∴.在Rt△CEM中，根据勾股定理，得 EM=√CMN+EC= 5 .AN-=ME B (第5题) 6.(1)四边形ABCD是矩形， ∴.易得∠D=∠DCG=90. E是CD的中点， .DE=CE. :∠DEF=∠CEG, .'.△EDF≌△ECG. .EF=EG. 又.·BE⊥FG ∴.BE是FG的垂直平分线. .∴.BF=BG (2).BF=BG .∠BFG=∠G. CE-8. .tam∠BFG=tanG-C 设CG=x(x>0),则CE=√3.x. SACGE ?x=65,解得= 2√3（负值已舍去）. ∴.CG=25,CE=6. :∠BCE=∠ECG=90°， ∴.∠CBE+∠BEC=90°. 又.BE⊥FG, '.∠BEC+∠CEG=90° '.∠CBE=∠CEG '.△BCEc∽△ECG “焉 BC、6 6251 .BC=65. .·四边形ABCD是矩形， .∴.AD=BC=6W3 7.C8.A 9.2 解析：连接PB、PE.·⊙P 分别与OA、BC相切于点E、B, ∴.PB⊥BC,PE⊥OA.BCOA, .点B、P、E在同一条直线上 A(2,0)、B(1,2),.OA=2, OE=1,BE=2..AE=2-1=1. AE 1 .'.tan∠ABE= BE =2 ,∠FDE=∠ABE,∴.tan∠FDE= 2 10.(1)连接OC,易得点C在 57 ⊙O上 BH⊥AD, .∠AHB=∠ACB=90°. ∴.易得A,B,H,C四点共圆. .∠BCH=∠BAH. ,AH平分∠BAC, '.∠CAH=∠BAH. ∴.∠CAH=∠BCH. OA=OC, ∴.∠CAO=∠ACO. ∴.∠BCH=∠ACO, ∴.∠OCH=∠BCH+∠BCO= ∠ACO+∠BCO=90°. ∴.OC⊥CH. 又.OC是⊙O的半径， ∴.CH是⊙O的切线 (2)连接DE,设CE交AD于点F. 'AH平分∠BAC, ∴.∠CAH=∠BAH. ∴.CD=DE .易得AD垂直平分CE. ,∠CAH=∠BCH,∠CHD=∠AHC, '.△ACHc∽△CDH. CH AH AC ∴D品-CHCD=am∠ADc=2. DH=2, .CH=4,AH=8. ∴.AD=6. ,在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AC2+CD2=AD2, ∴.(2CD)2+CD=36. CD=65 5 ·AC=125 5 1 1 :S△m=2AC·CD=2AD· CF, :CF-AC·CD AD 125×65 5 、512 5 ·CE=2CF=24 数学活动测量建筑物的 高度 1.C解析：过点B作BH⊥AE于 点H.斜坡AB的坡度i=1:2.4, 船文意设BH=米则 AH=12.x米..AB= √(5x)+(12x)=13.x(米. .13x=13,解得x=1.∴.BH= 5米，AH=12米.，易知∠BHE= ∠E=∠BDE=90°，.四边形 BHED为矩形.∴.HE=BD=6米， DE=BH=5米.'.AE=AH+ HE=12+6=18(米).在 Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴CE AE·tan45°=18×1=18（米）. ∴.CD=CE-DE=18-5=13(米)， 即大树CD的高度为13米. 2.A解析：如图，过点B作BD∥ AC,过点P作PE⊥AB于点E.由题 意，得∠PAC=60°，∠APO=30°， ∠PBD=15.,斜坡AB的坡度i= 1：5,tan∠BAC=是=5 53 ∴.∠BAC=30°.∴.∠PAO= ∠PAC-∠BAC=30°.'.∠PAO ∠APO..∴.PO=AO,∠POB=60 BD∥AC,∴.∠DBA=∠BAC 3O°.∴.∠EBP=∠PBD+∠DBA= 45..易得EP=EB.设EP=EB= x米.∴.在Rt△POE中，EO= PE 3 PE tan60°= x米，P0=sm0 3x米.·.A0= 25 23 3 x米 :AO+OE+EB=AB=60米， 25十十x=0,解得 305-30.∴.OP=(60-205)米. D B A C (第2题) 3.20解析：过点P作PD⊥AB,垂 足为D,过点P作PE⊥OC,垂足为 E.