专题特训八 求锐角三角函数值的常用方法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训)八求锐角三角函数值的常用方法，“答案与解析"见0 类型一利用定义求三角函数值 6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13, 为a、b、c,且(2b)2=4(c+a)(c-a),5a BC=24,D为BC的中点，DE⊥AB于点E, 3c=0,求sinA十sinB的值. 则sin∠BDE的值为 () A号 c n8 B B (第1题)》 (第2题) 2.如图，A、B、C是正方形网格的格点，连接 AC、AB,则tan∠BAC的值是 (） 7.如图，在R△ABC中，∠C=90nB- 号 D为边BC的中点.求∠BAD的余弦值. C.3 1 0.5 3.如图，在△ABC中，D为AB的中点，将BD C D B (第7题) 沿射线BC的方向平移得到CE,连接AE、 DE.若AD=3,AE=4,AB⊥AE,则 tan∠BAC的值为 类型三等角转换求三角函数值 8.(2024·常州天宁模拟)如图，网格内每个小 (第3题) 正方形的边长都为1，B、C、D都是格点，连 类型二利用参数求三角函数值 接BD并延长，交网格线于点A,连接CD, 4.在△ABC中，BC:CA:AB=5:12:13, 则sin∠ADC的值为 则cosB的值为 () A B号 A (第8题) (第9题) c是 2 D.3 9.如图，网格内每个小正方形的边长 都是1，A、B、C、D都是格点，连接 5.已知cosa= 3,则3s1na一tana的值为 4sina+2tan a AB、CD交于点P,则sin∠APD的 值为 82 第7章锐角三角函数 10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD=13.(2025·北京海淀期中)如图，CD是△ABC 5,AB=BC=BD=6.5,则∠ACD的正切 值是 的中线，∠B是锐角，simB=2 ,tanA= 2AC=.求： (1)AB的长. (第10题) (2)cos∠BCD的值. 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB< BC,D是AC的中点，过点D作DE⊥AC, 交BC于点E,延长ED至点F,使得DF= D DE,连接AE、AF、CF. (第13题)》 (1)求证：四边形AECF是菱形 (2)名器-求a∠CF的值 E (第11题) 类型四利用条件中的三角函数值构造直角三角形 12.如图，在△ABC中，AC=13,BC=21, amC-号，求AB的长和∠A的正弦值， (第12题) 8314.(1)30. (2)过点C作CP⊥AB于点P, 在R△APC中，sinA=A行， '.PC=AC·sinA=10Xsin78°≈ 10×0.98=9.8. .在Rt△BPC中，∠PBC=30°， PC .BC= in30=2PC=2X9.8= 19.6. 由题意，知BG=AC=10, ,.GC=BC-BG=19.6-10=9.6. ∴.正五边形GHMNC的边长约为 9.6. 15.(1).∠ACB=90°， ∠CAD=60°， ·AB=AC cos 605=2AC. .BD=AC,AB=AD+DB, .'AD=AC. ,.△ADC是等边三角形. ,.∠ACD=60°. P是CD的中点， .AP⊥CD. .在Rt△APC中，AP=√5， ∠ACP=60°， ·AC=AP sin60=2. .在Rt△ABC中，BC=AC· tan60°=2W5. (2)如图，连接BE. .DE∥AC, '.∠CAP=∠DEP. P是CD的中点， ∴.CP=DP. 又.∠CPA=∠DPE, ..△CPA≌△DPE. .AP-EP-7AE.CA-DE. BD=AC, .BD=DE. 又.DE∥AC, ∴.∠BDE=∠CAD=60. .△BDE是等边三角形 .BD=BE,∠EBD=60 .BD=AC, .'AC=BE. 又，·∠CAB=∠EBA=60°，AB=BA, ∴.△CAB≌△EBA. ∴.BC=AE. ∴.BC=2AP A D (第15题) 专题特训八求锐角三角 函数值的常用方法 1.A解析：连接AD..AB=AC= 13,D为BC的中点，∴.BD=CD= 2=12,AD⊥BC.·∠B+ ∠BAD=90..DE⊥AB,.∠B+ ∠BDE=90°.∴.∠BDE=∠BAD '.sin∠BDE=sin∠BAD= BD 12 AB13 2.D解析：过点C作CE⊥AB于点 E,连接BC,则易知△BEC是等腰直 角三角形.设小正方形的边长为1. 易得CE=BE= √ 2,AB= √32+3=3V2.∴.AE=AB BE=32-=.:.在R△4BC 21 2 中，tan∠EAC=CS 21 AE 5W2 5 2 :m∠BAC的值是行 4 3.3 解析：连接CD.D为AB 的中点，.AD=BD.