7.4由三角函数值求锐角同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

7.4由三角函数值求锐角 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若关于x的方程x2﹣x+sina＝0有两个相等的实数根，则锐角a为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（　　） A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b） C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c） 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为(　　) A． B． C． D． 4．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是(     ) A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定 5．在中，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA·tanB等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．不确定 7．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 8．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是(　　) A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（       ） （1）H是FK的中点         （2）△HGD≌△HEC （3）S△AHG：S△DHC＝9：16     （4）DK＝ （5）HG⊥HC A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 二、填空题 13．比较三角函数值的大小： ． 14．若α为锐角，则0 sinα 1；0 cosα 1． 15．若，则锐角的余角是 ． 16．若锐角满足，则的取值范围是 ． 17．已知，则锐角 ． 三、解答题 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 19．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小 20．在中，，与有什么关系？ 21．已知：如图，在中，，cm，cm，为边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)当中点在上时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式，并求最小值； (4)是否存在某一时刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    23．如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线的交点，连接． （1）求证：； （2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长． 24．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 《7.4由三角函数值求锐角》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A C B D B B B 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】根据题意可得：方程的判别式△＝0，从而可得关于sinα的方程，解方程即可求出sinα的值，然后根据特殊角的三角函数值即可确定α的度数． 【详解】解：根据题意得△＝（﹣）2﹣4sinα＝0， 解得sinα＝， 所以锐角α＝30°． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和锐角三角函数的知识，属于基本知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系以及特殊角的三角函数值是解答的关键． 2．C 【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得,推出，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断； 【详解】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F． ∵tan∠BAC==2， ∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°， ∴△CBH∽△BAO， ∴， ∴BH=﹣2a，CH=2b， ∴C（b+2a，2b）， 由题意可证△CHF∽△BOD， ∴， ∴， ∴FH=2c， ∴C（﹣b﹣2c，2b）， ∵2c+2b=﹣2a， ∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c， ∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c）， 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．D 【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解． 【详解】因为∠A＋∠B＝90°， 所以sinB＝cosA， 所以sinB＝． 故选D 【点睛】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA 4．A 【分析】根据题意可得得到的新三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可得∠A=∠A′，进而得到答案． 【详解】当Rt△ABC各边都扩大3倍时，得到的新三角形与原三角形相似， 所以∠A=∠A′， 所以cosA=cosA′． 故答案选：A． 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义. 5．C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴是锐角， ∵， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 7．D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较. 【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1． 又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°． 故选D． 8．B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 9．B 【详解】∵α是锐角， ∴cosα>0， ∵cosα<， ∴0<cosα<， 又∵cos90°=0,cos45°=， ∴45°<α<90°； ∵α是锐角， ∴tanα>0， ∵tanα<， ∴0<tanα<， 又∵tan0°=0,tan60°=， 0<α<60°； 故45°<α<60°. 故选B. 【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键 10．