7.1 正切 同步练习 2025--2026学年苏科版九年级数学下册

7.1正切 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图在梯形ABCD中，，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为(　　) A． B． C． D． 3．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 4．在中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过P作⊙O的切线PC，切点为C，连接BC．若⊙O的半径为6，，则线段PC的长为（    ） A． B．6 C． D．12 6．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 7．如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 8．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在△ABC中，AC=3，BC＝4，AB＝5,则tanB的值是（    ） A． B． C． D． 11．如图，矩形是由矩形绕点顺时针旋转而得，且点、、在同一条直线上，在中，若，，则对角线旋转所扫过的扇形面积为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 13．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE= ． 14．如图，∠BDC的正切值等于 ． 15．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，则tanA的值为 16．如图，在四边形中，，，，，则 . 17．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为 ． 三、解答题 18．已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点． （1）求证：△ADF≌△ABE； （2）若BE=1，求tan∠AED的值． 19．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝，求tan∠DBC的值． 20．已知等腰三角形中，，．求的值． 21．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、． （1）求证：． （2）若，，求的值． 22．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD． （1）求证：四边形ABEF是正方形；     （2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值． 23．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B， （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长． 24．如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点． (1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 《7.1正切》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D C C A A C A 题号 11 12 答案 A A 1．A 【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取则四边形MDCB为正方形，可证得≌，从而得到，∠MBN=∠CBE，再证得≌可得AN=AE，设 则DM=DC=2a，在中，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取， ∵，AD⊥CD， ∴BM⊥BC，CD⊥BC， ∴∠D=∠NMB=∠C=90°， ∴四边形BCDM是矩形， ∵BC=CD， ∴四边形MDCB为正方形， ∴BM=CD，MD=BC=2AD， ∵BC=CD， ∴BM=BC， ∵∠NMB=∠C=90°，， ∴≌， ，∠MBN=∠CBE， ， ， ， ∵AB=AB， ∴≌ ∴AN=AE，∠AEB=∠BNM， 设 则DM=DC=BM=2a， ∴ ， ． 故选A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答． 2．D 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15， ∴tanA= 故选D 3．A 【分析】利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 4．D 【分析】本题考查求正切值，勾股定理求出的长，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选D． 5．C 【分析】连接OC，根据题意可知，．再由三角形外角的性质和切线的性质可求出，由正切即可求出PC长度． 【详解】如图连接OC， ∵， ∴， ∵OC和OB都为半径， ∴， 又∵， ∴， 根据题意， ∴， ∴， ∴ 故选C．　 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，直角三角形两个锐角的关系以及正切函数．根据题意和连接辅助线求出是解题关键． 6．C 【详解】∵点A(，3)在第一象限， ∴AB=3，OB=t， 又∵tanα==， ∴t=2. 故选C. 7．A 【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，在中，， 故地毯的长度为， 故地毯的面积至少需要（平方米）， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切值是解题的关键. 根据正切的定义解答. 【详解】解：在中， 根据勾股定理得： 则 故选：A ． 9．C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10．A 【详解】试题解析：∵AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠C=90°， ∴tanB=， 故选A. 11．A 【分析】连接，根据正切的定义，得出，进而得出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据旋转的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据扇形的面积公式，计算即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、含角的直角三角形、旋转的性质、扇形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握特殊角的三角形函数值． 12．A 【分析】本题考查网格中的三角函数，过点作，利用正切的定义，求解即可． 【详解】解：过点作，如图， 则：，， ∴； 故选A． 13． 【详解】解：连接PB、PE． ∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B， ∴PB⊥BC，PE⊥OA， ∵BC//OA， ∴B、P、E在一条直线上， ∵A（2，0），B（1，2）， ∴AE=1，BE=2， ∴tan∠ABE==， ∵∠EDF=∠ABE， ∴tan∠FDE=． 14． 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题． 【详解】解：根据圆周角的性质可得：∠BDC＝∠A． ∵tan∠A＝， ∴tan∠BDC=， 故答案为． 【点睛】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，难度适中． 15． 【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答． 【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a， 设a＝x，则c＝3x，b＝．即tanA＝． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理和三角函数，熟悉掌握是解题关键． 16． 【详解】如图，延长、交于点， ∵ ∠，∴ ． ∵ ，∴ ，则． ∵ ，∴ ． 17．4 【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC． ∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝， ∴＝， ∵AB＝8，AG＝GB， ∴AG＝GB＝4， ∵AD＝12， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°， ∴∠FAG＝∠EAD， ∴△FAG∽△EAD， ∴FG：DE＝AF：AE＝1：3， ∵DE＝4， ∴FG＝， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆， ∵GC＝， ∴FC≥GC−FG， ∴FC≥4， ∴CF的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论； （2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE=，ED==5，根据三角形的面积S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE中， ∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE， ∴△ADF≌△ABE； （2）如图，过点A作AH⊥DE于点H， 在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，BE=1， ∴AE=，ED==5， ∵S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，解出AH=1.8， 在Rt△AHE中，EH=2.6， ∴tan∠AED===． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19．tan∠DBC= 【分析】设AE=3x，ED=4x，由勾股定理可知：AD=5x，根据角平分线的性质可知ED=CD=4x，再根据cotA＝ ＝，所以BC=12x，再根据锐角三角函数即可求出答案． 【详解】解：∵cotA＝， ∴设AE＝3x，ED＝4x， ∴由勾股定理可知：AD＝5x， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴ED＝CD＝4x， 在RtABC中 cotA＝ ＝， ∴BC＝12x， ∴tan∠DBC＝ ＝. 故答案为tan∠DBC＝. 【点睛】本题考查锐角三角函数，涉及锐角三角函数，角平分线的性质，勾股定理等知识．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 20． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． 过点作于点，通过等腰三角形的性质“三线合一”求出，根据勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴． 21．（1）见解析1；（2） 【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论； （2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：在中， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∵ ∴ 在中，，. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键． 22．（1）证明见解析（2） 【分析】（1）由矩形的性质得出∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，证出四边形ABEF是矩形，再证明AB=BE，即可得出四边形ABEF是正方形； （2）由正方形的性质得出BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，得出AB∥PH，求出DH=AD-AH=5，在Rt△PHD中，由三角函数即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE， ∵EF⊥AD， ∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD，AF∥BE， ∴∠FAE=∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴四边形ABEF是正方形； （2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示： ∵四边形ABEF是正方形， ∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°， ∴AB∥PH， ∵AB=6， ∴AH=PH=3， ∵AD=8， ∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5， 在Rt△PHD中，∠PHD=90°． ∴tan∠ADP= = ． 23．（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）证明∠DAC+∠BAD=90°，则∠BAC=90°，可得出结论； （2）设EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠DAC=∠B， ∴∠DAC+∠BAD=90°， ∴∠BAC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵∠BCE=∠B， ∴EC=EB，设EC=EB=x， 在Rt△ABC中，，AB=6， ∴AC=3， 在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2， ∴x2=（6-x）2+32 ， 解得x=， ∴CE=． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 24．(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证； （2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解； （3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°， ∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠DEH=∠ABE， ∴△ABE∽△DEH； （2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB， ∴AD=4DH， 设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x， ∴DE=4x-a， ∵△ABE∽△DEH， ∴， ∴，解得：或， ∴或， ∴或； （3）解：∵矩形矩形，， ∴EG=nBE， 如图，当FH=BH时， ∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG， ∴Rt△BEH≌Rt△FGH， ∴EH=GH=， ∴， ∵△ABE∽△DEH， ∴，即， ∴， ∴； 如图，当FH=BF=nBE时， ， ∴， ∵△ABE∽△DEH， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 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