由题意，得OE=PD,PE=OD. 山坡AP的坡度为3：4咒7 至.设DP=rm,则AD=zm .在Rt△ADP中，AP= VAD2+DP2 5x m.AP=20 m, ∴.5x=20,解得x=4..AD=16m DP=12m.∴.OE=DP=12m.设 OA=am,则PE=DO=OA+AD= (a+16)m.在Rt△AOC中， ∠CAO=76,∴.OC=AO·tan76°≈ 4am.:'在Rt△CEP中，∠CPE= 8 21,.CE=PE,tan21°≈2a+ 16)m.CE+OE=C,+ 8 16)+12=4a,解得a=5..∴.C0= 20m,即大楼的高度约为20m. 4.如图，过点C作CG⊥AB于点G, 过点D作DH⊥AB于点H,则四边 形CDHG是矩形. ∴.GH=CD=10m,CG=DH ∠1=45， ∴.易得CG=BG. 设AH=xm,则AG=(.x+10)m. ,在Rt△ACG中，∠2=52°， .CG= AG 10+x tan52≈1,3m. BG=CG=10+z 1.3m. .BH=BG+GH= (10+x+10）m. 1.3 ,在Rt△BDH中，∠3=65°， m65船 10十x+10 1.3 ≈2.1. 10+x 1.3 .x1.8. ∴.AH≈1.8m,BH≈19.1m. ∴.AB=BH+AH≈21m,即大楼 AB的高度约为21m. B dG D A E (第4题) 第7章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A 58 [变式] 典例2C 「变式7 原式=4× 1 2 -6×2× 3 + 2 1 =25-√5+ 2 + 2 典例3(1)：在Rt△ABC中， ∠CAB=90°， A .cos C-BC =5 AC=12, .BC=15. ∴.AB=√BC2-AC2=9. (2)如图，过点D作DE⊥BC于 点E. 设AD=x,则CD=12-x. :BD平分∠CBA,∠CAB=90°， ∴.∠EBD=∠ABD,∠DEB= ∠DAB=90. 又BD=BD, ∴.△BDE≌△BDA. ∴.BE=BA=9,DE=AD=x .CE=BC-BE=15-9=6. .在Rt△CDE中，∠CED=90°， ∴.DE2+CE2=CD. .x2+62=(12-x)2,解得x=2 9 .AD=2: 9 tan∠DBA=AR=名-1 21 B (典例3图) [变式](1)设AC=3m. :∠C=90°，sin∠ABC=AC=3 AB5' tan∠DAC-CD2 AC3 .'.AB=5m,CD=2m. ∴.BC=√AB2-AC=4m.拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训十与三 类型一三角函数与方程的综合题 1.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C 的对边.若关于x的方程a(1一x2)+2bx+ c(1+x2)=0有两个相等的实数根，且3c= a十3b,则tanA的值为 2.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C 的对边.若关于x的方程(b+c)x2一2ax+ c一b=0有两个相等的实数根，且sinB· cosA-cos Bsin A=0,试判断△ABC的 形状 类型二三角函数与函数的综合题 3.(2025·连云港二模)如图，一束光 从点A出发，经过y轴上的点B(0, 1)反射后经过点C(p,g),入射光线 与y轴正方向的夹角为a,且tana=2,则 p+2g的值是 (第3题) 92 角函数有关的综合 “答案与解析”见P56 4.如图，直线y=k.x一1与x轴、y轴分别交于 B,C两点，且m∠OCB-2 (1)求点B的坐标和k的值. (2)设A(x,y)是直线y=k.x一1上的一个 动点且在第一象限内，连接OA,在点A的运 动过程中，试写出△AOB的面积S与x之间 的函数表达式 y y=kx-1 A(x,y) O/B (第4题) 5.