B 【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点； （2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可； （3）由余弦三角函数和勾股定理算出HM，HT，再算面积，即得S△AHG：S△DHC＝9：16； （4）由余弦三角函数和勾股定理算出FK，即可得DK． （5）由(2)可得出，因为△HGD和△HEC不全等，进而可以得出，则，即HG⊥HC是错误的． 【详解】解：（1）在△ABE与△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠AFD＝∠AEB， ∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴AH⊥FK， 由垂径定理，得：FH＝HK， 即H是FK的中点，故（1）正确； （2）如图，过H作HM⊥AD于M，交BC于N， ∵AB＝4，BE＝3， ∴AE＝＝5， ∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM， ∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM， ∴ ， ∴AH＝，HM＝ ， ∴HN＝4−＝， 即HM≠HN， ∵MNCD， ∴MD＝CN， ∵HD＝ ， HC＝ ， ∴HC≠HD， ∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确； （3）过H作HT⊥CD于T， 由（2）知，AM＝， ∴DM＝4−， ∵MNCD， ∴MD＝HT＝， ∴，故（3）正确； （4）由（2）知，HF＝ ， ∴FK＝2HF＝ ， ∴DK＝DF−FK＝ ，故（4）正确． （5）由(1)可知， ， ∴ ， 由（2）知△HGD和△HEC不全等， ∴ ， ∴ ， ∴ 即HG⊥HC是错误的，故（5）不正确． 故选：B． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键． 11．C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，运用分类讨论的思想，由题意，画出图形，有两种情况．利用含角的直角三角形的性质可得出，勾股定理得出，进一步可得出，，则可得出或． 【详解】解：由题意，画出图形，有如下两种情况． ∵，， ∴点A到边的距离． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴或． 故选：C． 13． 【分析】根据余弦值是随着角的增大而减小这一规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）是解答本题的关键． 14． < < < < 【分析】设在直角三角形中α所对的直角边为a，令一条直角边为b，斜边为c，则a＞0，b＞0，c＞0，c＞a，c＞b； 接下来，依据锐角三角函数的定义sinα=，cosα=，最后依据a、b、c之间的关系求解即可. 【详解】设在直角三角形中α所对的直角边为a，令一条直角边为b，斜边为c. ∵a＞0，b＞0，c＞0，sinα=，cosα=， ∴sinα＞0，cosα＞0. ∵c＞a，c＞b， ∴sinα＜1，cosα＜1， ∴0＜sinα＜1，0＜cosα＜1. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义. 15．/度 【分析】本题考查了特殊角的锐角三角函数的计算，余角的概念，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 根据可得，由余角的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴锐角的余角是， 故答案为： ． 16． 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 17． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：， 锐角， 故答案为：． 18．(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 19．（1），，. （2）m=0，∠A=30°，∠B=120°． 【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可； （2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得， sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=， cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=， sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°． ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验是方程4x2﹣1=0的根． ∴m=0符合题意． ②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意． ③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验不是方程4x2﹣1=0的根． 综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 20．. 【分析】画出直角三角形，由正切的定义可得：从而可得结论. 【详解】解：如图， 【点睛】本题考查的是锐角的正切的定义，互为余角的两个角的正切互为倒数，掌握正切的定义是解题的关键. 21．(1)； (2)s； (3)，取得最小值为； (4)存在某一时刻s，使得 【分析】（1）证明得到，即，求出t即可； （2）设与相交与点，则为中点，过作于点，利用三角函数求出，进而得到，，，求出，得到，求出t； （3）根据求出函数解析式，利用二次函数的性质解答； （4）当时，过作交于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，表示出AN、AP，利用三角函数求出t． 【详解】（1）由题意可知，，， ， ， ， 解得， 当时，； （2）设与相交与点，则为中点， 过作于点， ，，， ∴cosA=， ， ，，， ， ， ， ， ， s； （3） 当s时，S取得最小值为； （4）当时，过作交于， 则， ，， ，   解得：s． 所以存在某一时刻s，使得． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数，求函数解析式，二次函数的最值，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 23．(1)见解析;(2). 【分析】（1）由正方形与正方形，对角线，可得， ，即可证得，因，则可利用“边角边”即可证两三角形全等 （2）方法一：过点作交于点，由于，由可得长，从而求得，即可求得，再通过，易证得，则有，求得即为正方形的边长; 方法二：因为DG⊥BD，利用同旁内角互补证DG∥OA，进而得△DMG∽△AMO。由DM和AM的长得相似比，再由OA的长求DG.最后在△ODG中根据勾股定理求OG. 【详解】解：（1）∵正方形与正方形，对角线， ∴，，,, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴. （2）方法一：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得: ， ∵， ∴， ∴， ∴，得， 则正方形的边长为. 方法二： ∵， ∴， ∴ ∵DG⊥BD， ∴， 又∵, ∴, ∴DG∥OA， ∴, 又∵, ∴， ∴， ∴GD=， ∴在中，由勾股定理得: ∴， ∴正方形的边长为. 【点睛】 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，解决问题的关键是正确的运用相似三角形的性质和判定． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $