7.5 解直角三角形-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

7.4由三角函数值求锐角 .又点A(1w5)在直线y-号x+m上，m-2 3 .(2) 强化巩固 1A2B解折：”n(∠a十15)=号，∠a十15=45，解 过点A作AMLx轴于点M:直线)y-号x+2与x轴交 3 得∠a=30.3(1B解析：msa≤号，sa≤cos60C 于点B,令号x+2-0,懈得x=-2,∴点B的坐标为 3 锐角的余弦值随角度的增大而减小，.60°≤∠a<90°. (-2,0),∴.OB=2.点A的坐标为(1，W3),.AM=√3， (②C解析：m心厚血。>血60：锐角的正弦值随 OM=1.在R△AOM中，∠AM0=90,∴a∠A0M= 角度的增大而增大，∴.60°<∠a<90°.4.205.60解析： √3，∴∠AOM=60°.由勾股定理得OA=2,.OA=OB, ,tana-2√3tana十3=(tana-√3)2=0，∴.tana=3,∴∠a= ÷∠OBA=∠B40,∠BA0-号∠A0M=合X60°=30 60°.6.(1)∠0=60°.(2)∠0=45°.(3)∠0=60°.(4)∠0= 30°.7.如图，作边BC上的高AD,则由等腰三角形的性质， 7.5解直角三角形 得BD=CD=合BC=号×13=6.5，∠BAD=∠CAD= 第1课时解直角三角形(1) 知识梳理 合∠RAC在R△ABD中，sn∠BAD-器-铝-Q6 ,:1.325(1)互余90°(2)勾股a2+6=c2(3)B .∠BAD≈40°32'，.∠BAC=2∠BAD≈81°4'，.∠B= B anB号2.2133.已知未知 1 c ∠C≈49°28'，即△ABC的三个内角的度数大约分别为81°4'、 强化巩固 49°28'、4928. 1A解折：mA-器=志=号AB=626 解析：BC-4:mA-号AC=6.34解折： “∠C=90,AC=3asA=是8-号AB=5,BC 8.B解析：sinA=cos(90°-∠A)=cosA,∴.90°-∠A= ∠A,.∠A=45°.9.C解析：在Rt△ABC中，sinB= √AB2-AC=√52-3z=4.4.D解析：如图，：sinA= 名sA名血B+sA=12+2=1色=分， 器BC-AB·nA,故A选项不符合题意，mA- C C ：BC-AC·mA,放B选项不符合题忘；mB-部， BC asA=名-号∠A=6010B解析：号<是< BC 号osa=是oms45-号，ms30r-号oms45<osaK AC=BC·tanB,故C选项不符合题意；'cosB=A范， ∴.BC=AB·cosB,故D选项符合题意 cos30°，.30°<∠a<45°.11.60°解析：在Rt△ABC中， C 3AC5Bc怒=音-6mA-%-ZA= 60°.12.(1)∠a=60°.(2)∠a=70°.(3)∠a=45° （④：(2sn。-D(em。一2)=0，。-吉或血。2（会点D解折：∠A=35,cosA=SAC=AB0sA 去).：∠a为锐角，∴∠a=30°.13.能.如图，在Rt△ABC m·cos35°.6.B解析：如图，过点A作BC的垂线，垂足 中，∠C0,AC=BC,延长CB到点D,使BD-AB,可得为M在R△ABM中，B=岩=告AB=5AM= ∠D=22.5°.设AC=BC=1,则AB=2,BD=√2，.CD= BC+BD-1+E.在R△ACD中，iam25=amD-S 5X号=4，BM=VAB-M=V-4=3.又：AB= AC,∴.BC=2BM=6. 1+22-1. 1 B 拓展提升 7:∠C=90,asA=9,∠A=30,∠B=60,BC 14.1)点A1,m在反比例函数y=的图像上，n=AB·simA=8Xsm30°=8X号=4，AC=AB·osA=8X x 课时提优计划作业本·数学·九年级下册 …24。 c0s30=8×号=43.(2)∠C=90,a=5,6=32,AE=D+D那=V6+T=V37,心si血∠DAE= DE_1-37 mA号-0-92A=0ic-2a=26,∠B AE√3737 拓展提升 90°-∠A=60°.(3)∠C=90°，∠A=60°，∠B=90° ∠A=30c=85,smA=号，a=c…simA=85× 1B.(I:在R△ABC中，∠ACB=90,msA-福-号 sa60°=85×号-12.：asA=名，b=c·sA=8v5X AC-6是号AB=10D是边AB的中点CD 2 名AB=合×10=5.(2②由1D可得BC=VAB-AC=8 os60=83×号=45.8.2 13 解析：在Rt△ABC 如图，过点C作CF⊥AB于点F,则CF=AC·BC÷AB= 中，mA=瓷，又amA=号，∴瓷=号，可设BC= BC 24 ,ms∠DCF-需-哥-装“∠DCF=∠DBE, 2k(k>0),则AC=3k,又：AB=AC+BC,∴AB= +=s器-微2 os∠DBE-器 13 9空解析：aC=16sA-铝-品=青AB AC164 20,:D是AB的中点，AD=号AB=10,6sA=把 是音∴AE-空10.D解析：如图，过点A作ADL 第2课时解直角三角形(2) BC,垂足为D.在Rt△ADC中，CD=CM·cosC-4X号=1， 知识梳理 ∴AD=√AC-CD=√4-1平=√I5;在Rt△ADB中， 1.两2.直角 强化巩固 BD=CB-CD=4-1=3,AD=√15，∴.AB=√BD+AD= Vg+(-2mB铝震-年 1.B解析：由锐角三角函数的定义可知，sinA=a,cosA= 4 名，tanA=分，a=c·sinA,b=c·cosA,a=b…tanA,故 A、C、D选项不成立，B选项成立.2.24解析：连接BD,交 AC于点O.在菱形ABCD中，AB=15,A0=2AC,ACL BD在R△A0B中，：∠BAC=号器=是，即 15 11.B解析：如图，过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D. 号，∴0B=9.由勾股定理得A0VA-OB=V5-9- ∠BAC=120°，.∠DAC=180°-∠BAC=180°-120°= 12,.AC=2AO=2X12=24.3.B解析：∠CAB=90, 60,∠ACD=90°-∠DAC=30,AD=号AC=3,∴BD= AD⊥CB,∴∠CAD+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°， AB+AD=4+3=7,CD=√AC-AD=√62-32=3√3， ∠BAD-∠CmC-子，AD=8,tan∠BAD=amC= 在Rt△BDC中，由勾股定理得BC=√BD+CD= 8是，∴BD=6AB=VAD+BD=V8+6=10. √72+(33)2=2√/19. 4.D解析：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.在△ABD D 中，AB=,nB=器-是AD=AB:nB=4X是=3， △ABC的面积为2BC·AD-合X5X3= 2 B 12.(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴BD=√/AB-AD 0-6=&:m∠ACB=0=1,CD=AD=6, B D C .BC=BD十CD=8十6=14.(2)：AE是边BC上的中线，5.D解析：如图，过点A作AM⊥BC,垂足为M在 六CE-号BC=7,DE=CE-CD=7-6=1:ADLBC,R△ABM中，mB=A:∠B=60,AB=4,4Y-9, 421 课时提优计划作业本·数学·九年级下册 …25· AM-25.在R△ACM中，血C-2- 2 .AC=3√3. B阴 解析：如图，连接OD.:AB是⊙O的直径，且经过弦 B M C 10. 6.如图，过点C作CD LAB,垂足为D,则∠ADC=∠BDC= CD的中点H,.AB⊥CD,∴.∠OHD=∠BHD=90°. 90°.∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，.CD=BD.∠A= cas∠CDB-部-号，BD=5,∴DH=4BH=&设 30°，AC=23,∴.CD=√3，由勾股定理得AD=√AC-CD= OH=x,则OD=OB=x十3.在Rt△OHD中，由勾股定理得 √(23)2-(W3)2=3,∴.BD=CD=√3，∴AB=AD+BD= 3十√3. OF+DF=OD,即2+华=(+3，解得z=名， 0B=名+3=票00的半径为得 A30° 45C B 7.如图，过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC 90:mB=9∠B=45∠BAD=90-∠B=45, 11.B解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△ACH中， AD=BD:AB=3元，AD=BD=号AB=8又：C=∠BAC-g是-器-号 7,∴.CD=BC-BD=7-3=4.在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC=√AD+CD=√32+42=5. R 12.(1)如图，过点A作AM⊥BC,垂足为M,AB=AC, 8.6解析：如图，过点P作PHLx轴于点H.:点P的坐BC=12,∴BM=CM=6,.AM=√AB-BF=√8-6= 标是（红，8），OH=x,PH=8又ane=器=寺， 27,血器2要-年@mD-微即2流 .OH=6,.x的值为6. y个 DM=2√2I,∴CD=DM-CM=2√2I P(x.8) 30 D a Hx 拓展提升 13.(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E.设CE=x,在 9.3 13 解析：如图，连接AD.由题意，得AD=22+22= R△ABc中，mA=3=合，AE=2,AC 8,BD2=32+32=18,AB2=12+52=26,,.AD2+BD2= √x2+(2x)=√5x.又AC=√5，∴√5x=√5，解得x=1, AB,.△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.在Rt△ABD 中，a0=压=3，A=瓜asa-器-紧 CE=1AE=2在R△CEB中，smB=号，∠B=45 △BCE为等腰直角三角形，.BE=CE=1,.AB=AE十 3w/13 13 BE=2+1=3.(2)CD为中线，BD=号AB=号×3= 课时提优计划作业本·数学·九年级下册 …26· 1.5,∴.DE=BD-BE=1.5-1=0.5,∴.tan∠CDB= CE DE 0.52. i-1:0.75 7.(1)如图，过点B作BE⊥AD于点E.在Rt△AEB中，sina= 器吉又：AB=65mBE=20m常：小明从点A到 7.6用锐角三角函数解决问题 点B上升的竖直高度是20m.(2)如图，过点B作BF⊥CD 第1课时用锐角三角函数解决问题(1) 于点F,则四边形BEDF为矩形，∴.DF=BE=20m由题意 知识梳理 知，BC=50m在R△CBF中，需=1：3，∴可设CF= 铅垂高度 水平面tanB大陡 xm,则BF=3xm,由勾股定理得BF2十CF2=BC,即(3x)2+ x2=50,解得x=5√10（负值已舍去），∴.CD=CF+FD= 强化巩固 1D解析：“AB的坡度是1：V3,BC=0=1, (5√10+20)m.答：小明从点A到点C上升的高度是 ACAC=后，解得 (5√10+20)m. AC=503..水平宽度AC的长度为50W3m.2.D i=1:3 解t桥：saC=是，AB=AC·mC=20sn20(m. B 3.C解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF ⊥AD于点F,则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF.背水坡 E CD的坡度i=1:1,CD=6反m,∴CF=DF-号CD=6m 8.5解析：设CD=xm,则AD=2xm.由勾股定理得AC √x2+(2x)=√5x(m).AC=35m,W5x=3V5,∴.x BE=6m又斜坡AB的骏度=1：2-器.AE= 3,∴.CD=3m,AD=6m.在Rt△ADB中，BD= 2BE=2X6=12(m),∴.AB=√AE+BE=√/122+6= √AB2-AD=√102-6=8(m),∴.BC=BD-CD=8-3= 5(m).9.3解析：连接AE.在Rt△ABE中，AB=3m, 6√5(m). B BE=√3m,∴.AE=√AB2+BE=23m.又：tan∠EAB= i=1:2 器-得∠EAB=3r.在R△APE中，∠EAF=∠EAB+ ∠BAC=30°+30°=60°，.EF=AE·sin∠EAF=2√3X 4.30√5解析：如图，AB=150m,tanA=1:2.设BC= sin60°=2/5×5=3(m.10.(1)如图，过点B作BE1 2 xm,则AC=2xm,由勾股定理得BC+AC=AB,即x2+ L于点E,过点D作DG⊥l于点G,交BC的延长线于点F.在 (2x)2=1502,解得x=30√5（负值已舍去），.BC=30√5m, Rt△ABE中，AB=600m,∠BAE-15°，：sin∠BAE=BE, AB' 即他离地面的高度上升了30√5m. as∠BAE=8怎BE=60Xs血15≈60X026= 156(m),AE=AB·cos15°≈600×0.97=582(m).答：点B 到水平地面l的高度是156m(2)在Rt△CDF中，∠DCF= 45,CD=6o0m2≈L1,os∠D0r-需cF=600· 5.1:V3解析：由题意，得水平距离=√502-25=25√3(m), ∴i=25:25√3=1：√3.6.8解析：如图，延长AB交ED c0s45°=600×号=3002≈300×1.41=423(m).又BC 的延长线于点F,过点C作CG⊥EF于点G,则BF=CG.在 50m,.AG=AE+BC+CF=582+50+423=1055(m).答： R△cG中，=%=1：05=专，cD=10m,设cG 点A与点D之间的水平距离为1055m. 4xm,则DG=3xm,由勾股定理得CG+DG=CD,即 (4x)2+(3.x)2=102,解得x=2(负值已舍去)，∴.CG=8m, --F 15 ∴.BF-CG-8m,即平台距地面的高度为8m. 课时提优计划作业本·数学·九年级下册 …27·课时提优计划作业本数学九年级下册) 7.5解直角三角形 第1课时解直角三角形(1) 知识梳理 1.任何一个直角三角形，除了直角外，都有 条边和 个锐角， 共 个元素；如图，在Rt△ABC中，∠C是直角.其余各元素之间的 关系为： (1)两锐角 ,即∠A+∠B= (2)三边满足 定理，即 (3)边与角之间的关系：sinA=cos cos A=sin tan A= 2.根据1中除直角以外的各元素之间的关系，我们可以发现：如果知道其中的 个元素 (其中至少有 个是边)，那么就能够求出其余 个元素. 3.由直角三角形中的 元素，求出所有 元素的过程，叫作解直角三角形， 强化巩固 1.在△ABC中，∠C=90,若BC=4,sinA=号，则AB的长为 A.6 B.25 C.35 D.2√13 2在R△ABC中，∠C=90,BC-4,amA-号则AC 3在△MBc中，∠C=90,AC=3若6osA=号，则5C的长为 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列关系式中错误的是 A.BC=AB·sinA B.BC=AC·tanA C.AC=BC·tanB D.AC=AB·cosB 5.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m,∠A=35°，则直角边AC的长是 A.m·sin35 B.m C0s35 C sin D.m·cos35 35 (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，AB=AC=5,sinB=号，则BC的长是 A.3 B.6 C.8 D.9 68 第7章锐角三角函数 7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形 (1)cosA=Y3」 ,AB=8, (2)a=√6，b=32; (3)c=8√3，∠A=60°. 8.在R△ABC中，∠C=90°，anA=号，则cosB的值为 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E, AC=16,cosA=号，则AE的长为 (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图，在△ABC中，CA=CB=4,cosC=,则sinB的值为 A四 R c D 11.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6,AB=4,则BC的长是 ( A.6√2 B.2√19 C.2W13 D.9 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE是边BC上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1. (1)求BC的长， (2)求sin∠DAE的值. 拓展提升 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD,垂足为E.已知AC=6, cosA (1)求线段CD的长. (2)求cos∠DBE的值. 69 课时提优计划作业本数学九年级下册 第2课时解直角三角形(2) 知识梳理 1.在复杂的图形中，要寻找某一个直角三角形中的 个已知元素求出其他元素作为解 决问题的突破口. 2.在没有直角三角形的图形中，常需要通过作垂线构造 三角形，将问题转化为解直角 三角形来解决， 强化巩固 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列结论成立的是() A.c=a·sinA B.b=c·cosA C.b=a·tanA D.a=c·cosA 2.如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC-号，则对角线AC的长为 (第2题) (第3题) (第5题) 3.如图，在R1△ABC中，∠CAB=90°，AD1CB于点D.若anC-,AD=8,则AB的长为 A智 B.10 C40 D.12 3 4在△ABC中，∠B为锐角，AB=4,BC=5,snB=,则△ABC的面积为 A.15 B号 C.6 D号 5.如图，在△ABC中，AB=4,∠B=60,sinC=号，则AC的长为 A.2 B.3 C.2√3 D.3√3 6.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2√3，求AB的长. A30 45>B 70》 第7章锐角三角函数 7如图，在△ABC中，∠B为镜角，AB=32,BC=7,smB=受求AC的长。 8.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为(x,8),且OP与x轴正半轴的夹 角∠a的正切值为，则x的值为 P(x,8) 人a (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) 9.如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A、B、C都在格点上，则cosB的 值为 10.如图，⊙0的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=号，BD=5,则⊙0的半径 为 11.如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心、AB的长为半径作弧，图中 的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是 ) A司 B号 c D2⑤ 5 12.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=12. (1)求sinB的值， (2)延长BC至点D,使得∠ADB=30°，求CD的长. 30 D 拓展提升 1以.如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sinB-号，anA-,AC-5, (1)求AB的长 (2)求tan∠CDB的值. 71