7.3 特殊角的三角函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

AD=√DE+AE=√2+2严= _DE 5 5.sina-AD5 12.(15,4)解析：易知∠AOC= ∠BAO=∠B=∠CB'E=90.:在 Rt△B'OC中，sin∠OB'C=B元 OC 设0C=3x(x>0),则BC 3 5.x.∴.由勾股定理，得OB' √BC-OC=4x.易知BC= B'C=OA=5.x,∴.AB=x.易得 △B0C∽△EAB',.OB=OC AE AB' ,即共=52 CB' AE=x=BE:小AE 含，BE=号.在R△BCE 中，由勾股定理，得BC十BE2= CE2,即(5x)2+ (3) (5√10)2，解得x=3或x=-3(不 合题意，舍去).∴.OA=15,AE=4. ∴.点E的坐标为(15,4). 13.,a、b是关于x的一元二次方程 x2一m.x十2m一2=0的两个根， .'.a+b=m,ab=2m-2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得a2十 b2=c2. ,a2+b2=(a+b)2-2ab,c=5, ..a2+b2=(a+b)2-2ab=25,即 m2-2(2m-2)=25,解得m1=7, n2=-3. :a、b是Rt△ABC的两条直角边 的长， .a+b=m>0. .∴.m=7. 当m=7时，原方程为x2-7x十12= 0,解得x1=3,x2=4. 不纺设a=3,则smA=名=号 ∴.Rt△ABC中较小锐角的正弦值 为3 14.(1)过点D作DH⊥AB,垂足 为H. :BD平分∠ABC,∠C=90°， .DH=DC. 设DH=DC=x,则AD=3-x. ∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√AC2+BC=5. :sim∠BAC=HD_BC, AD AB' x一三 4 4 ·3之=行解得x= 3 经检验=专是原分式方程的解，且 符合题意 .CD=3 (2)由题意，得S△4m= AB. DH=X5X-19 3 31 ·BD=2DE, … 2 10、15 S△AnE=3X2=3 15.D解析：如图，过点N作NH1 BM于点H,取MN的中点E,连接 EH.'.在Rt△MNH中，EH= ?MIN=EM,由题意，易知BM目 BN.在等腰三角形BMN和等腰三角 形EMH中，∠BMN=∠EMH. :.易得△BMN∽△EMH.Mm MN 影设AD=2a,则易得BN=BM 5a,MN=√2a..EM= 2a. …鼎爱 MH= 5.在 Rt△MNH中，由勾股定理，得NH MN-MH =35 5 ..在 Rt△BHN中，sSin∠HBN=N BN 3W 5 a 3 5 ,即sin∠MBN= √5a A D (第15题) 45 16.△ABC是等腰直角三角形 理由：方程整理为(b十c)x2一2a.x+ c-b=0. :关于x的一元二次方程有两个相 等的实数根， ..(-2a)2-4(b+c)(c-b)=0. .a2+b2=c2. .△ABC为直角三角形，且 ∠C=90°」 .在Rt△ABC中，cosB=4 COsA=b c '.acos B=bcos A, b c 片a>0,b>0, ∴.a=b. ∴.△ABC为等腰直角三角形 方法归纳 综合运用学科知识解决问题 解答本题时，需要灵活运用一 元二次方程的根的判别式来确定 三角形的基本形状，根据锐角的余 弦值概念将条件进行转化，进而确 定待求三角形的边与边之间的数量 关系，从而判断这个三角形的形状 7.3特殊角的三角函数 1.C2.A3.2 3 4.45 8)原式名+ (2)原式=1+E 31 (3)原式=√6-3. 6.B7.D8.C9. 6-√2 10.3或4解析：当∠EDA=90时， AE=3,∠A=30°，.AD=AE· conAoD 为AC的中点，.AC=2AD=3√5. ∴.在Rt△ABC中，BC=AC· tanA=33tan30°=33×3=3.当 ∠AED=90°时，：AE=3,∠A= 30,.AD=AE 3 3 c0sA0s30°= 2 23.D为AC的中点，.AC= 2AD=4√5.