7.1 正切-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

第7章 锐角三角函数 7.1正切 ●“答案与解析”见P42 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC, 6.如图，A、B、C三点在由边长为1的小正方形 则∠B的正切值为 ( 组成的网格的格点上.若将△ACB绕点A按 1 B. 逆时针方向旋转，得到△AC'B',则tanB'的 A.1 D.√3 3 值为 () B A B.3 C.4 D A (第1题) (第2题) 2.∠BAC在正方形网格中的位置如图所示，则 (第6题) (第7题) tan∠BAC的值为 7.如图，在梯形ABCD中，ADBC,AD⊥CD, A品司 :日 c司 n BC=CD=2AD,E是CD上一点，连接AE、 3.tan46°、tan38°、tan79°之间的大小关系是 BE,∠ABE=45°，则tan∠AEB的值为 (用“>”连接). () 4.6个大小相同的小正方形恰好按如图所示 A.3 B.2 D.2 的方式放置在△ABC中，则tanB的值为 8.*如图，在由边长为1的小正方形组 成的网格中，点A、B、C在格点上， 则tan∠BAC的值为 (第4题) 5.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,E D 为边AD上一点，沿CE将△CDE折叠，使 (第8题) (第9题) 点D正好落在边AB上的点F处，求 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CDL tan∠AFE的值. AB于点D,am∠DCB-AC=12,则BC 的长为 10.新考向·跨学科如图，在CD 上的点O处放一面平面镜， D (第5题) 光从点A出发经平面镜反C 射后照射到点B.若入射角 (第10题)} 为α，反射角为B(反射角等于入射角)， 70 第7章锐角三角函数 AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且 A的坐标为（一4,3），则点G的坐标为() AC=3,BD=6,CD=12,则tana的值为 11.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 中，点A、B、C、D、E都在格点上，求 (第13题) tan∠ADC的值. A.(11,-4) B.(10,-3) C.(12,-3) D.(9,-4) 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 30°.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转a (0°<a<90),得到Rt△A'B'C,A'C与AB (第11题》 交于点D,过点D作DE∥A'B',交B'C于 点E,连接BE.易知在旋转过程中，△BDE 为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE 的面积为S (1)当a=30时，求x的值 (2)求S关于x的函数表达式，并写出x的 12.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直 取值范围. 径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的 (3)若以点E为圆心、EB长为半径作⊙E, 延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD, (1)求证：DC=BC. 当S=4 SAABC时，判断⊙E与A'C的位置 (2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值 关系，并求出相应的tana的值， A (第14题) (第12题) 粉思维拓展 13.新考向·学科内综合(2025·自贡) 如图，在平面直角坐标系中，将 △ABO平移，得到△EFG,点E、 P在坐标轴上.若∠八A=90,amB-7,点 7(3)·四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,EA=ED ∴.△AED是等腰直角三角形. ,.易得AD=√2AE △AEGC△ADF, “服号 AG=1, .AF=√2. ∴.GF=AF-AG=√2-1. 典例4如图，过点D作DM⊥AB于 点M,交EH于点N. ·AEBG,AB⊥BG ∴.AE⊥AB. DM⊥AB, ∴.AE//MD∥BG. ∴.AM等于△ADE的边AE上 的高. ,AB⊥BG,EH⊥BG,CD⊥BG, ∴.AB//EH//CD. ,'.易得AE=BH=3米，BM=CD= 1.8米 ,AE∥BG .△ADEO△GDF “部器即品 ∴.AM=3.6米， .AB=AM+BM=3.6+1.8 5.4(米). ∴.路灯主杆AB的高度为5.4米。 典例4图) [变式]如图，过点A作AG⊥DE 于点G,交BC于点F 由题意，得AF=CM=60厘米= 0.6米，AG=EN=30米，BC=24厘 米=0.24米 BC//DE, '.△ABC∽△ADE,△ABFc∽ △ADG. BC AB AF ·DE-AD AG DE=BC·AG AF =12米. '.城墙的高度DE为12米 D B [综合素能提升] 1.A2.A 3.A解析：如图，过点E作EH∥ BC,交AC于点H..△AEHc∽ △ADC,△FEH∽△FBC.∴.EH: DC=AE AD,EF:BF=EH BC.AE-ADEH DC= AE:AD=1:3,AE:ED=1:2. AD是边BC上的中线，.EH: BC=1:6..∴.EF:BF=1:6,即 EF:BE=1:5.:△AEF的面积 为S1,△BED的面积为S2, .S△ABE=5S△A5F=5S1,S△ABE= 1 1 1 2SAM =2 Sa.5S =2 S2. S11 ·50 B D (第3题) 4.6或8解析：由题意，可得BD= √/AB2+AD2=12,∠ABF= ∠FDE=45°.，E是边CD的中点， &CE=DE=CD=×6E 3√2.设BF=x,则DF=12-x. ①当△FDE∽△ABF时，由BA DF 得行-32解得=： 6W2 x 6.经检验，x1=x2=6是原分式方程 的解，且符合题意.②当△EDFC∽ △ABF时，由器既得 x 6万·解得x=8经检验x=8是原 3W2 分式方程的解，且符合题意.综上所 述，BF的长为6或8. 5.5解析：如图，标出各点：四 42 边形BCGH是正方形，.BE∥CF. :四边形CDMN是正方形，∴.CF∥ DM.∴.BE∥DM.∴.△ABEC∽ △ADM熙-0又：DM= 5cm,AB=2cm,AD=2+3+5= 10(cm),∴.BE=1cm..BE∥CF, △ABBACF.器又 BE=1 cm,AB=2 cm,AC=2+ 3=5(cm),∴.CF=之cm ∴.S阴影部粉分=S正方形仪GH一S梯形CFE= 2×(1+）×3= 15 (cm). N 5cm M H3cmG 2 cm F E形 C D (第5题) 6.由题意，得AB=1m,CD=1.5m, AC 4 m,FB GD 1.5 m, ∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°， ∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE. .'∠OAE=∠BAF,∠AOE=∠ABF, ∴.△OAE∽△BAF. ∴器器器照 ..OE=1.50A. 设OA=xm,则OE=1.5.xm. .'∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, '.△GDC△EOC. 品--aAAc,即 GD DCDC 1.5.x 解得=8 经检验，x=8是原分式方程的解，且 符合题意. ∴.OE=1.5×8=12(m). ∴.楼OE的高度为12m. 第7章锐角三角函数 7.1正切 1.C2.D3.tan79°>tan46°> tan38°4.2 5..·四边形ABCD是矩形， .∠D=∠B=90°，CD=AB=10. 由折叠的性质，得CF=CD=10, ∠EFC=∠D=90° .∠AFE+∠BFC=90. ,∠BCF+∠BFC=180° ∠B=90°， ∴.∠AFE=∠BCF. BC=8,CF=10, ∴.在Rt△BFC中，由勾股定理，得 BE=CF2-BC2=6. m∠AFE=m∠F=8- 6.B 7.A解析：如图，过点B作BM∥ CD,交DA的延长线于点M,在DM 的延长线上取一点N,使N=CE, 连接BN,则易知四边形DMBC为正 方形，△MNB≌△CEB. ∴.∠CBM=90°，∠MBN=∠CBE, BC MD BM,BN BE. '.∠NBE=∠MBN+∠MBE= ∠CBE+∠MBE=∠CBM=90° ,∠ABE=45°，∴.∠ABE= ∠ABN=45°.又AB=AB,BE= BN,.△EAB≌△NAB ..∠AEB=∠N,AE=AN. .BC=2AD,BC=MD,∴.MD= AM+AD=2AD.∴.AM=AD.设 EC=MN=x(x>0),AD=a(a> 0),AM=a,BM=2a,DE=2a- x,AE=AN=a+x.在Rt△ADE 中，由勾股定理，得AD2+DE2 AE2,即a2+(2a-x)2=(a+x)2 x=子a.MN=a 2 'tan∠AEB=tanN= 2a3. 34 N M (第7题) 8.1解析：如图，连接BC.AB= BC=/10,AC=25,.∴.AB2+ BC2=AC2.∴.∠ABC=90. '.tan∠BAC BC AB 1. B (第8题) 一方法归纳 根据概念求锐角的正切值 解决这类问题时，往往需根据 正切值的概念，使待求的锐角转化 到直角三角形中，分别求得所在直 角三角形的三边长，再利用锐角的 正切值的概念求得结果」 9910.号 11.根据题意，可得AC=BC=√5， CD=CE=√10，AD=BE=5. ∴.△ACD≌△BCE. ∴.∠ADC=∠BEC .'.tan∠ADC=tan∠BEC= 3 12.(1)连接OC. .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA. .·CE是⊙O的切线， .∠OCE=90° ,AE⊥CE, ∴.∠AEC=90 ∴.∠AEC+∠OCE=180° .∴.OC∥AE ∴.∠OCA=∠CAD. ∴∠CAD=∠BAC. .DC=BC ∴.DC=BC. (2)AB是⊙O的直径， .'.∠ACB=90°. ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AB2-AC=√5-4=3. ,∠ACB=90, .∠B+∠CAB=90°. ,∠CED=90°， .∠DCE+∠CDE=90°， 又.易得∠CDE=∠B, .∠DCE=∠CAB. ∴.tan∠DCE=tan∠CAB= BC3 43 13.B解析：如图，过点A作AH y轴于点H,过点B作BK⊥AH交 HA的延长线于点K,则∠AHO= ∠BKA=90°=∠BAO..∴.∠BAK= ∠AOH=90°-∠HAO.'.△AHO∽ △BKA.K=O OA AK AB :∠BAO=90,tan∠AB0=2, 1 A(-4,3),∴.OH=3,AH=4, OA 1 4 3 1 AB=2·B脉=A派=2 ∴.BK=8,AK=6.将△ABO平 移，得到△EFG,∴.OF=BK=8, OE=AK=6.∴.F(0,-8)、E(6,0). ∴.易得将△ABO先向右平移10个 单位长度，再向下平移3个单位长度 得到△EFG.∴.G(10,一3). (第13题) 14.(1).∠A=a=30°， '.AD=CD,∠BDC=60° 又：∠ACB=90, ∴.∠ABC=∠BCD=60°， ,∴.△BCD为等边三角形 .CD=BD=BC=1. .AD=CD=1. .x=1. (2).在Rt△ABC中，∠A=30°， BC=1, ∴.易得AB=2,AC=√5. 由旋转的性质，可知AC=A'C,BC= B'C,∠ACD=∠BCE. DE//A'B', “贵带 “贯需 “是器 '.△ADCc∽△BEC ∴架瓷即。 :BE=3 BD=2-x,∠DBE=90, ·S=是xg 2X3x(2-x)= 3x(0x<2) (3):S=4S△x' +。 1 3=王×1X3×1, 即4x2-8x十3=0，解得x1=2, 3 x22 ①当x=合时，BD=2-= 1 ∴.在Rt△BDE中，由勾股定理，得 DE=√BD+BE=②I 3 .DE//A'B', ∴.∠EDC=∠A'=∠A=30° ·易得优=DE=>E 6 ∴.此时⊙E与AC相离. 过点D作DF⊥AC于点F. 3易得Dr=号AF-得 1 41 ·CF-5-53E 44 DF3 .tana-CFg 当x=号时，D=2-- 1 3 ∴在Rt△BDE中，由勾股定理，得 DE=√BD'+BE=1. 同0，得C=DE=令<BE. .此时⊙E与AC相交. 3 同理，易得tana= 4 =5. 4 1 综上所述，当x=2时，⊙E与A'C 相离，tana= 9当=时，0E与 A'C相交，tana=√3. 7.2正弦、余弦 1.B2.C3.5 4吉或6 5.∠C=90°，CD=3,BD=5 ∴.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BC=√BD2-CD=√52-3=4. AD=5, .∴.AC=AD+CD=8. .在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√AC2+BCZ=√82+4= 45」 BC 45 .sin A=AB45 5,cos A= A9=8=25 BC AB4√5 5,tan A AC 41 8=2 6.B 7.B解析：如图，把AB向上平移 1个单位长度得到ED,连接CE,则 DE∥AB.'.∠APC=∠EDC.在 △DCE中，EC=√22+平=5， DC=√42+22=2√5，DE= √J32+4=5,∴.EC+DC2=DE. .△DCE为直角三角形，且 ∠DCE=90°.∴.cos∠APC= cos∠EDC= DC 25 DE 5 A (第7题) 易错警示 不能将待求角正确进行转化 而导致错误 解决这类问题时，往往会出现 难以求得所给角的三角函数值的 情况，究其原因是不能灵活地将所 求角进行转化 8.B 9.9√①45 145 解析：如图，过点A作 AD⊥BC于点D,连接AC.由题意， 得AB=√22+5=√29，BC= 44 √22+4平=2V5.:S△4x=4X5 ×2X5-2×2×4-2×1×4 1 1 9,SaAx=2BC·AD,小2X 25AD=9..AD= 95 51 .sin∠ABC=AD_9I45 AB 145 (第9题)》 10. 25 解析：连接OD.AB是 ⊙O的直径，且经过弦CD的中点H, ∴.AB⊥CD.∴.∠OHD=∠BHD= 90°.在Rt△BDH中， s∠CDB=部=÷，BD=5 .DH=4..在Rt△BDH中，由勾 股定理，得BH=√BD-DH=3. 设OH=x,则OD=OB=x+3. .在Rt△ODH中，由勾股定理，得 OH2+DH2=OD2,即x2+42= 女+3，解得x=.OB=OH于 7 BH6+3装.·⊙0的半径 1.6 5 解析：过点D作EF⊥直线 l1,交直线1，于点E,交直线14于点 F,则∠AED=90°.：EF⊥直线l1, 直线l1∥L2hL,∴.EF与直线l2、 l3、l4都垂直..∠DFC=90°，DE= 1,DF=2..四边形ABCD是正方 形，.∠ADC=90°，AD=DC ∴.∠ADE+∠FDC=90°.又 ∠EAD +∠ADE=90°， .∠EAD=∠FDC.在△ADE和 ∠EAD=∠FDC, △DCF中， ∠AED=∠DFC=90°， AD=DC, .△ADE≌△DCF...AE=DF= 2.∴.在Rt△ADE中，由勾股定理，得