如图，反比例函数y=(x>0)的图像经 过线段OA的端点A,O为原点，过点A 作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(2,0)， tan∠AOB=2 (1)求k的值 (2)将线段AB沿x轴的正方向平移到线段 DC的位置，连接AD.若反比例函数y会 (x>O)的图像恰好经过DC的中点E,求直 线AE对应的函数表达式， (3)若直线AE与x轴交于点M,与y轴交 于点N,试探索线段AN与线段ME的大小 关系，并说明理由。 M OB C (第5题) 类型三三角函数与图形全等的综合题 6.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F 是边AD上一点，连接FE延长，交BC的 延长线于点G,连接BF、BE,且BE⊥FG (1)求证：BF=BG (2)若tan∠BFG=√3，S△ccE=63,求AD 的长 (第6题) 第7章锐角三角函数 类型四三角函数与圆的综合题 7.如图，⊙O的两条弦AC、BD相交于点E, ∠A=70°，∠C=50°，则cos∠AEB的值为 A.√5 B.3 c司 P。 0 0 A (第7题) (第9题) 8.在△ABC中，AB=AC=5,sinB=5,⊙0 过B、C两点，且⊙O的半径为√10，则OA的 长为 () A3或5B.5 C.4或5D.4 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BCOA,⊙P分别与OA、OC、 BC相切于点E、D、B,与AB交于点F.若 A(2,0)、B(1,2),则tan∠FDE= 10.新考向·学科内综合(2025·扬州邗 江二模)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠CAB的平分线 AD交BC于点D,以AD为直径的⊙O交 AB于点E,BH⊥AD交AD的延长线于 点H,连接CH. (1)求证：CH是⊙O的切线 (2)连接CE,若tan∠ADC=2,DH=2,求 CE的长. (第10题) 93 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 数学活动 测量 1.某兴趣小组进行测量大树CD高度的综合实 践活动.如图，在点A处测得直立于地面的 大树顶端C的仰角为45°，沿斜坡AB行走 13米至坡顶B处，再沿水平方向行走6米至 大树脚底D处，斜坡AB的坡度i=1:2.4, 则大树CD的高度为 ( A.5米 B.12米 C.13米 D.18米 (第1题) (第2题) 2.(2025·益阳模拟)如图，某公园内有一斜坡 AB,坡度i=1：√3，AB=60米，斜坡AB上 有一古树OP,某游人在斜坡起点A处看古 树树顶P的仰角为60°，在斜坡终点B处看 古树树顶P的仰角为15°，则古树OP的高 度为 ( ) A.(60-20√3)米B.30米 C.(603-60)米D.30√3米 3.(2025·南京玄武二模)如图，某栋大楼一侧 OC临近山坡AP,点O、A、B在同一条直线 上.山坡AP的坡度为3：4，坡脚A与坡顶 P之间的距离AP=20m.在坡脚A处测得 楼顶C的仰角为76°，在坡顶P处测得楼顶C 的仰角为21°，则大楼的高度约为 m 参考数据：tan21≈，an764. 000 000 21℃- 000 000 00076以 (第3题) 94 建筑物的高度 ●“答案与解析”见P57 4.(2025·威海)如图，小明同学计划测量小河 对面一幢大楼AB的高度.测量方案如下： 先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B 的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2 的度数.然后在点C正下方点D处，测得大 楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°， ∠2=52°，∠3=65°，CD=10m,求大楼AB 的高度（精确到1m,参考数据：sin52°≈0.8， cos52°≈0.6，tan52°≈1.3，sin65°≈0.9， cos65°≈0.4，tan65°≈2.1). 27F (第4题)