专题特训一 与二次函数有关的图像信息问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训一与二次函数有关的图像信息问题 ◆“答案与解析”见PI0 类型一根据抛物线的特征确定a、b、c及与其 类型二利用二次函数的图像比较大小 有关的代数式的符号 4.如果二次函数y=x2十6.x十1的图像经过 1.(2025·连云港一模)小轩从如图所示的二次 A(x1y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点，且 函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图像中，观察 x1<-3<x3<x2,|x1|=x3,那么y1、 得出了下列结论：①abc<0;②a+b十c<0; y2、y3的大小关系是 () ③4ac-b2>0;④a= 36:⑤6+2x>0 A.y>y3>y2 B.y3>y2>y1 其中，正确结论的个数是 ( C.y1>y2>y3 D.y2>y3>y1 A.2 B.3 C.4 D.5 5.(2025·南京模拟)已知点A(x1y1)、B(x2, y2)在二次函数y=x2+mx+n的图像上， !x=1 当x1=1,x2=3时，y1=y2: (1)①m= 201 ②若抛物线与x轴只有一个公共点，则的 (第1题) (第2题) 值为 2.抛物线y=ax2十bx十c如图所示，有下列结 (2)若P(2a一3，b1)、Q(5,b2)是该二次函数 论：①abc>0;②a-b+c<0;③5a+b+ 图像上的两点，且b1<b2,求a的取值范围， c<0;④对于任意实数m(m≠1)，都有a十 (3)若对于任意实数x1、x2,都有y1十y2≥ b>m(am十b).其中，正确的有 (填 2,则n的取值范围是 序号). 3.二次函数y=ax2十bx十c的图像如图所示， 且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b| 3b十2c|,试判断P、Q的大小关系. (第3题) 6.在平面直角坐标系中，点(x1,y1)、 (x2,y2)都在抛物线y=ax2 2ax+8(a<0)上，且-1<x1<2, 1-m<x2<m+7. 18 第5章二次函数 (1)当m=一2时，试比较y1、y2的大小 ②函数y=x一3的图像如图所示，则结合你 关系 所画的函数图像，求关于x的不等式ax2十 (2)若存在x1、x2,使得y1=y2,求n的取 bx十c<x一3的解集， 值范围。 7 6 5 4 y=x-3 3 2 -1 0 65432 1.234.5.6.7x 3 6 (第9题) 类型三利用二次函数的图像求不等式的解集 7.(2025·无锡梁溪二模)已知二次函数y a.x2+bx十c(a<0)与一次函数y=m.x十n (m>0)的图像交于两点，这两点的横坐标分 别为一1和3，则不等式a.x2十bx一mx>n一c 的解集是 ( A.x>-1 B.x<3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>3 8.新考向·学科内综合若二次函数 y=a.x2+bx+c(a≠0，a、b、c是 6 常数)的图像如图所示，则关于x 类型四根据不同类型图像的特征确定与其 的不等式ax2+(b-2)x十c>0 013 系数有关的其他函数图像的位置 (第8题) 的解集是 10.二次函数y=a.x2十bx十c的图像如图所 示，则一次函数y=ax十bc的图像不经过 9.易错题小红对函数y=a|x2+bx|十c(a≠ () 0)的图像和性质进行了探究.已知当自变量 A.第一象限 B.第二象限 x的值为0或4时，函数值都为一3；当自变 C.第三象限 D.第四象限 量x的值为1或3时，函数值都为0. (1)该函数的表达式为 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出 该函数的图像，并写出该函数的一条性质： 70 (第10题) (第11题) (3)进一步探究函数图像，并回答问题： 11.(2024·南京鼓楼期末)如图所示为抛物线 ①若直线y=k与函数y=a|x2十bx|十c y=ax2十bx,则直线y=a.x+b不经过的 的图像有三个交点，则k= 象限是 19点的横坐标..x1<-1<5<x2 y=a(x+1)(x-5) 1 2 y=-3 一3 (第7题) 8.-x+3x2-3 9.(1)利用函数y=x2-2x一2的图 像，可知当x=2时，y<0;当x=3 时，y>0. .方程x2一2x一2=0的另一个根在 2和3之间. (2):函数y=x2-2x十c的图像开 口向上，对称轴为直线x=1, .由题意，得c>0,1一2十c<0,解得 0<c<1. 10.D解析：如图，抛物线y=(x a)(x一b)与x轴交于点(a,0)、(b, 0),与直线y=1的交点坐标为(n, 1)、(m,1).由图像，可知n<b< am. 0am x (第10题) 11.(1)如图所示. 方程x2+x=1的根的近似值为 x1≈-1.6，x2≈0.6. (2)如图所示. 由图像，可知当x<-1.5或x>1 时，一次函数的值小于二次函数的值」 (3)①由y=x2+x=(x+2) 1 ,得抛物线y=x2十x的顶点坐标 为() 由题图，可知点P的坐标为（一1,1）. 平移方法不唯一，如将二次函数y x2十x的图像先向上平移号个单位 长度，再向左平移2个单位长度，可 使平移后得到的图像的顶点落在点 P处 平移后得到的图像对应的函数表达式 为y=(x+1)2+1,即y=x2+ 2x+2. @点P在函数y=x+号的图 像上」 理血：在y=x十号中，令x=-1, 1 1(1)十2=1· 得y=2 .点P(-1,1)在函数y=之x+2 的图像上。 21 1012 (第11题)》 专题特训一与二次函数 有关的图像信息问题 1.B解析：由题图，知图像开口向 下，对称轴位于y轴左侧，图像与 y轴的交点在x轴上方，'.a<0, <0,c>0..a<0,b<0,c> 2a 0.∴.abc>0.故①错误.由题图，知当 x=1时，y<0,.a+b+c<0.故② 正确.由题图，知抛物线与x轴有两 个交点，则b2一4ac>0,即4ac一b2 1 0,枚③错误片二名三 3.a= 6.故④正确.由题图，知当x=一1 3 时y=a-b+e>026-b+e> 0.∴.b十2c0.故⑤正确.综上所述， 正确的结论是②④⑤，个数为3. 2.②③④解析：由题图，可知抛物 线开口向下，∴.a<0.抛物线的对 称箱为直线x=1一品=1 ∴.b=-2a>0.:抛物线与y轴的 交点在x轴的上方，∴.c>0.abc< 0.故①错误.由题图，可知当x=一1 时，y=a一b十c<0.故②正确.把 x=m和.x=1分别代人y=a.x2+ 10 bx+c,y=am2+bm+c,y=a+ b+c.m≠1，.'.am2+bm+c<a+ b+c.∴.a+b>m(m+b).故④正 确.，当x=3与x=一1时的函数值 相等，∴.9a十3b十c<0.b=-2a, .'.9a+2b+b+c=9a+2X (-2a)+b+c=5a+b+c<0.故③ 正确.综上所述，正确的有②③④， 3.二次函数y=ax2+bx十c的图 像开口向下，对称轴是直线x=1,与 y轴的正半轴相交， =1,c>0. .a<0,-2a ∴.b>0,2a+b=0. ∴.2a-b<0. 由题图，得当x=一1时，y=a一b十 c0. 又：2a+b=0,即a=-2b, 1 ：-2b-b+c<0. .'.3b-2c>0. .c>0, ∴.3b+2c>0. '.P=3b-2c,Q=b-2a-3b 2c=-2a-2b-2c. .P-Q=3b-2c-(-2a-2b- 2c)=3b-2c+2a+2b+2c=5b+ 2a=4b>0. ..P>Q. 4.D 5.(1)①一4.解析：.当x1=1, x2=3时，y,=y2,∴.抛物线的对称 轴为直线x=十=1十3=2 2 2 一受=2m=-4 ②4.解析：：抛物线与x轴只有 一个公共点，.关于x的方程x2 4x+1=0有两个相等的实数根. .b2-4ac=(-4)2-4n=0. ∴.n=4. (2)由(1)可知，抛物线的对称轴为直 线x=2, .点Q(5,b2)关于直线x=2的对称 点为Q'(-1,b2). 抛物线的开口向上， .当-1<2a-3<5时，b1<b2 .1a4. (3)n≥5.解析：抛物线y= x2-4x十n=(x-2)2+n-4,∴.当 x=2时，函数有最小值n一4.对于 任意实数x1、x2,都有y1十y2≥2， ..2(n-4)=21-8≥2，解得n≥5. 6.由题意，得抛物线y=a.x2-2a.x十 8(a<0)的对称轴为直线x= 20=1，开口向下， 2a (1)-1<x1<2 .y1>a×(-1)2-2a×(-1)+8, 即y1>3a+8. ·当m=-2时，3<x2<5, ∴.y2<aX32-2a×3+8,即y2< 3a+8. .y1>y2. (2)1-m<x2<m+7, ∴.1-m<m+7. ∴.m>-3. ∴.m+7>4. 存在x1、x2,使得y1=y2,一1< x1<2, .1-m<3. ∴.m>-2. 综上所述，m的取值范围是m>一2. 7.C解析：画出大致图像如图所示. 由图可得，不等式ax2十bx十c> mx十n的解集为-1<x<3,∴.不等 式ax2+bx-mx>n-c的解集是 -1<x<3. (第7题) 8.x<1或x>3解析：a.x2十 (b-2).x+c>0,∴.a.x2+bx+c> 2x,即求二次函数y=a.x2+bx+c的 值大于一次函数y=2x的值时的x 的取值范围.如图，作直线y=2x.由 图，可知所求解集为x<1或x>3. y 1y=2x 0113 (第8题) 9.(1)y=x2-4x-3. (2)如图所示 答案不唯一，如函数图像关于直线 x=2对称， (3)①1. ②令x-3=|x2-4x|-3,解得 x1=0,x2=3,x3=5. .函数y=x一3与函数y=|x2 4x一3的图像的交点的横坐标分别 为0、3、5. 结合图像，可知当3<x<5时，函数 y=x一3的图像在函数y=|x2一 4x一3的图像的上方. .不等式|x2-4x-3<x-3的解 集为3<x<5. 6 765432 (第9题) 一易错警示 不能将“数”与“形”灵活地 结合起来 解答这类问题时，往往由于未 综合运用条件而导致解题错误，其 主要原因是不能挖掘隐含在“形” 背后的与“数”有关的信息，从而误 认为需要根据不等式的性质探求 该不等式的解集，导致“事倍 功半” 10.C解析：由题图，可知二次函数 的图像开口向下，.a<0..该二次 函数的图像的对称轴在y轴的右侧， b -22>0.“a<0b>0.“该 二次函数的图像与y轴的正半轴相 交，.c>0..bc>0..一次函数 y=a.x十bc的图像经过第一、二、四象 限，不经过第三象限 11.第二象限解析：抛物线y= a.x2+bx开口向上，对称轴在y轴的 右侧.u>0,-会>0.16<0 11 ∴.直线y=ax十b经过第一、三、四 象限，即不经过第二象限 5.5用二次函数解决问题 第1课时用二次函数解决 实际问题中的最值问题 1.D2.B3.48 4.(1)设y=kx十b(k≠0). 由题意， 12k十b=30,解得 10k+b=40, k=一5， b=90. .y与x之间的函数表达式为y= -5.x+90(8x<18). (2)由题意，得e=(x一8)(-5x+ 90)=-5x2+130x-720=-5(x 13)2+125(8x<18). -5<0, .当x=13时，取得最大值 ∴.当每枝的售价为13元时，该花店 获得的利润最大 5.D解析：当1=10时=-号× 10+60×10=450,故①正确. 3 8s=22+60t=7(17 20)2+600,∴.当t=20时，即飞机着 陆后滑行20s才能停下来，此时滑行 了600m,故②③正确.综上所述，正 确结论的个数是3. 6.C解析：·“水火箭”飞行3s和 飞行9s时的升空高度相同， 会告2-66=-12把 t=8,h=33代人h=at+bt+1,得 64a+8b+1=33,.b=4-8a. ∴.-12a=4-8a,解得a=-1 ∴.b=12.∴.h=-t2+12t+1= -(t-6)2+37..-1<0,.当t= 6时，h取得最大值，最大值为37 ∴.“水火箭”升空的最大高度为37m. 7.1556解析：.y=-2x2+ 80x+758=-2(x-20)2+1558, ∴.该函数图像的对称轴为直线x= 20,开口向下..当x>20时，y随x 增大而减小.，21≤x≤25，∴.当x= 21时，y取得最大值，此时y=一2× (21-20)2+1558=1556..该店 周可获得的最大利润是1556元.