7.3特殊角的三角函数同步练习2025-2026学年苏科版数学九年级下册

7.3特殊角的三角函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．用计算器验证，下列等式中正确的是(   ) A． B． C． D． 3．下列等式：①sin30°+sin30°=sin60°；②sin25°=cos65°；③cos45°=sin45°；④cos62°=sin18°．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(　　) A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66 5．锐角三角函数tan30°的值是（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶点．已知坡角为，山高千米．用科学计算器计算小路的长度，下列按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 7．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（    ） A．4 B．4 C．5 D．5 8．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 10．的值等于（　　） A． B． C． D． 11．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 12．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是(　　) A．sin30°<x<sin60° B．cos30°<x<cos45° C．tan30°<x<tan45° D．tan45°<x<tan60° 二、填空题 13．若α为锐角,且tan (90°-α)=,则tan α= . 14．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 15．请从以下两个小题中任选一个作答． A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ ． B：用科学计算器计算：+3tan56°≈ ．（结果精确到0.01） 16．计算： ． 17．2cos30°＝ ． 三、解答题 18．已知：如图，是弧的中点，过点的弦交弦于点，设的半径为，， (1)求圆心到弦的距离； (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)求的度数． 19．求下列各式的值： （1）； （2）． 20．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，求cosB． 22．（1）验证下列两组数值的关系： 2sin30°•cos30°与sin60°； 2sin22.5°•cos22.5°与sin45°． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式． 23．四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE． （1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由； （2）若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长． （3）若∠A=∠B=90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由． 24．用计算器求下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）． 《7.3特殊角的三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B A D D C D 题号 11 12 答案 A D 1．B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 2．D 【分析】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ． 【详解】解：利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ． 正确的是． 故选D. 【点睛】本题考查了用过计算器计算三角函数，会用科学记算器进行计算是解题关键． 3．B 【详解】解：①sin30°=，sin60°=，+ =1≠，故本小题错误； ②sin25°=cos（90°﹣25°）=cos65°，故本小题正确； ③cos45°= ，sin45°= ，∴cos45°=sin45°，故本小题正确； ④cos62°=sin（90°﹣62°）=sin28°≠sin18°，故本小题错误． 所以正确的是②③共2个． 故选B． 4．B 【详解】解：用计算器解cos44°≈0.72． 故选B． 5．B 【分析】根据锐角三角函数值求解． 【详解】解：tan30°． 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，对于特殊角的三角函数值必须熟记 ． 6．A 【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA=，则AB=，即可得出结论． 【详解】在中，， ∴， ∴按键顺序为：. 故选A． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键． 7．D 【解析】略 8．D 【分析】根据特殊角锐角三角函数值，即可判断． 【详解】解：∵， ∴A、应该是，故本选项错误，不符合题意； B、应该是，故本选项错误，不符合题意； C、应该是，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项一定成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 9．C 【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数． 10．D 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案. 【详解】解：cos60°＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键． 11．A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解 【详解】解：， 故选：A 12．D 【分析】根据特殊角的三角函数值，分别求得的范围，结合A点在数轴上的位置即可求解． 【详解】由数轴上A点的位置可知，<<2． A． 由sin30°<x<sin60°可知， ×<x<，即<x<<1，故本选项错误； B． 由cos30°<x<cos45°可知，<x<×，即<x<，故本选项错误； C． 由tan30°<x<tan45°可知， ×<x<1，即<x<1，故本选项错误； D． 由cot45°<x<cot30°可知， ×1<x< ，即<x<，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 13． 【详解】根据特殊角的三角函数值，易得90°-α=60°，α=30°，则tan 30°=. 14． 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 15． 72° 10.02 【分析】A、利用正五边形的性质计算得出∠EAD的度数，进而得出∠BAD的度数； B、直接利用计算器输入计算即可． 