·将BD沿射 线BC的方向平移得到CE,∴.BD∥ CE,BD=CE.∴.AD=CE..四边 形ADCE是平行四边形.：AB⊥ AE,.□ADCE是矩形.，.CD= AE=4,∠ADC=90°..在Rt△ACD 中，m∠BAC-品告 4.C 5.0解析：如图，在Rt△ABC中， BC ∠C=90',∠B=a.六cosa=BA 3,设BC=x(x>0),则AB=3z. 50 ∴.由勾股定理，得AC= √AB-BC=√(3x)2-x= AC_22x_2 22x.∴.sina=AB 3x 3, C22工=22.·原式= tana-BC x 33e -22 3 4X26 =0. +2X2√2 3 ⊙ A C (第5题) 6.(2b)2=4(c+a)(c-a), .4b2=4(c2-a2). ∴.b2=c2-a2,即a2+b2=c2. ,∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90°. 5a-3c=0, .5a=3c. .'sin A=4=3 c 5 设a=3k(k>0),则c=5k」 ∴.b=4k. ·sinB=b=4k_4 c5k=5 :'sin A+sin B-5 7.在Rt△ABC中，∠C=90, sin B-5' 3 ÷胎-景 设AB=5k(>0),则AC=3k. ∴.由勾股定理，得BC= √AB2-AC=√(5k)2-(3k)z=4k. 过点D作DE⊥AB,垂足为E D为边BC的中点， .CD-BD-BC-2k,SAM- 2Sam=合×AC BC=3. 1 1 1 又：SAAm=zAB·DE, 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD=AC+CD- √(3k)2+(2k)7=√13k, ∴.在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=√AD-DE= √压)-(g)-. .cos∠EAD= 恶 √13k 17√/13 65 ·cos∠BAD=17W13 65 826 解析：如图，延长CD,交网 5 格线于点E,连接BE.,DE= √2+1平=√2，BE=√W22+2= 2√2，BD=√2+32=√10， .DE2+BE2=BD.∴.△BDE是 直角三角形，且∠BED= 90°. ∴.sin∠BDE= BE 22 2W5 BD √/10 5 .∠ADC=∠BDE,.sin∠ADC= 25 5 (第8题) 9. √② 解析：如图，过点B作BF∥ CD.∴.∠ABF=∠APD.设AB的 中点为E,连接EF.BE=EF= √W22+1平=√5，BF=W+32= √JI0,∴.BE2+EF2=BF2. .△BEF是等腰直角三角形，且 ∠BEF=90°.∴.∠ABF=45. ∴.∠APD=45.'.sin∠APD= sin 45 2 A D (第9题) 10. 解析：.AB=BC=BD= 6.5,.点A、DC在以点B为圆心、 BA长为半径的圆上（如图）.延长AB 交⊙B于点E,连接CE.ABCD, ∴∠ACD=∠CAE.∴.AD=CE ∴.CE=AD=5.AE是⊙B的直 径，∴∠ACE=90°.：在Rt△ACE 中，AE=2AB=13,'.AC √AE2-CE=√/132-5=12. :tam∠CAE-ACiz: CE 5 tan∠ACD=i2: 5 D B (第10题) 11.(1).D是AC的中点， ∴.AD=CD. .DF=DE, ∴.四边形AECF是平行四边形. 又：FE⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形. 2:器= ∴.设BE=a(a>0),则CE=4a. 由(1)，可知四边形AECF是菱形， ∴.AE=CE=4a,AECF. ∴.∠BEA=∠BCF, :∠B=90°， .在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB=VAE2-BE2= w√/(4a)2-a2=√15a」 只tan∠BCF=tan∠BEA=能 5a=/5. a 12.过点B作BF⊥AC于点F,则 ∠BFA=∠BFC=90° :在Rt△BFC中，tanC-CF=亏， BF 12 ∴.设BF=12k,则CF=5k. ∴.由勾股定理，得BF2+CF2=BC2, 即(12k)y2+(5k)2=21P,解得k=司 21 (负值已舍去). Bn-252. 105 -3.CF-1 51 AC=13, AP-18-管-器 .在Rt△AFB中，由勾股定理，得 AB=√/BF2+AF2= √)+ =20. 252 BF1363 ：simA=AB-20-65 13.(1)如图①，过点C作CE⊥AB 于点E .'.∠AEC=∠BEC=90° :在R△ACE中，tanA=AE=2, CE 1 ∴.AE=2CE. 