专题特训九 三角函数的实际应用问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训九三角函 类型一生活中的夹角问题 1.如图所示为一个地铁站入口的双翼闸机的示 意图，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的 最大宽度是64cm,当它的双翼展开时，双翼 边缘的端，点A、B之间的距离为10cm,此时 双翼的边缘AC、BD(AC=BD)与闸机侧立 面的夹角∠PCA=∠BDQ=30°，则AC的 长为 A.27√3cm B.27√2cm C.27 cm D.54 cm (第1题) (第2题) 2.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角 形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°，BC 44cm,则高AD约为（参考数据：sin27°≈ 0.45,cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)( A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm 3.(2024·常州武进模拟)某临街店铺在窗户上 方安装了如图①所示的遮阳棚，其侧面如图 ②所示.遮阳棚展开长度AB为200cm,遮阳 棚前端自然下垂边的长度BC为20cm,遮阳 棚固定点A距离地面高度AD为280cm, 遮阳棚与墙面的夹角∠BAD为60°，某一时 刻，太阳光线与地面的夹角∠CFG为45°， 则遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF为 cm. DL ② (第3题) 90 数的实际应用问题，“答案与解析”见55 4.(2025·连云港模拟)某市正在进行 城镇燃气管网老化更新改造工程. 如图①所示为改造现场一辆伸缩臂 高空作业车的实物图，如图②所示为其工作 示意图（点A、B、C、D、E、F、G、H都在同一 平面内).伸缩臂高空作业车CD固定不动， 转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的 高度BH为3.4m,起重臂AB的长为6.1m, ∠ABH=125°，楼高FG为14.4m,操作平 台A在FG上（精确到0.1m,参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70). (1)求此时操作平台A离地面的高度AG. (2)若起重臂AB可以绕，点B上下转动，且 长度可伸缩，最长可伸长为13m,则操作平 台A能到达楼顶F吗？为什么？ B C G E HD ① ② (第4题) 类型二与坡度和坡角有关的实际问题 5.小杰沿着坡度i=1:2.4的斜坡，从坡底向 上步行了130米，那么他上升的高度是 米 6.(2025·南京建邺一模)如图，大坝的横截面 是Rt△ABC,坝高AC为16m.因防洪需要， 将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面 AB改造成长为36m的折线形坝面AD DE,坝面AD的倾斜角a为36.87°，坝面 DE的倾斜角3为22.62°参考数据： 3 sin36.87≈亏，sin22.62°≈ 3求： (1)坝面DE的长 (2)坡脚向前推进的距离BE的长， 16m (第6题) 类型三与仰角和俯角有关的实际问题 7.新情境·现实生活(2024·宿迁宿豫模拟)某 小区为了方便业主，新建了一个电动车车棚， 其侧面示意图如图所示，测得主立柱的一段 AB=1.2m,支柱DE的底端D到点A的距 离AD=0.6m,棚顶F到支柱底端D的水 平距离DH=1.4m,在点B处分别测得点E 第7章锐角三角函数 处的仰角为50°，点F处的仰角为26.5°（精 确到0.1m,参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin26.5°≈ 0.45,cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50).