【详解】解：A、正五边形每个内角的度数＝＝108°， ∵AE＝DE， ∴∠EAD＝∠EDA＝（180°﹣∠E）＝（180°﹣108°）＝36°， ∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°， 故答案为：72°． B、+3tan56°≈10.02． 故答案为：10.02． 【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及计算器用法，正确掌握计算器使用方法是解题关键． 16． 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 17． 【详解】试题分析：根据cos30°=，继而代入可得出答案． 解：原式=． 故答案为． 点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了垂径定理、锐角三角函数及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）连接，过点作于，由垂径定理可知，在中，利用勾股定理求出即可得答案； （2）连接、，由于是弧的中点，可得，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出； （3）利用锐角三角函数，可求出，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出． 【详解】（1）解：连接，过点作于， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴ 故圆心到弦的距离为． （2）解：（2）猜想：，理由如下： 如图，连接、， ∵是弧的中点， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴． 19．（1）1；（2）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入进而得出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是锐角三角函数值的计算； （1）直接利用计算器进行计算即可； （2）直接利用计算器进行计算即可； （3）直接利用计算器进行计算即可； （4）直接利用计算器进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 21． 【详解】分析：先根据正切值求出∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠B的度数，再根据余弦的定义即可求解． 本题解析：∵tanA= ∴∠A=60°．                                 ∵∠A+∠B=90°， ∴∠B=90°-60°=30°．                        ∴cosB= 点睛：此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 22．（1）；；0.7；0.7；（2）一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α． 【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论； （2）根据（1）中的关系可得出结论； （3）任选一个角验证（3）的结论即可； （4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可． 【详解】（1）∵2sin30°•cos30°=2，sin60°． 2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°0.7，∴2sin30°•cos30°=sin60°，2sin22.5°•cos22.5=sin45°； （2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值； （3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97，sin30°； 故结论成立； （4）2sinα•cosα=sin2α． 【点睛】本题考查了三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键． 23．（1）△DAE∽△EBC，理由见解析；（2）AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由见解析. 【分析】（1）三角形内角和为180°，所以∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，又因为∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，所以∠ADE=∠CEB，已知∠A=∠B，所以△DAE∽△EBC； （2）设AE=x，则BE=5﹣x，不难证明△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质列方程求出x即可；（3）分两类进行讨论：①∠A=∠B=∠DEC=90°，②∠DEC≠90°，结合相似三角形的性质分别求出AE和BE的数量关系． 【详解】（1）△DAE∽△EBC， 理由：∵∠A=∠DEC=50°， ∴∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°， ∴∠ADE=∠CEB， ∵∠A=∠B， ∴△DAE∽△EBC； （2） 设AE=x，则BE=5﹣x， ∵矩形ABCD， ∴∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°， ∵图中三个三角形都相似， ∴△DEC为直角三角形， ∵∠EDC＜90°，∠ECD＜90°， ∴∠DEC=90°， ∴∠ADE+∠AED=90°， ∵AED+∠CEB=90°， ∴∠AED=∠ECB， ∴△DAE∽△EBC， ∴=，即=， 解得：x=1或4， 即AE=1或4； （3）AE=BE或BE=2AE， 理由：① 当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE， 所以△DEC∽△DAE∽△EBC， ∴=，==， ∴=，即BE=AE； ②当∠DEC≠90°时， 如图，∵AD＜BC， ∴∠CDE=90°， ∵∠DCE≠∠CEB， ∴∠DCE=∠ECB，∠DEC=∠CEB， ∴DE=BE， ∵∠ADE≠∠DEC， ∴∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC， ∴∠AED=∠DEC=∠CEB=60°， ∴==cos60°=， ∴BE=2AE． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质、相似三角形的判定，此类相似三角形不明确的一定要注意分类讨论． 24．（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】直接利用计算器求出三角函数值即可； 【详解】解：（1）原式≈0.23090＋0.30680＝0.5377； （2）原式≈0.84151−0.41421＝0.4273； （3）原式≈8.26355−0.99622≈7.2673； （4）原式≈0.22169−0.25882≈−0.0371． 【点睛】此题主要考查了用计算器求锐角的三角函数值，熟练应用计算器是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $