7.4 由三角函数值求锐角-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

30,..AD=AE 3 3 -cosAcos 30 2 23.,D为AC的中点，.AC= 2AD=4√3..在Rt△ABC中， BC=AC·tanA=4√3tan30°= 43×=4,综上所述，BC的长为3 3 或4. 11.4.4解析：如图，过点C作 CH⊥AD,交AD的延长线于点H, 过点B作BG⊥AH,垂足为G,易得 四边形BCHG是矩形.，GH= BC=1米由题意，知DH=是× 1.6=1.2(米)...AG=AH-GH= AD+DH-GH=1+1.2-1= 1.2(米).在Rt△AGB中， AG @s∠GAB AB,AB→ AG 1.2 cos∠GAB cos60 =2×1.2= 2.4(米)..AD+AB+BC=1+ 2.4+1=4.4(米)，即所用不锈钢材料 的总长度为4.4米。 A 1米 60 E D B 1.6米 (第11题) 12.原式=1-x3.1 (x-1)2 2 x-1 当x=20s45°+1=2×9+1= 2 √2+1时，原式 1√2 2+1-121 13.整理方程，得(2cosa-1)· (2cosa-√3)=0， 2或c0sa= 1 ∴.cosa= ③ 2 a为锐角， ,.a=60或a=30° 方法归纳 根据特殊角的三角函数值 确定角的度数 解决这类问题时，往往需要我 们熟记特殊角的锐角三角函数值， 直接将它们转化为实数进行运算， 也可以逆用其三角函数值求得这 个锐角的度数.本题先根据一元二 次方程求得cOsa的值，再逆用特 殊角的三角函数值求得这个锐角 的度数。 14.C解析：由题意，知限高曲臂道 路闸口的高度为(1.4+2sina)m. ①当a=90°时，h<1.4+2=3.4. .高度小于3.4m的车辆均可以通 过该闸口.故①正确.②当α=45时， h<1.4十√2.2.9>1.4十√2，.高 度等于2.9m的车辆不可以通过该闸 口.故②正确.③当a=60°时，h< 1.4十3.3.1<1.4十3，.高度 等于3.1m的车辆可以通过该闸口. 故③不正确.综上所述，正确的有 2个. 15.如图，过点D作光线的平行线， 交地面于点G,交射线AC于点F,过 点D作DE⊥AF于点E,则 ∠AGF=45° :∠EBD=60°，BD=2米， .在Rt△DBE中，BE=BD· cOS∠EBD=1米，DE=BD· sin∠EBD=√5米. :AG⊥AF,DE⊥AF, ∴.ED∥AG. ∴.∠EDF=∠AGF=45°. .易得EF=ED=米 ,AB=4米， .AF=AB+BE+EF=4+1+ N3=(5+3)米. .5十5>6 .此时的影长为AG的长， ,在Rt△AFG中，∠AGF=45°， ,.易得AG=AF=(5十√3)米. .此时路灯设备在地面上的影长为 46 (5+3)米 F B A G (第15题) 7.4由三角函数值求锐角 1.C2.B3.(1)34.35 (2)75.77°(3)55.09°4.30 5.过点A作AD⊥BC于点D. ∴.∠ADB=∠ADC=90°. /B=45°， .AD=AB·sinB=6X2=32, ·sinC=AD_3v2-V3 AC2√62 ,△ABC是锐角三角形， ∴.∠C是锐角， .∠C=60° 6.D解析：连接AB.A(1,0)、 B(0,3),.OA=1,OB=√3 ∠AOB=90°，.在Rt△AOB中， OA 13 an∠0BA=oB=5 31 ∴.∠OBA=30°.由题意，分两种情况 讨论：①当点D在x轴上方的圆弧 上时，由圆周角定理，得∠ODA ∠OBA=30°：②当点D在x轴下 方的圆弧上时，由圆内接四边形的性 质，得∠ODA=180°-∠OBA=150°. 综上所述，∠ODA的度数为30°或 150°. 7.C解析：当这个三角形为锐角三 角形ABC时，如图①.在 R△ABD中，mA=裙=方： ∴.∠A=30°，即△ABC的顶角的度 数为30°.当这个三角形为钝角三角形 ABC时，如图②.：在Rt△ABD中， m∠BAD-胎-∠aAD= 30°.∴.∠BAC=180°-30°=150°，即 △ABC的顶角的度数为150°综上所 述，这个等腰三角形顶角的度数为30° 或150°. ① 、A ② (第7题) 8.90°或30° 解析：当高在三角形的 内部时，如图①.由题意，得AB=2, AC=25,AD=5.,在Rt△ABD 中B=裙-受∠B=0 :在R△ADC中，simC=AD=】 AC2' .∠C=30°..∠B+∠C=90° .∠BAC=180°-（∠B+∠C)= 180°一90°=90°，即这两边的夹角为 90°.当高在三角形的外部时，如图②. 由题意，得AB=2√3，AC=2,AD= B.:在R△ABD中，sinB=AD AB 1 ∠B=30.:在R△ADC中， sin∠ACD=A2=9,.∠ACD=■ 60°..∠BAC=∠ACD-∠B= 60°-30°=30°，即这两边的夹角为 30°.综上所述，这两边的夹角为90 或30. ① B D ② (第8题) 9.30°解析：连接DP.设⊙P的半 径为r,则AP=5十r.⊙P与AM 相切，.DP⊥AM..在Rt△APD 中，由勾股定理，得AD2十DP2= AP2,即(53)2+r2=(5+r)2,解得 r=5..'.DP=5,AP=10..'.sin A= DP 1 AP=2.∠A=30 10.75或15°解析：，在Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AD=BD=5, ∴.∠BAD=45°.在Rt△ACD中， ∠ADC=90°，AD=N3,AC=2, ∴.cos∠CAD= AC ∴.∠CAD=30°.如图，当AD在 △ABC的内部时，∠BAC= ∠CAD+∠BAD=30°+45°=75°；当 AD在△ABC'的外部时，∠BAC'= ∠BAD-∠C'AD=45°-30°=15° 综上所述，∠BAC的度数为75 或15°. B C' (第10题) 11.(1):点A(-2,-1)、B(1,3)在 一次函数y=kx十b的图像上， 4 k= -2k+b=-1, 3 . 解得 k+b=3, b= 5 3· 一次函数的表达式为y= 4 5 3x+ 2)在y=告x+号中，令y=0.得 4 5 5 x=一 4冷x=0,得y=3 “点C的坐标为（号0）小，点D的 坐标为(0，号）： 100-,0D=号 3 ∴.在Rt△OCD中，tan∠OCD= OD 4 00=3 (3)取点A关于原点的对称点E,连 接BE,则易知A、O、E三点共线，点 E的坐标为(2,1). E(2,1)、B(1,3)、O(0,0), ∴.易得BE=√(1-2)2+(3-1)7 5,OE=√22+1P=√5，OB= 47 √2+32=√10】 ,(W5)2+(5)2=(10)2, ∴.OE2+BE2=OB2」 ∴.△EOB是直角三角形，且 ∠BEO=90°. ∴.在Rt△BOE中，tan∠BOE= BE≥1 OE .∠B0E=45°. .∠AOB=180°-∠BOE=135° 12.(1)如图，过点O作OC⊥AB,交 AB的延长线于点C,则OC的长就是 所求的距离. 由题意，得∠A=30°， :在Rt△AOC中，OA=60海里， .OC=OA·sinA=30海里. ∴.点O到直线AB的距离是30海里. (2)在Rt△OBC中，OB=203海 里，O℃=30海里， ∴m∠008%-g ∴.∠OBC=60°，即小岛B在港口O 的北偏东60°方向. 北 B -C (第12题) 13.(1)连接OD. 在△OBD和△OBC中， BD=BC, OD=OC, OB=OB, .∴.△OBD≌△OBC. .∠ODB=∠OCB=90° .OD⊥AB. OD是⊙0的半径， .AB是⊙O的切线. (2)设⊙O的半径为r,则OD=r, A0=1+r. ∴.在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AD2+OD2=AO2,即(5)2+r2= (1十r)2,解得r=1. .OD=1. ÷m∠a0D-80-5. .∴.∠AOD=60° .∠C0D=120. 由(1)，知△OBD≌△OBC, ÷∠0D=∠0c=2∠00D=60 示的长为9-吾 14.C解析：如图，⊙P沿x轴向左 移动，分别与直线AB相切于点M、 N,且圆心分别为点P1、P2,连接 MP1、NP2.∴.MP,=NP2=OP=2, 且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与 该直线相交时，横坐标为整数的点P 在点P,和点P2之间.，直线y= 3 x十2与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，.易得A(-6,0)、B(0, 2√3)..AO=6,BO=23..在 R△A0B中，m∠0AB=8得 .∠PAM=∠OAB=30°..在 R△AMP,中，AP,=sin∠PAM MP 4..OP1=AO-AP1=2,即 P1(-2,0).∠NAP2=∠OAB= 30°，，∴.在Rt△AP,N中，AP, NP2 sin∠NAP=4.六OP2=AP,+ AO=10,即P2(-10,0).∴.符合题 意的点P的坐标为（一9,0）、（一8， 0)、(一7,0)、(-6,0)、(-5,0)、（一4， 0)、(一3,0).∴当⊙P与该直线相交 时，横坐标为整数的点P的个数是7. PO P (第14题) 15.如图，在△ABC中，AD⊥BC于 点D,设∠DAB=a,∠DAC=B,过点 C作CH⊥AB于点H. .∠CHA=∠CHB=∠ADC= ∠ADB=90° BD 1 :在Rt△ABD中，tana=AD21 ∴.设BD=3a(a>0),则AD=6a. .由勾股定理，得AB= √AD+BD2=35a. CD 1 :在R△ADC中，tanB=AD-3' ∴.CD=2a ∴.BC=BD+CD=5a. SAN-CAD-AB CH. CH=BC·AD AB =25a. '.在Rt△CBH中，由勾股定理，得 BH=VBC2-CH2=5a. .AH=AB-BH=25a. ∴.AH=CH. ∴.在Rt△ACH中，tan(a+B)= m∠cH-霜-1 .a+B=45°. C D B (第15题) 7.5解直角三角形 第1课时解直角三角形 1.A2.C3.(1)30°(2)3√2 4.2 5.,∠C=90°， ∴.∠A十∠B=90° :∠A-∠B=30°， ∴.∠A=60°，∠B=30° ·sinB=sin30°=AC=1 AC-AB. AC+AB=30, :含AB+AB=30, .AB=20 ∴.AC=10. .∴.BC=/202-102=10W3」 6.D7.D8.D9.25 5 10.4 11.2解析：过点O作OH⊥AB于 点H.∠ACB=90,.OC⊥BC BO为△ABC的角平分线，OH⊥ AB,.OH=OC,即OH为⊙O的半 48 径.设⊙O的半径为3.x(x>0),则 OH=OD=OC=3.x.在 R△AOH中，mA-g=子 Γ4 箭=是AH=4A0 √/AH+OH=5.x.AD=2, AO=OD+AD=3x+2...3x+ 2=5.x,解得x=1..A0=3x十2= 5,0H=OD=OC=3x=3...AC= AO+OC=5+3=8..在Rt△ABC 中，BC=AC·iamA=8×子=6， ∴.在Rt△BOC中，tan∠BOC= BC_6=2. 0元=3 12.BD LAC, ∴.∠ADB=∠BDC=90°. (1)在Rt△ADB中，AB=6, ∠A=30°， 六BD=AB·sinA=6X2=3, AD=AB·c0sA=6×5=35. 2 (2)AC=5√3，AD=35, .∴.CD=AC-AD=23. ·在R△BCD中，tanC=BD CD 33 252· 13.(1)答案不唯一，如图①所示. (2)如图②所示 ① 0 ② (第13题) 14.(1)在Rt△ABC中，∠C=拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 7.4由三角函数值求锐角 “答案与解析”见P46 自基础进阶 7.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1： 1.已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角 2,则这个等腰三角形顶角的度数为() 线长度的比为1：√5，则这个菱形的较小内 A.30° B.150° 角的度数为 C.30°或150° D.60°或120° ( A.30°B.45° C.60°D.75 8.若一个三角形一边上的高为√，另外两边的 2.(2025·淮安金湖一模)当∠A为锐角，且 长分别为2和2√，则这两边的夹角为 }asA<时乙A的范图是 ( 9.如图，P为AB上的点，⊙P与AM相切，切 A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<60 点为D,⊙P与AP相交于点C,且AC=5, C.60°<∠A<90°D.30°<∠A<45 AD=5√3，则∠A的度数为 3.已知∠A是锐角（精确到0.01°）. M (1)若sinA=0.5643,则∠A≈ (2)若cosA=0.2458,则∠A≈ (3)若tanA=1.433,则∠A≈ (第9题) 10.在△ABC中，AD是边BC上的高，AD= 4如果a是锐角，sin(a十15)= ，那么a= BD=√3，AC=2,则∠BAC的度数为 5.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6,AC= 11.如图，一次函数y=k.x十b(k≠0) 2√6，∠B=45°，求∠C的度数. 的图像经过点A(一2，一1)、B(1, 3),且交x轴于点C,交y轴于点 D,连接OA、OB. (1)求该一次函数的表达式. (第5题) (2)求tan∠OCD的值. (3)求证：∠AOB=135°. 3 B 幻素能攀升 6.如图，过点O、A(1,0)、B(0,3)作⊙M.若D C 2≥01 2 为⊙M上异于点O、A的点，连接OD、AD,则 -=1 21 ∠ODA的度数为 ) -3 A.60° (第11题) B.60°或120° C.30° A D.30°或150° (第6题) 76 第7章锐角三角函数 12.如图，在海岸边有一港口O,小岛A在港口 箭思维拓展 O的北偏东30°方向，小岛B在小岛A的正 4,新考向·学科内综合如图，直线y三，十 南方向，OA=60海里，OB=20√3海里 (1)求点O到直线AB的距离. 2√3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆 (2)小岛B在港口O的什么方向？ 心P的坐标为(2,0)，⊙P与y轴相切于点 北 O.若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该 直线相交时，横坐标为整数的点P的个 数是 () B 01 B (第12题) (第14题) A.5B.6 C.7 D.8 15.已知ag均为锐角，且tana=号 2 tanB-3,求a十B的度数. 13.(2024·湖北)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径 的⊙O经过AB上的点D,与OB交于点F, 且BD=BC. (1)求证：AB是⊙O的切线. (2)若AD=3,AE=1,求CP的长 (第13题) 77