7.2 正弦、余弦-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 7.2正弦、余弦 “答案与解析”见P44 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·广西)在Rt△ABC中，∠C=90°， 6.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点 AB=7,AC=3,则sinB的值为 ( 上，则sinA的值为 C n A是 C10 10 D26 5 2在R△ABC中，∠C-90,若snA-,则 cosB的值是 A. B号 c n青 B C AH (第6题) (第7题) (第9题) 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 7.易错题如图，在正方形网格中，每个 小正方形的边长均为1，A、B、C、D 垂足为D.若smA=手，则cos∠CD的值 四点都在格点上，AB与CD相交于 为 点P,则cos∠APC的值为 5 c (第3题) 8.在△ABC中，AB=AC三10，cosB=5,则 4.已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则底 BC的长是 () 角的余弦值为 A.4 B.8 C.221D.4√21 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边AC 9.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长 上一点，CD=3,AD=BD=5.求∠A的正 为1，其中有三个格点A、B、C,则sin∠ABC 弦、余弦、正切值. 的值为 10.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点 H,连接BC,BD.若cO∠CDB=号，BD= (第5题) 5,则⊙O的半径为 (第10题) (第11题) 11.如图，直线11∥几2∥3∥L4,相邻两条平行直 线间的距离都是1.若正方形ABCD的四个 顶点分别在四条直线上，则sina的值为 72 第7章锐角三角函数 12.如图，在平面直角坐标系中放入矩形纸片物思维拓展 ABCO,点A、C在坐标轴上.将纸片翻折 15.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是边 后，点B恰好落在x轴上的点B'处，折痕为 CD、DA的中点，连接BN、BM、MN,则 CE.若sin∠0B'C-是，CE=50,则点 sin∠MBN的值为 () E的坐标为 (第15题) 0 B'A (第12题) 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5,两直 A司 R号 C36 5 n号 角边的长a、b是关于x的一元二次方程 16.*在△ABC中，∠A、∠B、∠C所 x2一mx+2m一2=0的两个根，求 对的边分别为a、b、c.若acos B= Rt△ABC中较小锐角的正弦值. bcos A,且关于x的一元二次方程 b(x2-1)+c(x2+1)-2ax=0有两个相等 的实数根，请判断△ABC的形状，并说明 理由 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4,∠ABC的平分线交边AC于点D, 延长BD至点E,使BD=2DE,连接 AE.求： (1)线段CD的长. (2)△ADE的面积. (第14题) 73·S=是xg 2X3x(2-x)= 3x(0x<2) (3):S=4S△x' +。 1 3=王×1X3×1, 即4x2-8x十3=0，解得x1=2, 3 x22 ①当x=合时，BD=2-= 1 ∴.在Rt△BDE中，由勾股定理，得 DE=√BD+BE=②I 3 .DE//A'B', ∴.∠EDC=∠A'=∠A=30° ·易得优=DE=>E 6 ∴.此时⊙E与AC相离. 过点D作DF⊥AC于点F. 3易得Dr=号AF-得 1 41 ·CF-5-53E 44 DF3 .tana-CFg 当x=号时，D=2-- 1 3 ∴在Rt△BDE中，由勾股定理，得 DE=√BD'+BE=1. 同0，得C=DE=令<BE. .此时⊙E与AC相交. 3 同理，易得tana= 4 =5. 4 1 综上所述，当x=2时，⊙E与A'C 相离，tana= 9当=时，0E与 A'C相交，tana=√3. 7.2正弦、余弦 1.B2.C3.5 4吉或6 5.∠C=90°，CD=3,BD=5 ∴.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BC=√BD2-CD=√52-3=4. AD=5, .∴.AC=AD+CD=8. .在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√AC2+BCZ=√82+4= 45」 BC 45 .sin A=AB45 5,cos A= A9=8=25 BC AB4√5 5,tan A AC 41 8=2 6.B 7.B解析：如图，把AB向上平移 1个单位长度得到ED,连接CE,则 DE∥AB.'.∠APC=∠EDC.在 △DCE中，EC=√22+平=5， DC=√42+22=2√5，DE= √J32+4=5,∴.EC+DC2=DE. .△DCE为直角三角形，且 ∠DCE=90°.∴.cos∠APC= cos∠EDC= DC 25 DE 5 A (第7题) 易错警示 不能将待求角正确进行转化 而导致错误 解决这类问题时，往往会出现 难以求得所给角的三角函数值的 情况，究其原因是不能灵活地将所 求角进行转化 8.B 9.9√①45 145 解析：如图，过点A作 AD⊥BC于点D,连接AC.由题意， 得AB=√22+5=√29，BC= 44 √22+4平=2V5.:S△4x=4X5 ×2X5-2×2×4-2×1×4 1 1 9,SaAx=2BC·AD,小2X 25AD=9..AD= 95 51 .sin∠ABC=AD_9I45 AB 145 (第9题)》 10. 25 解析：连接OD.AB是 ⊙O的直径，且经过弦CD的中点H, ∴.AB⊥CD.∴.∠OHD=∠BHD= 90°.在Rt△BDH中， s∠CDB=部=÷，BD=5 .DH=4..在Rt△BDH中，由勾 股定理，得BH=√BD-DH=3. 设OH=x,则OD=OB=x+3. .在Rt△ODH中，由勾股定理，得 OH2+DH2=OD2,即x2+42= 女+3，解得x=.OB=OH于 7 BH6+3装.·⊙0的半径 1.6 5 解析：过点D作EF⊥直线 l1,交直线1，于点E,交直线14于点 F,则∠AED=90°.：EF⊥直线l1, 直线l1∥L2hL,∴.EF与直线l2、 l3、l4都垂直..∠DFC=90°，DE= 1,DF=2..四边形ABCD是正方 形，.∠ADC=90°，AD=DC ∴.∠ADE+∠FDC=90°.又 ∠EAD +∠ADE=90°， .∠EAD=∠FDC.在△ADE和 ∠EAD=∠FDC, △DCF中， ∠AED=∠DFC=90°， AD=DC, .△ADE≌△DCF...AE=DF= 2.∴.在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AD=√DE+AE=√2+2严= _DE 5 5.sina-AD5 12.(15,4)解析：易知∠AOC= ∠BAO=∠B=∠CB'E=90.:在 Rt△B'OC中，sin∠OB'C=B元 OC 设0C=3x(x>0),则BC 3 5.x.∴.由勾股定理，得OB' √BC-OC=4x.易知BC= B'C=OA=5.x,∴.AB=x.易得 △B0C∽△EAB',.OB=OC AE AB' ,即共=52 CB' AE=x=BE:小AE 含，BE=号.在R△BCE 中，由勾股定理，得BC十BE2= CE2,即(5x)2+ (3) (5√10)2，解得x=3或x=-3(不 合题意，舍去).∴.OA=15,AE=4. ∴.点E的坐标为(15,4). 13.,a、b是关于x的一元二次方程 x2一m.x十2m一2=0的两个根， .'.a+b=m,ab=2m-2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得a2十 b2=c2. ,a2+b2=(a+b)2-2ab,c=5, ..a2+b2=(a+b)2-2ab=25,即 m2-2(2m-2)=25,解得m1=7, n2=-3. :a、b是Rt△ABC的两条直角边 的长， .a+b=m>0. .∴.m=7. 当m=7时，原方程为x2-7x十12= 0,解得x1=3,x2=4. 不纺设a=3,则smA=名=号 ∴.Rt△ABC中较小锐角的正弦值 为3 14.(1)过点D作DH⊥AB,垂足 为H. :BD平分∠ABC,∠C=90°， .DH=DC. 设DH=DC=x,则AD=3-x. ∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√AC2+BC=5. :sim∠BAC=HD_BC, AD AB' x一三 4 4 ·3之=行解得x= 3 经检验=专是原分式方程的解，且 符合题意 .CD=3 (2)由题意，得S△4m= AB. DH=X5X-19 3 31 ·BD=2DE, … 2 10、15 S△AnE=3X2=3 15.D解析：如图，过点N作NH1 BM于点H,取MN的中点E,连接 EH.'.在Rt△MNH中，EH= ?MIN=EM,由题意，易知BM目 BN.在等腰三角形BMN和等腰三角 形EMH中，∠BMN=∠EMH. :.易得△BMN∽△EMH.Mm MN 影设AD=2a,则易得BN=BM 5a,MN=√2a..EM= 2a. …鼎爱 MH= 5.在 Rt△MNH中，由勾股定理，得NH MN-MH =35 5 ..在 Rt△BHN中，sSin∠HBN=N BN 3W 5 a 3 5 ,即sin∠MBN= √5a A D (第15题) 45 16.△ABC是等腰直角三角形 理由：方程整理为(b十c)x2一2a.x+ c-b=0. :关于x的一元二次方程有两个相 等的实数根， ..(-2a)2-4(b+c)(c-b)=0. .a2+b2=c2. .△ABC为直角三角形，且 ∠C=90°」 .在Rt△ABC中，cosB=4 COsA=b c '.acos B=bcos A, b c 片a>0,b>0, ∴.a=b. ∴.△ABC为等腰直角三角形 方法归纳 综合运用学科知识解决问题 解答本题时，需要灵活运用一 元二次方程的根的判别式来确定 三角形的基本形状，根据锐角的余 弦值概念将条件进行转化，进而确 定待求三角形的边与边之间的数量 关系，从而判断这个三角形的形状 7.3特殊角的三角函数 1.C2.A3.2 3 4.45 8)原式名+ (2)原式=1+E 31 (3)原式=√6-3. 6.B7.D8.C9. 6-√2 10.3或4解析：当∠EDA=90时， AE=3,∠A=30°，.AD=AE· conAoD 为AC的中点，.AC=2AD=3√5. ∴.在Rt△ABC中，BC=AC· tanA=33tan30°=33×3=3.当 ∠AED=90°时，：AE=3,∠A=