求： (1)支柱DE的高. (2)棚顶F离地面的高度FH. F 26.5 H D (第7题) 类型四与方向角有关的实际问题 8.(2025·南京建邺二模)如图，港口B位于港 口A的南偏西63°方向，港口C位于港口A 的南偏东37°方向，港口C位于港口B的北 偏东79°方向.一艘海轮从港口B出发，沿正 东方向航线前行.已知港口C到航线的距离 为110km,求港口A到航线的距离（参考数 据：tan37°≈0.75，tan63°≈2，tan79°≈5). 衣 A 79 (第8题) 91.B、D两点间的距离约为26.5千米 (2)如图，当甲无人机运动到点M,乙 无人机运动到点N时，此时满足 MN=20千米，过点M作MT⊥CD 于点T 由题意，得∠BCF=90°-30°=60°， '.在Rt△FBC中，BC= BF 10w3 sin∠BCF=sin60 =20(千米)， BF CE= 10√3 tan∠BCF tan60° =10(千米). ∴.CD=DF+CF=20+10=30(千米). 设BM=x千米，则DN=2x千米， CM=(20-x)千米， .在Rt△CMT中，CT=CM· cos∠MCT=(20-x)·cos60°= (1o-2x)千米，MT=CM· sin∠MCT=(20-x)·sin60°= (1o,6-g)开米 ∴.TN=CD-DN-CT=30-2x (10-x)=(20-号)千米 在Rt△MNT中，由勾股定理，得 MN2=MT+NT,即20=（105- 复)广+(20-8)广解得x=15 5√5或x=15+5√5（不合题意，舍 去. ∴.BM=15-5√5≈3.8（千米），即当 甲无人机飞离点B处3.8千米时，两 无人机可以开始相互接收到信号. 北 D NE (第9题) 专题特训九三角函数的 实际应用问题 1.D解析：如图，过点A作AE⊥ CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点 F,连接AB.易知点E、A、B、F在同 一条直线上.，点A、B之间的距离 为10cm,可以通过闸机的物体的最 大宽度是64cm,'.AE=BF=(64 10)÷2=27(cm)..∴.在Rt△ACE AE 中，AC= =27×2=54(cm). sin 30 (第1题) 2.B 3.(100√3一160)解析：过点B作 BE⊥AD于点E,过点C作CH⊥DG 于点H,则易得点B、C、H在同一条 直线上，四边形BEDH是矩形. ∴DE=BH,BE=DH.在 Rt△ABE中，∠BAE=60°，∴.BE= AB·n60=20×9=1005(em, 2 AE=AB·cos60°=200X2 100(cm).∴.DH=1003cm. AD 280 cm,AE 100 cm, '.DE=180cm.'.BH=180cm. .BC =20 cm,.'CH 160 cm. ,在Rt△CHF中，∠CFH=45, ∴.∠CFH=∠HCF=45°.∴.HF= CH=160 cm..'DF=DH-FH= (100√5-160)cm. 4.(1)如图，过点B作BM⊥FG,垂 足为M,则四边形BHGM为矩形. ∴.MG=BH=3.4m,∠HBM=90°， ∠AMB=90°. ∴.∠ABM=∠ABH-∠HBM= 125°-90°=35 :在Rt△ABM中，sin∠ABM= AM AB' '.AM=AB·sin35°≈6.1×0.57= 3.477(m). ∴.AG=AM+MG=3.477+3.4≈ 6.9(m). ∴.操作平台A离地面的高度AG约 为6.9m (2)能. 如图，连接BF。 .在Rt△ABM中，cOs∠ABM= BM AB' 55 '.BM=AB·cos35≈6.1X0.82≈ 5.0(m). .MG=3.4m, ∴.FM=FG-MG=14.4-3.4= 11(m). .在Rt△FBM中，根据勾股定理， 得BF2=BM+FM2=5.02+112= 146(m2). .132=169>146, ∴.操作平台A能到达楼顶F. A B-- -gM G EHD (第4题) 5.50 6.(1)如图，过点D作DH⊥BC于 点H,DF⊥AC于点F. 在Rt△ADF中，∠ADF=a= 36.87,sim∠ADF=AE AD 设AF=3.xm,则AD=5xm. ∴.