∴.在Rt△ABC中， BC=AC·tanA=4√3tan30°= 45×5=4.综上所述，BC的长为3 3 或4. 11.4.4解析：如图，过点C作 CH⊥AD,交AD的延长线于点H, 过点B作BG⊥AH,垂足为G,易得 四边形BCHG是矩形.'.GH= BC=1米由题意，知DH=是× 1.6=1.2(米).∴.AG=AH-GH= AD+DH-GH=1+1,2-1= 1.2(米).在Rt△AGB中， s∠GAB=答·AB AG 1.2 cos∠GAB=cos60 =2×1.2= 2.4(米)..AD+AB+BC=1+ 2.4十1=4.4（米），即所用不锈钢材料 的总长度为4.4米。 1米 E D G B 1.6米 Ho-- (第11题) 12.原式=1x+3. (x-1)2. 2 x-1 √2 当x=2cos45°+1=2× +1 2 √2+1时，原式 12 2+1-12 13.整理方程，得(2cosa一1)· (2c0sa-√3)=0， os=7或osa 5 a为锐角， ∴.a=60或a=30°. 方法归纳 根据特殊角的三角函数值 确定角的度数 解决这类问题时，往往需要我 们熟记特殊角的锐角三角函数值， 直接将它们转化为实数进行运算， 也可以逆用其三角函数值求得这 个锐角的度数.本题先根据一元二 次方程求得cosa的值，再逆用特 殊角的三角函数值求得这个锐角 的度数， 14.C解析：由题意，知限高曲臂道 路闸口的高度为(1.4+2sina)m. ①当a=90°时，h<1.4+2=3.4. ∴.高度小于3.4m的车辆均可以通 过该闸口.故①正确.②当a=45时， h<1.4+√2.2.9>1.4十√2，∴.高 度等于2.9m的车辆不可以通过该闸 口.故②正确.③当a=60°时，h< 1.4+5.3.1<1.4+3,∴高度 等于3.1m的车辆可以通过该闸口. 故③不正确.综上所述，正确的有 2个 15.如图，过点D作光线的平行线 交地面于点G,交射线AC于点F,过 点D作DE⊥AF于点E,则 ∠AGF=45. :∠EBD=60°，BD=2米， ∴.在Rt△DBE中，BE=BD· cOs∠EBD=1米，DE=BD· sin∠EBD=√3米 :AG⊥AF,DE⊥AF, '.ED∥AG ∴.∠EDF=∠AGF=45. .∴.易得EF=ED=3米 AB=4米， ∴.AF=AB+BE+EF=4+1+ √5=(5+√3)米 5+3>6, .此时的影长为AG的长。 在Rt△AFG中，∠AGF=45°， .'.易得AG=AF=(5+√3)米. .此时路灯设备在地面上的影长为 46 (5+5)米. F CI、 B D 468 A G (第15题) 7.4由三角函数值求锐角 1.C2.B3.(1)34.35 (2)75.77°(3)55.09°4.30 5.过点A作AD⊥BC于点D. .∴.∠ADB=∠ADC=90°. .∠B=45°， AD=AB·sinB=6X号=32 ·simC-AD32B AC 2/6 2 '△ABC是锐角三角形， ∴.∠C是锐角， .∠C=60° 6.D解析：连接AB..A(1,0)、 B(0,3),.OA=1,OB=3 .∠AOB=90°，.在Rt△AOB中， 31 ∴.∠OBA=30°.由题意，分两种情况 讨论：①当点D在x轴上方的圆弧 上时，由圆周角定理，得∠ODA ∠OBA=30°：②当点D在x轴下 方的圆弧上时，由圆内接四边形的性 质，得∠ODA=180°-∠OBA=150°. 综上所述，∠ODA的度数为30°或 150. 7.C解析：当这个三角形为锐角三 角形ABC时，如图①.在 R△ABD中，mA=R船=合 ∴.∠A=30°，即△ABC的顶角的度 数为30°.当这个三角形为钝角三角形 ABC时，如图②.在Rt△ABD中， sim∠BAD=AB=2,·∠BAD= 30°.∴.∠BAC=180°-30°=150°，即 △ABC的顶角的度数为150°.综上所拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 7.3 特殊角的三角函数 ◆“答案与解析”见P45 自基础进阶 (2) tan30°+tan45° tan60°·tan45, 1.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA 3 ,anB=3,下列说法中，正确的是（ A.∠A=309 B.∠B=30° (3)√2sin60°-4cos30°+sin45°·tan60°. C.△ABC的是等边三角形 D.△ABC的是直角三角形 2.在△ABC中，若∠A、∠B是锐角， smA+ -cosB) =0,则∠C的度 幻素能攀升 6.若∠A=50°，则下列结论中，最准确的是 数是 ( A.120°B.105°C.75° D.45 3.(2025·常州二模)小阳从科普光线 A.0<cos A<1 D 读物中了解到，光从真空射入介 质发生折射时，入射角α的正弦 C② COS A< D.cosA1 值与折射角的正弦值的比值 B 7.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且 (第3题) sin叫做介质的“绝对折射率”， (tanB-√3)(2sinA-√3)=0，则△ABC一 sin B 定是 () 简称“折射率”（如图）.它表示光在介质中传 A.等腰三角形 播时，介质对光作用的一种特征.若光从真空射 B.等边三角形 入某介质，入射角为a,折射角为B,且cosa= C.直角三角形 √7 9=30,则该介质的折射率为 D.有一个角是60°的三角形 4.若关于x的一元二次方程2x2+4 xsin a十 8萄考法，新定义题由sn30°-号，si血210°- 1=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数 为 7,得sn210°=sn(180°+30)==sn30 5.计算： (1)sin230°+sin60°-sin45°+cos230°. 由sin45°- 2,sin225°- 2 ，得sin225° sin(180°+45°)=-sin45°.由此，可知当a为 锐角时，sin(180°+a)=-sina,则sin240的 值为 A-司 B一② C.3 2 D.-3 74 第7章锐角三角函数 9.定义一种运算：sin(a十B)=sin acosB+份思维拓展 cos asin B,sin(a-B)=sin acos B-cos a. 14.某限高曲臂道路闸口如图所示， sin3.例如：当a=45°，3=30°时，sin(45°+ AB⊥地面U1于点A,BE与水平 线l2的夹角为a(0°≤a≤90)， 2 2 2.计算 EF亿1L2,AB=1.4m,BE=2m.设车辆 sin15的值为 的高度为hm,不考虑闸口与车辆的宽度 10.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，边AC 有下列说法：①当a=90°时，高度小于 的中点为D,点E在边AB上且AE=3.若 3.4m的车辆均可以通过该闸口；②当a= △ADE为直角三角形，则BC的长为 45时，高度等于2.9m的车辆不可以通过 该闸口；③当a=60时，高度等于3.1m的 11.某中学体育场看台 车辆不可以通过该闸口.其中，正确的有 的侧面示意图如图 1米 () 所示（涂色部分）， 1.6米 看台有四级高度相 同的小台阶.已知 (第11题) 看台的高为1.6米 DA (第14题) (EF=1.6米)，现要做一个不锈钢扶手AB A.0个B.1个 C.2个D.3个 及两根与FK垂直且长为1米的不锈钢架 15.如图，某广场装有智能路灯，路灯设备由灯 杆AD和BC(杆子的底端分别为D、C),且 柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安 ∠DAB=60°，则所用不锈钢材料的总长度 全监控，点D处装有照明灯)，灯柱AC为 为 米 6米，支架BD为2米，点B到点A的距离 12.先化简，再求值： x一3 为4米，AC与地面垂直，∠CBD=60°.某 一时刻，阳光与地面的夹角为45°，求此时路 1其中x=2c0s45+1, 2 灯设备在地面上的影长 45"/入 (第15题) 13.*已知4cos2a-2(1+√3)cosa十 √3=0，求锐角α的度数. 75