7.3 特殊角的三角函数-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

76 7.3　特殊角的三角函数 ▶ “答案与解析”见P48 1. 如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与 射线OA交于点B,再以点B为圆心、BO长 为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则 sin∠AOC的值为 ( ) (第1题) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2. 在△ABC中,若∠A、∠B是锐角,sinA-12 + 3 2-cosB 2 =0,则∠C的度数是 ( ) A. 120° B. 105° C. 75° D. 45° 3. 若反比例函数y= k x (k≠0)的图像经过点 (tan45°,2cos60°),则k的值为 . 4. 若关于x的一元二次方程2x2+4xsinα+ 1=0有两个相等的实数根,则锐角α的度数 为 . 5. 计算: (1) sin230°+sin60°-sin245°+cos230°. (2) tan30°+tan45° tan60°·tan45°. (3) 2sin60°-4cos230°+sin45°·tan60°. 6. (易错题)若∠A=50°,则下列结论中,最准确 的是 ( ) A. 0<cosA<1 B. 1 2<cosA< 2 2 C. 2 2<cosA< 3 2 D. 3 2<cosA<1 7. 在△ABC中,∠A、∠B均为锐角,且(tanB- 3)(2sinA-3)=0,则△ABC一定是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 有一个角是60°的三角形 8. 由sin30°=12 ,sin210°=-12 ,得sin210°= sin(180°+30°)=-sin30°;由sin45°= 22 , sin225°=- 22 ,得sin225°=sin(180°+ 45°)=-sin45°.由此,可知当α为锐角时, sin(180°+α)=-sinα,则sin240°的值为 ( ) A. -12 B. - 22 C. - 32 D. -3 9. 定义一种运算: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)= 2 2× 3 2+ 2 2× 1 2= 6+2 4 . 计算sin15°的 值为 . 10. 在△ABC 中,∠C=90°,∠A= 30°,边AC的中点为D,点E在边 AB上且AE=3.若△ADE 为直 角三角形,则BC的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 77 11. 某中学体育场看台的侧面示意图如图所示 (涂色部分),看台有四级高度相同的小台 阶.已知看台的高为1.6米(EF=1.6米),现 要做一个不锈钢扶手AB 及两根与FK 垂 直且长为1米的不锈钢架杆AD 和BC(杆 子的底端分别为D、C),且∠DAB=60°,则 所用不锈钢材料的总长度为 米. (第11题) 12. 先化简,再求值: 1 x-1- x-3 x2-2x+1 ÷ 2 x-1 ,其中x=2cos45°+1. 13. ★已知4cos2α-2(1+ 3)cosα+ 3=0,求 锐角α的度数. 14. 某限高曲臂道路闸口如图所示, AB⊥地面l1于点A,BE 与水平 线l2 的夹角为α(0°≤α≤90°), EF∥l1∥l2,AB=1.4m,BE=2m.设车辆 的高度为hm,不考虑闸口与车辆的宽度. 有下列说法:① 当α=90°时,高度小于3.4m 的车辆均可以通过该闸口;② 当α=45°时, 高度等于2.9m的车辆不可以通过该闸口; ③ 当α=60°时,高度等于3.1m的车辆不 可以通过该闸口.其中,正确的有 ( ) (第14题) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 15. 如图,某广场装有智能路灯,路灯设备由灯 柱AC与支架BD共同组成(点C处装有安 全监控,点D 处装有照明灯),灯柱AC 为 6米,支架BD 为2米,支点B到点A 的距 离为4米,AC 与地面垂直,∠CBD=60°. 