由勾股定理，得AC= W√AE+CE=√(2CE)2+CE= 5CE. 又AC=√10， .√5CE=√10. .CE=√2. '.AE=2CE=22 :在R△BCE中，sinB= 2 .∠B=45. ∴.△BCE是等腰直角三角形. .BE=CE=√2，则BC=2. .AB=AE+BE=3√2. (2)如图②，过点D作DF⊥BC于 点F. ∴.∠BFD=∠CFD=90, :AB=3√2，CD是△ABC的中线， BD-号AB-39 2 ∠B=45°， ∴.△BDF是等腰直角三角形 ∴.DF=BF '.由勾股定理，得BD= √DF+BF=√2DF. =-号m号×2-是 2 .BC=2, .CF=BC-BF=2-2=2: 31 在Rt△CDF中，由勾股定理，得 CD=√DF2+CF )+(-四 ∴.cos∠BCD= CF 2 √/10 CD 10 D E B C A D B ② (第13题) 7.6 用锐角三角函数 解决问题 第1课时 坡角问题 1.C2.A3.155m4.13 5.过点C作CF⊥AB于点F. .∠BFC=∠AFC=90. ,斜坡BC的坡度为1：2.4， ∴.BF:CF=5:12 设BF=5xm. ..CF=12xm. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC2=BF2+CF2,即6.52=(5.x)2+ (12x)2,解得x=0.5(负值已舍去)， .'.BF=2.5m,CF=6m. .在Rt△ACF中，∠ACF=56°， .'.AF=CF·tan∠ACF≈6X 1.48=8.88(m). ..AB=AF+BF=8.88+2.5≈ 11.4(m). ,.电线杆AB的高约为11.4m. 6.A 7.A解析：如图，过点D作DE⊥ BM,DF⊥AB,垂足分别为E、F.由 题意，得BF=DE,DF=BE.,斜坡 CD的坡度为1：2， DE CE 2.设 DE=x米(x>0),则CE=2x米. ∴.在Rt△CDE中，CD √CE+DE=√(2x)2+xZ √5x(米).CD=√5米，∴.5x √⑤，解得x=3.∴.BF=DE √3米，CE=25米.：BC=(8 35)米，.DF=BE=BC+CE= 8-3√5+2√5=(8一√5)米..·在 Rt△AFD中，∠BAD=45°，∴.AF= an45=(8-5)米.·AB=AF+ DF BF=8-√3+√3=8（米），即电线杆 AB的高为8米 A B CEM (第7题) 8.12解析：由题意，可知四边形 AEFD为矩形.∴.DF=AE.,在 Rt△ABE中，∠ABE=45°，AB= 62m,'.AE=AB·sin∠ABE= 6x =6(m)..DF=6m.:背 水坡CD的坡度i=1:√3，.FC 6√3m.'.在Rt△CDF中，由勾股定 理，得CD=√DF+FC= √62+(65)2=12(m). 9.专解析：如图，延长AN,交BC 的延长线于点E.由题意，得AD= BC=CD=9cm,∠D=90,AD∥ BC,AN∥FG.设DN=xcm,则 CN=CD-DN=(9-x)cm.·密封 透明正方体容器水平放置在桌面上与 放在坡角为α的斜坡上，容器里水的 体积不变：且放在坡角为α的斜坡上 时，水的体积等于长为9cm、宽为 9cm、高为(9-x)cm的长方体的体 积与长为9cm,宽为9cm、高为xcm 的长方体的体积的一半之和，.9× 90-x)+7×9×9r=9×9X7,解 得x=4,即DN=4cm.:AN/FG, ∴.∠AEF=∠F=a.AD∥BC, ∴.∠DAN=∠AEF=a.∴.tana= tam∠DAV=DN=4 AD 9 52 A(M) a B (第9题) 10.(1)过点B作BH⊥AF于点H. 在Rt△ABH中，∠BAH=30, Sm∠BAH器， .BH=AB·sin30°=800义7 400(m). ,易得四边形BHFE为矩形， ∴.EF=BH=400m. .AB段山坡的高EF为400m. (2),·BC段山坡的坡度i=1:1, ∴.在Rt△CBE中，tan∠CBE=l. .∠CBE=45. .'.CE=BC·sin∠CBE=200X sim45°=20×2 =100√2(m). ∴.CF=CE+EF=100√2+400≈ 541(m). .山峰CF的高度约为541m. 11.30 解析：·斜坡AB的坡度 5 BE 1 =1:3,AE 3 。易知 ∠CBD+∠ABE=9O°，∠ABE+ ∠A=90°，.∠CBD=∠A.又易 知∠BDC =∠AEB=90°， &△CBD△BAE.0-0 “品能子漫cm=r> 0),则BD=3x米.∴.在Rt△CBD中， 由勾股定理，得BD2+CD=BC,即 (3x)2十x2=22,解得x= （负值 5 包舍去.BD二10米 方法归纳 化归直角三角形解题 解答此题时，我们需要结合条 件将∠A化归到以BC为斜边的直 角三角形中，进而运用勾股定理 建立关于未知量的方程，求得问 题的结果，