由勾股定理，得DF= √JAD2-AF2=4.xm. .'AC=16 m,AD+DE=36 m, ∴.DE=(36-5.x)m,CF=(16- 3x)m. ,易知∠DHC=∠ACB= ∠DFC=90°， ∴.四边形DHCF为矩形 .DH CF (16-3x)m,DF CH. 在Rt△DEH中，∠DEH=B= 262am∠DEH-. 、、.16325,解得x2. 36-5.x ∴.36-5x=26. ∴.坝面DE的长约为26m (2)由(1)，易得DH=10m, ∴.在Rt△DEH中，由勾股定理，得 EH=√DE2一DH2= √262-10=24(m). 设BC=ym. :S△A=S△ADF十S梯形DF,且易知 DF=CH=8 m,AF=6m, 1 1 1 ·2X16y=2×6×8+2 ×(8+ 8+24)×10,解得y=28 .BC=28m. ,.BE=CE-CB=8+24-28= 4(m). ∴坡脚向前推进的距离BE的长约 为4m. D F 16m H (第6题) 7.如图，设过点B的水平线交ED于 点M,交FH于点N,则易知四边形 ABMD、四边形DMNH、四边形 ABNH都是矩形 ∴.BM=AD=0.6m,BN=BM+ MN=AD+DH=0.6+1.4=2(m), HN=DM=AB=1.2 m. (1)·在Rt△EBM中，∠EBM= 50°，BM=0.6m, .EM=BM·tan50°≈0.6X1.19 0.714(m). .DE=DM+EM=1.2+0.714≈ 1.9(m),即支柱DE的高约为1.9m. (2),在Rt△FBN中，∠FBN= 26.5°，BN=2m, .FN=BN·tan26.5°≈2X0.50= 1(m). .FH=FN+HN=1+1.2= 2.2(m),即棚顶F离地面的高度FH 约为2.2m. F B M26.5° H D (第7题) 8.如图，作正东方向航线BD,过点C 作CE⊥BD于点E,过点A作AF⊥ BD于点F,过点C作CG⊥AF于 点G 根据题意，得CE=110km, ∠ECB=79 设EF=xkm. 易知四边形CEFG是矩形， ∴.CG=EF=xkm,FG=CE= 110km. ∴.在Rt△CBE中，BE=CE· tan∠ECB=110×tan79°≈110×5= 550(km). .'BF=BE-EF=(550-2)km. ,在Rt△ABF中，∠BAF=63°， AF-tan ZBAF 550-工km. 2 ∴.AG=AF-FG= (55022-110）km. 2 ,在Rt△AGC中，∠GAC=37°， tam37°=AG CG :075≈x÷(5022-110),解得 x=90. .50,-2=230. 2 .港口A到航线的距离约为 230km. 北 G-C 人79 B (第8题) 专题特训十与三角 函数有关的综合 1.是 解析：原方程可化为(c一 a)x2十2bx十c十a=0.由题意，可知 c-a≠0,4b2-4(c-a)(c+a)=0, ∴.c2=a2+b2.∴.△ABC是直角三 角形，且∠C=90°.3c=a+3b, .c2=(3c-3b)2+b2..4c2 56 9bc+5b2=0.∴.c=b(不合题意，舍 去或c=6.3× =a十36. 3b=4a.'tan A=4=3 b=4 2.由题意，得4a2-4(b+c)(c- b)=0, .a2+b2=c2 .∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90 '.sin B cos A-cos Bsin A=0, 6.b-.4=0. CCCC .b2=a2. ∴.b=a. ∴.△ABC是等腰直角三角形. 3.2 4.(1)把x=0代人y=kx一1，得 y=-1, ∴.点C的坐标是(0，-1). ∴.OC=1. '在Rt△OBC中，tan∠OCB= OB 1 0元=2 :0B=2 1 ·点B的坐标是(？，0)： 把B(2,0)代人y=x-1,得 2-1=0,解得6=之 (2)由(1)，知直线AB对应的函数表 达式为y=2x-1. &s=20B·y= 1 =7 点A在第一象限内， x>0, 解得今号 (2x-1>0, ∴.△AOB的面积S与x之间的函数 表达式为s=名子(>)】 5.(1)点B的坐标为(2,0)， ∴.OB=2. AB⊥x轴， AB 3 '.tan∠AOB OB2