某一时刻,阳光与地面的夹角为45°,求此时 路灯设备在地面上的影长. (第15题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　锐角三角函数 ∴ ∠CAE=∠C. ∴ AE=EC. ∵ ∠DAF=∠BAD,tan∠BAD=47 , ∴ tan∠DAF=47. ∴ 在 Rt△ADF 中,tan∠DAF= DF AF= 4 7. 设DF=4x,则AF=7x. ∴ 由勾股定理,得 DF2+AF2= AD2,即(4x)2+(7x)2=( 65)2,解 得x=1(负值已舍去). ∴ DF=4,AF=7. 设 EF=y,则CE=AE=7+y, DE=CD-CE=6-y. ∴ 在Rt△DEF 中,由勾股定理,得 DE2=DF2+EF2,即(6-y)2= 42+ y2,解得y= 5 3. ∴ DE=133 ,AE=263. 设DG=z,则GE=133-z. ∵ 易知AD2-DG2=AG2=AE2-GE2, ∴ ( 65)2 - z2 = 263 2 - 13 3-z 2 ,解得z=1. ∴ DG=1. ∴ CG=CD-DG=12. ∴ 在Rt△AGD 中,由勾股定理,得 AG= AD2-DG2= (65)2-12= 8. ∴ 在Rt△AGC 中,由勾股定理,得 AC= AG2+CG2 = 82+122 = 4 13. (第11题) 7.3　特殊角的三角函数 1. D 2. A 3. 1 4. 45° 5. (1) 原式=12+ 3 2. (2) 原式=1+33 . (3) 原式=6-3. 6. B 7. D 8. C 9. 6-2 4 10. 3或4 [解析] 当∠EDA=90° 时,∵ AE=3,∠A=30°,∴ AD= AE·cosA=3cos30°=3× 32 = 33 2 .∵ D 为AC 的中点,∴ AC= 2AD =3 3.∴ 在 Rt△ABC 中, BC=AC·tanA=3 3tan30°= 33× 33 =3. 当∠AED=90°时, ∵ AE =3,∠A =30°,∴ AD = AE cosA= 3 cos30°= 3 3 2 =23.∵ D 为 AC 的中点,∴ AC=2AD=4 3. ∴ 在 Rt△ABC 中,BC =AC · tanA=43tan30°=43× 33=4. 综 上所述,BC的长为3或4. 11. 4.4 [解析] 如图,过点C 作 CH⊥AD,交AD 的延长线于点H, 过点B作BG⊥AH,垂足为G,易得 四边形 BCHG 是矩形.∴ GH = BC=1米.由题意,知DH=34× 1.6=1.2(米).∴ AG=AH-GH= AD+DH -GH =1+1.2-1= 1.2(米). ∵ 在 Rt△AGB 中, cos∠GAB = AGAB , ∴ AB = AG cos∠GAB = 1.2 cos60°=2×1.2= 2.4(米).∴ AD+AB+BC=1+ 2.4+1=4.4(米),即所用不锈钢材料 的总长度为4.4米. (第11题) 12. 原式=x-1-x+3(x-1)2 ·x-1 2 = 1 x-1. 当x=2cos45°+1=2× 22 +1= 2+1时,原式= 1 2+1-1 = 22. 13. 整理方程,得(2cosα-1)(2cosα- 3)=0,解得cosα=12 或cosα= 32. ∵ α为锐角, ∴ α=60°或α=30°. 根据特殊角的三角函数值 确定角的度数 解决这类问题时,往往需要我 们熟记特殊角的锐角三角函数值, 直接将它们转化为实数进行运算, 也可以逆用其三角函数值求得这 个锐角的度数.本题先根据一元二 次方程求得cosα的值,再逆用特 殊角的三角函数值求得这个锐角 的度数. 14. C [解析] 由题意,知限高曲臂 道路闸口的高度为(1.4+2sinα)m. ① 当α=90°时,h<1.4+2=3.4. ∴ 高度小于3.4m的车辆均可以通 过该闸口.故①正确.② 当α=45°时, h<1.4+2.∵ 2.9>1.4+2,∴ 高 度等于2.9m的车辆不可以通过该闸 口.故②正确.③ 当α=60°时,h< 1.4+3.∵ 3.1<1.4+3,∴ 高度等 于3.1m的车辆可以通过该闸口.故 ③不正确.综上所述,正确的有2个. 15. 如图,过点D 作光线的平行线, 交地面于点G,交射线AC于点F,过 点 D 作 DE ⊥AF 于 点 E,则 ∠AGF=45°. ∵ ∠EBD = ∠CBD =60°,BD = 2米, ∴ 在 Rt△DBE 中,BE =BD · cos∠EBD =1 米,DE =BD · sin∠EBD=3米. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84 ∵ AG⊥AF,DE⊥AF, ∴ ED∥AG. ∴ ∠EDF=∠AGF=45°. ∴ 易得EF=ED=3米. ∵ AB=4米, ∴ AF=AB+BE+EF=4+1+ 3=(5+3)米. ∵ 5+3>6, ∴ 此时的影长为AG. ∵ 在Rt△AFG中,∠AGF=45°, ∴ 易得AG=AF=(5+3)米. ∴ 此时路灯设备在地面上的影长为 (5+3)米. (第15题) 7.4　由三角函数值求锐角 1. C 2. B 3. (1) 34.35° (2) 75.77° (3) 55.09° 4. 30° 5. 过点A作AD⊥BC于点D. ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∵ ∠B=45°, ∴ AD=AB·sinB=6× 22=32. ∴ sinC=ADAC= 32 26 = 32. ∵ △ABC是锐角三角形, ∴ ∠C是锐角. ∴ ∠C=60°. 6. D [解析] 连接AB.∵ A(1,0)、B(0, 3),∴ OA=1,OB=3.∵ ∠AOB= 90°,∴ 在Rt△AOB中,tan∠OBA= OA OB= 1 3 = 33.∴ ∠OBA=30°.由题 意,分两种情况讨论:① 当点D 在 x轴上方的圆弧上时,由圆周角定理, 得 ∠ODA=∠OBA=30°;② 当点D 在x轴下方的圆弧上时,由圆内接四 边形的性质,得 ∠ODA =180°- ∠OBA=150°.综上所述,∠ODA 的 度数为30°或150°. 7. C [解析] 当这个三角形为锐角 三角 形 ABC 时,如 图 ①.∵ 在 Rt△ABD 中,sinA =BDAB = 1 2 , ∴ ∠A=30°,即△ABC 的顶角的度 数为30°.当这个三角形为钝角三角形 ABC时,如图②.∵ 在Rt△ABD 中, sin∠BAD=BDAB= 1 2 ,∴ ∠BAD= 30°.∴ ∠BAC=180°-30°=150°,即 △ABC的顶角的度数为150°.综上所 述,这个等腰三角形顶角的度数为30° 或150°. (第7题) 8. 90°或30° [解析] 当高在三角形 的内部时,如图①.由题意,得AB= 2,AC=23,AD=3.∵ 在Rt△ABD 中,sinB=ADAB= 3 2 ,∴ ∠B=60°. ∵ 在Rt△ADC中,sinC=ADAC= 1 2 , ∴ ∠C=30°.∴ ∠B+∠C=90°. ∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)= 180°-90°=90°,即这两边的夹角为 90°.当高在三角形的外部时,如图②. 由题意,得AB=23,AC=2,AD= 3.∵ 在Rt△ABD中,sinB=ADAB= 1 2 ,∴ ∠B=30°.∵ 在Rt△ADC中, sin∠ACD=ADAC= 3 2 ,∴ ∠ACD= 60°.∴ ∠BAC= ∠ACD - ∠B = 60°-30°=30°,即这两边的夹角为 30°.综上所述,这两边的夹角为90° 或30°. (第8题) 9. 30° [解析] 连接DP.设☉P 的 半径为r,则AP=5+r.∵ ☉P 与 AM 相 切,∴ DP ⊥AM.∴ 在 Rt△APD中,由勾股定理,得AD2+ DP2=AP2,即(53)2+r2=(5+ r)2,解得r=5.∴ DP=5,AP=10. ∴ sinA=DPAP= 1 2.∴ ∠A=30°. 10. 75°或15° [解析] ∵ 在Rt△ABD 中,∠ADB=90°,AD=BD= 3, ∴ ∠BAD=45°.∵ 在Rt△ACD 中, ∠ADC=90°,AD = 3,AC=2, ∴ cos∠CAD=ADAC= 3 2.∴ ∠CAD= 30°.如图,当AD 在△ABC 的内部 时,∠BAC = ∠CAD + ∠BAD = 30°+45°=75°;当AD在△ABC'的外 部时,∠BAC'=∠BAD-∠C'AD= 45°-30°=15°.综上所述,∠BAC 的 度数为75°或15°. (第10题) 11. (1) ∵ 点A(-2,-1)、B(1,3)在 一次函数y=kx+b的图像上, ∴ -2k+b=-1, k+b=3, 解得 k=43 , b=53. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 一次函数的表达式为y= 4 3x+ 5 3. (2) 在y= 4 3x+ 5 3 中,令y=0,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94