7.4 由三角函数值求锐角-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

∵ AG⊥AF,DE⊥AF, ∴ ED∥AG. ∴ ∠EDF=∠AGF=45°. ∴ 易得EF=ED=3米. ∵ AB=4米, ∴ AF=AB+BE+EF=4+1+ 3=(5+3)米. ∵ 5+3>6, ∴ 此时的影长为AG. ∵ 在Rt△AFG中,∠AGF=45°, ∴ 易得AG=AF=(5+3)米. ∴ 此时路灯设备在地面上的影长为 (5+3)米. (第15题) 7.4　由三角函数值求锐角 1. C 2. B 3. (1) 34.35° (2) 75.77° (3) 55.09° 4. 30° 5. 过点A作AD⊥BC于点D. ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∵ ∠B=45°, ∴ AD=AB·sinB=6× 22=32. ∴ sinC=ADAC= 32 26 = 32. ∵ △ABC是锐角三角形, ∴ ∠C是锐角. ∴ ∠C=60°. 6. D [解析] 连接AB.∵ A(1,0)、B(0, 3),∴ OA=1,OB=3.∵ ∠AOB= 90°,∴ 在Rt△AOB中,tan∠OBA= OA OB= 1 3 = 33.∴ ∠OBA=30°.由题 意,分两种情况讨论:① 当点D 在 x轴上方的圆弧上时,由圆周角定理, 得 ∠ODA=∠OBA=30°;② 当点D 在x轴下方的圆弧上时,由圆内接四 边形的性质,得 ∠ODA =180°- ∠OBA=150°.综上所述,∠ODA 的 度数为30°或150°. 7. C [解析] 当这个三角形为锐角 三角 形 ABC 时,如 图 ①.∵ 在 Rt△ABD 中,sinA =BDAB = 1 2 , ∴ ∠A=30°,即△ABC 的顶角的度 数为30°.当这个三角形为钝角三角形 ABC时,如图②.∵ 在Rt△ABD 中, sin∠BAD=BDAB= 1 2 ,∴ ∠BAD= 30°.∴ ∠BAC=180°-30°=150°,即 △ABC的顶角的度数为150°.综上所 述,这个等腰三角形顶角的度数为30° 或150°. (第7题) 8. 90°或30° [解析] 当高在三角形 的内部时,如图①.由题意,得AB= 2,AC=23,AD=3.∵ 在Rt△ABD 中,sinB=ADAB= 3 2 ,∴ ∠B=60°. ∵ 在Rt△ADC中,sinC=ADAC= 1 2 , ∴ ∠C=30°.∴ ∠B+∠C=90°. ∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)= 180°-90°=90°,即这两边的夹角为 90°.当高在三角形的外部时,如图②. 由题意,得AB=23,AC=2,AD= 3.∵ 在Rt△ABD中,sinB=ADAB= 1 2 ,∴ ∠B=30°.∵ 在Rt△ADC中, sin∠ACD=ADAC= 3 2 ,∴ ∠ACD= 60°.∴ ∠BAC= ∠ACD - ∠B = 60°-30°=30°,即这两边的夹角为 30°.综上所述,这两边的夹角为90° 或30°. (第8题) 9. 30° [解析] 连接DP.设☉P 的 半径为r,则AP=5+r.∵ ☉P 与 AM 相 切,∴ DP ⊥AM.∴ 在 Rt△APD中,由勾股定理,得AD2+ DP2=AP2,即(53)2+r2=(5+ r)2,解得r=5.∴ DP=5,AP=10. ∴ sinA=DPAP= 1 2.∴ ∠A=30°. 10. 75°或15° [解析] ∵ 在Rt△ABD 中,∠ADB=90°,AD=BD= 3, ∴ ∠BAD=45°.∵ 在Rt△ACD 中, ∠ADC=90°,AD = 3,AC=2, ∴ cos∠CAD=ADAC= 3 2.∴ ∠CAD= 30°.如图,当AD 在△ABC 的内部 时,∠BAC = ∠CAD + ∠BAD = 30°+45°=75°;当AD在△ABC'的外 部时,∠BAC'=∠BAD-∠C'AD= 45°-30°=15°.综上所述,∠BAC 的 度数为75°或15°. (第10题) 11. (1) ∵ 点A(-2,-1)、B(1,3)在 一次函数y=kx+b的图像上, ∴ -2k+b=-1, k+b=3, 解得 k=43 , b=53. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 一次函数的表达式为y= 4 3x+ 5 3. (2) 在y= 4 3x+ 5 3 中,令y=0,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 x=-54 ;令x=0,得y= 5 3. ∴ 点C的坐标为 -54 ,0 ,点D 的 坐标为 0,53 . ∴ OC=54 ,OD=53. ∴ 在 Rt△OCD 中,tan∠OCD = OD OC= 4 3. (3) 取点A 关于原点的对称点E,则 点E的坐标为(2,1). 连接OE、BE,易知 A、O、E 三点 共线. ∵ E(2,1)、B(1,3)、O(0,0), ∴ 易得BE= (1-2)2+(3-1)2= 5,OE = 22+12 = 5,OB = 12+32= 10. ∵ (5)2+(5)2=(10)2, ∴ OE2+BE2=OB2. ∴ △EOB 是 直 角 三 角 形,且 ∠BEO=90°. ∴ 在 Rt△BOE 中,tan∠BOE = BE OE=1. ∴ ∠BOE=45°. ∴ ∠AOB=180°-∠BOE=135°. 12. (1) 如图,过点O作OC⊥AB,交 AB的延长线于点C,即OC的长就是 所求的距离. 由题意,得∠A=30°, ∵ 在Rt△AOC中,OA=60海里, ∴ OC=OA·sinA=30海里. ∴ 点O到直线AB的距离是30海里. (2) ∵ 在Rt△OBC中,OB=203海 里,OC=30海里, ∴ sin∠OBC=OCOB= 3 2. ∴ ∠OBC=60°,即小岛B 在港口O 的北偏东60°方向. (第12题) 13. (1) ∵ 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AB=10米, ∴ AC=AB·sin∠ABC=10sinα米. ∵ 60°≤α≤75°, ∴ 当 α =75°时,AC 最 长,为 10sin75°≈10×0.97=9.7(米). ∴ 使用这架梯子最高可以安全攀上 9.7米的墙. (2) ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AB=10米,BC=4米, ∴ cos∠ABC=BCAB= 4 10=0.4. ∴ α≈66.4°. ∵ 60°<66.4°<75°, ∴ 此时人能够安全使用这架梯子. 14. C [解析] 如图,☉P 沿x轴向 左移动,分别与直线AB相切于点M、 N,且圆心分别为点P1、P2,连接 MP1、NP2.∴ MP1=NP2=OP=2, 且将☉P 沿x轴向左移动,当☉P 与 该直线相交时,横坐标为整数的点P 在点P1 和点P2 之间.∵ 直线y= 3 3x+23 与x轴、y 轴分别相交于 A、B两点,∴ 易得A(-6,0)、B(0, 23).∴ AO=6,BO=23.∴ 在 Rt△AOB中,tan∠OAB=BOAO= 3 3. ∴ ∠P1AM=∠OAB=30°.∴ 在 Rt△AMP1中,AP1= MP1 sin∠P1AM= 4.∴ OP1 =AO -AP1 =2,即 P1(-2,0).∵ ∠NAP2=∠OAB= 30°,∴ 在 Rt△AP2N 中,AP2 = NP2 sin∠NAP2=4.∴ OP2=AP2+ AO=10,即P2(-10,0).∴ 符合题 意的点P 的坐标为(-9,0)、(-8, 0)、(-7,0)、(-6,0)、(-5,0)、(-4, 0)、(-3,0).∴ 当☉P与该直线相交 时,横坐标为整数的点P的个数是7. (第14题) 15. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 点D,设∠DAB=α,∠DAC=β,过点 C作CH⊥AB于点H. ∴ ∠CHA = ∠CHB = ∠ADC = ∠ADB=90°. ∵ 在Rt△ABD中,tanα=BDAD= 1 2 , ∴ 设BD=3a(a>0),则AD=6a. ∴ 由 勾 股 定 理,得 AB = AD2+BD2=35a. ∵ 在Rt△ADC中,tanβ= CD AD= 1 3 , ∴ CD=2a. ∴ BC=BD+CD=5a. ∵ S△ABC = 1 2BC ·AD= 12AB ·CH, ∴ CH=BC ·AD AB =25a. ∴ 在Rt△CBH 中,由勾股定理,得 BH= BC2-CH2=5a. ∴ AH=AB-BH=25a. ∴ AH=CH. ∴ 在 Rt△ACH 中,tan(α+β)= tan∠CAH=CHAH=1. ∴ α+β=45°. (第15题) 7.5　解直角三角形 第1课时 解直角三角形 1. A 2. C 3. (1) 30° (2) 32 4. 2 5. ∵ ∠C=90°, ∴ ∠A+∠B=90°. ∵ ∠A-∠B=30°, ∴ ∠A=60°,∠B=30°. ∵ sinB=sin30°=ACAB= 1 2 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 78 7.4　由三角函数值求锐角 ▶ “答案与解析”见P49 1. 已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角 线长度的比为1∶ 3,则这个菱形的较小内 角的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 2. (易错题)若锐角α满足cosα≤12 ,则α的取 值范围是 ( ) A. 0°<α≤60° B. 60°≤α<90° C. 0°<α≤30° D. 30°≤α<90° 3. 已知∠A是锐角(精确到0.01°). (1) 若sinA=0.5643,则∠A≈ . (2) 若cosA=0.2458,则∠A≈ . (3) 若tanA=1.433,则∠A≈ . 4. 已知0°<α<90°,0°<β<90°且sinα= 1 2 , tanβ=3,则β-α= . 5. 如图,在锐角三角形ABC中,AB=6,AC= 26,∠B=45°,求∠C的度数. (第5题) 6. 如图,过点O、A(1,0)、B(0,3)作☉M.若 D 为☉M 上异于点O、A 的点,连接OD、 AD,则∠ODA的度数为 ( ) A. 60° B. 60°或120° C. 30° D. 30°或150° (第6题) (第9题) 7. 若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶ 2,则这个等腰三角形顶角的度数为 ( ) A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 60°或120° 8. 若一个三角形一边上的高为3,另外两边的长 分别为2和23,则这两边的夹角为 . 9. 如图,P 为AB 上的点,☉P 与AM 相切,切 点为D,☉P与AP 相交于点C,且AC=5, AD=53,则∠A的度数为 . 10. 在△ABC 中,AD 是边BC 上的高,AD= BD=3,AC=2,则∠BAC的度数为 . 11. 如图,一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像经过点A(-2,-1)、B(1, 3),且交x轴于点C,交y轴于点 D,连接OA、OB. (1) 求该一次函数的表达式. (2) 求tan∠OCD的值. (3) 求证:∠AOB=135°. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 79 12. 如图,在海岸边有一港口O,小岛A 在港口 O的北偏东30°方向,小岛B在小岛A 的正 南方向,OA=60海里,OB=203海里. (1) 求点O到直线AB的距离. (2) 小岛B在港口O的什么方向? (第12题) 13. 如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的 梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要 满足60°≤α≤75°,现有一架长10米的梯子 (参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, tan75°≈3.73,sin23.6°≈0.40,cos66.4°≈ 0.40,tan21.8°≈0.40). (1) 使用这架梯子最高可以安全攀上多高 的墙? (2) 当梯子的底端距离墙面4米时,求α的 度数.此时人是否能够安全使用这架梯子? (第13题) 14. (学科内综合)如图,直线y= 3 3x+23 与 x轴、y 轴分别相交于A、B两点,圆心P的 坐标为(2,0),☉P与y轴相切于点O.若将 ☉P沿x轴向左移动,当☉P与该直线相交 时,横坐标为整数的点P的个数是 ( ) (第14题) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 15. 已知α、β均为锐角,且tanα= 1 2 , tanβ= 1 3 ,求α+β的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　锐角三角函数