专题特训七 相似三角形中的探究类、新定义问题&数学活动 测量两地间的距离-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训七相似三角形中的挢 类型一相似三角形中的新定义问题 1.自相似图形的定义：若某个图形可 分割为若干个与它都相似的图形， 则称这个图形是自相似图形.例如： 如图①，在正方形ABCD中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接 EG、HF交于点O,易知分割成的四个四边 形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方 形，且与原正方形相似，故正方形是自相似 图形 (1)在如图①所示的正方形ABCD分割成 的四个小正方形中，每个小正方形与原正方 形的相似比为 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°， AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是自相 似图形，他的思路是过点C作CD⊥AB于点 D,则CD将△ABC分割成2个与它相似的 小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则 △ACD与△ABC的相似比为 (3)现有一个矩形ABCD是自相似图形，其 中长AD=a,宽AB=b(a>b): ①如图③，若将矩形ABCD纵向分割成2个 全等矩形ABEF、FECD,且与原矩形都相 似，则a= (用含b的代数式表示) ②如图④，若将矩形ABCD纵向分割成n个 全等矩形，且与原矩形都相似，则a= (用含n、b的代数式表示) (4)现有一个矩形ABCD是自相似图形，其 中长AD=a,宽AB=b(a>b). ①如图⑤，若将矩形ABCD先纵向分割出 2个全等矩形(AB为长)，再将剩余的部分横 向分割成3个全等矩形(DF为长)，且分割 得到的矩形与原矩形都相似，则α三 (用含b的代数式表示). 64 究类、新定义问题，“答案与解析”见39 ②如图⑥，若将矩形ABCD先纵向分割出 m个全等矩形(AB为长)，再将剩余的部分 横向分割成n个全等矩形(DF为长)，且分割 得到的矩形与原矩形都相似，则α= (用含m、n、b的代数式表示). 0 B ① ③ B E n个 ③ ④ G F D F n个 H E Bm个E ⑤ ⑥ (第1题) 类型二相似三角形中的探究类问题 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°， BC=3cm,CD=3BC.动点E以1cm/s的 速度从点A出发，沿着A→B→A的方向运 动，设点E的运动时间为ts(0<t<10),连 接DE.当△BDE是直角三角形时，t的值为 () A.2 B.2或7 C.2或5 D.2或5或7 M D B (第2题)》 (第3题) 3.(2024·宿迁宿城一模)如图，在矩形ABCD 中，AB=5,AD=3,先将△ABC沿AC翻折 到△AB'C处，再将△AB'C沿AB'翻折到 △AB'C'处，延长CD交AC于点M,则DM 的长为 4.新考法·实际操作题(1)如图①，在矩 形ABCD中，M、N分别是BC、AD 的中点，连接MN,把矩形纸片 ABCD沿AE折叠，当点B的对应点B'在 MN的中点时，△EB'M (填“2”或 “”)△B'AN. (2)如图②，在(1)的条件下，当点B的对应 点B'为MN上的任意一点，其他条件不变 时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由， (3)如图③，在矩形ABCD中，AB=4,BC 6,E为BC的中点，P为线段AB上的一个 动点，连接EP,将△BPE沿PE折叠，得到 △B'PE,连接DE、DB',当△EB'D为直角 三角形时，BP的长为 Bc-- ② ③ (第4题) 第6章图形的相似 5.新考法·探究题（2025·镇江模拟) 在综合实践课上，同学们以“矩形的 旋转”为主题开展探究活动.如图 ①，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6.在矩 形AEFG中，AE=4,EF=3,点G在 AB上. (1)如图②，连接AC、AF,猜想AC与AF 之间的位置关系，并说明理由。 (2)将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋 转到如图③所示的位置，连接DG、CF,求 CS的值 (3)将矩形AEFG绕点A旋转，当点G落在 直线CF上时，求线段CF的长. 1 ② ③ (第5题) 65 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 数学活动 测量 1.如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了 一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方 案，先在河的对岸选定一个目标作为点A,再 在河的这一边选定点B、C,使AB⊥BC,然 后选定点D,使DE⊥CD,用视线确定BD 与AE交于点C.此时，测得BC=90米， DC=40米，DE=30米，则河的宽度AB为 米 (第1题) 2.(2025·西安模拟)如图，为了测量平静的河 面的宽度，即EP的长，在离河岸D3.2米远 的点B处，立一根长为1.6米的标杆AB,在 河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆 MF,电线杆的顶端M在河里的倒影为点N, 即PM=PN,两岸均高出水平面0.75米，即 DE=FP=0.75米，经测量此时A、D、N三 点在同一直线上，AN与河面EP交于点O, 并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线， 若AB、DE、MF均垂直于河面EP,则河宽 EP是多少米？ M (第2题) 66 两地间的距离 “答案与解析”见P41 3.如图所示为一条东西走向的笔直公路，点A, B表示公路北侧间隔150m的两棵树所在的 位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在 公路南侧沿直线PQ行走，当他到达点P的 位置时，观察并发现树A恰好挡住电视塔C, 即点P,A,C在同一条直线上，当他继续走 180m到达点Q的位置时，以同样的方法观 察，发现树B也恰好挡住电视塔C.假设公路 两侧AB∥PQ,且公路的宽为60m.求电视 塔C到公路南侧PQ的距离. 北 东 B (第3题)是正方形，.AB=BC,∠ABC 90..∠EAB+∠ABE=∠ABE+ ∠FBC=90°.∴.∠EAB=∠FBC.在 △AEB与△BFC中， 1∠AEB=∠BFC=90°， ∠EAB=∠FBC, ,∴.△AEB≌ AB=BC, △BFC..AE=BF,BE=CF. ,∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG= ∠FBC,∴.△OBG∽△FBC. ∴.设CF=a(a>0),则BF=2a. .'AE 2a,BE a.:A(8-a, 2a)、C(8+2a,a).点A、C在反比 例函数y=点(k>0,x>0)的图像 x 上，∴.2a(8-a)=a(8+2a),解得 a1=2,a2=0(不合题意，舍去). .A(6,4)..k=4×6=24..反比 例函数的表达式为y兰 7.:AB⊥AH,EF⊥AH, .AB∥EF. ∴.△EFH∽△ABH. “需册 招名 ∴.AB=7米. 以AH所在直线为x轴，平行于AB 的直线为y轴，建立如图所示的平面 直角坐标系，设B(m,7),F(m+9, 1.75). ,灯（点B)、树顶D、小明的头顶F 这三个点所在的曲线的形状恰好是某 个双曲线的一支， ∴.7m=1.75(m十9)，解得m=3. .B(3,7). 设双曲线对应的函数表达式为y 兰则=8X7=2L .双曲线对应的函数表达式为 21 yx 设D(,别)，则AC=(n-3)米， cD=24米 ∴.CE=AE-AC=9-(n-3)= (12一n)米 易得CDAB, ∴.△ECD∽△EAB. 荒器 21 à号 71 ..n=9或n=3(不合题意，舍去). .树与路灯相距9一3=6（米）. y↑B 、F 0 C E H (第7题) 专题特训七相似三角形中的 探究类、新定义问题 1.(1)2 2) ,解析：在Rt△ABC中， AC=4,BC=3,根据勾股定理，得 AB=√JAC2+BC=5.,△ACD∽ △ABC,∴.△ACD与△ABC的相似 比为拾-号 (3)①√2b.解析：矩形ABEF∽ 矩形ADCB,.AF:AB=AB: AD,即2a:b=b:a..a=2b(负 值已舍去). ②√nb. (4)①√3b.解析：由题意，可知纵 向的2个矩形全等，横向的3个矩形 也全等，.DN=子b.:DF是矩形 DNMF的长，'.矩形DNMFC∽矩形 ABCD..DF AD=DN AB,B DF:a. 1 AF=a- 1 3a 3a..AG= 2 AF 1 2=2=5a.“AB是矩形 AGHB的长，，'.矩形AGHB∽矩形 ABCD..AG:AB=AB:AD,即 3a·b=b:a.二a=5b(负值包 39 舍去) ②√4。解析：如图，由题意， 可知纵向的m个矩形全等，横向的 n个矩形也全等，DN=6. DF是矩形DNMF的长，∴矩形 DNMF∽矩形ABCD.'.DF: AD=DN:AB,即DF:4=L6: 11 DF-Tu.AF=a- na. 1 AG=AF-a -1 m m mn a. AB是矩形AGHB的长，∴.矩形 AGHB∽矩形ABCD.∴.AG:AB= AB:AD,即”- -a b=b a. 7212 2 .a=n-1 (负值已舍去) AG D M N n个 BHm个E 第1题) 2.D解析：∠C=90°，BC= 3cm,∠B=60°，∴.易得AB=2BC= 6cm.分两种情况讨论：①如图①，当 ∠EDB=90时，BC=3cm,CD= 5BC,“BD=2cm.8∠C=90 ∴.∠EDB=∠C.∠B=∠B, &△BDE△CA器-C.即 g=景E=4mAE AB-BE=6-4=2(cm).当从点A 到点E时，t=2;当从点A到点B再 到点E时，1=6+4=10.0<t< 10,∴.t=2.②如图②，当∠BED= 90时，：∠DEB=∠C=90,∠B= ∠B,.△BED∽△BCA.= 积即华=景&BR=1m 3 ∴.AE=AB-BE=6-1=5(cm).当 从点A到点E时，l=5;当从点A到 点B再到点E时，t=6十1=7.综上 所述，t的值为2或5或7. 4 B C D ① ② (第2题) 3是解析：如图，过点C'作CEL AD,交AD的延长线于点E,CC'交 AE于点F,记CD与AB'交于点G, 易知C、C'、B'三点共线.四边形 ABCD是矩形，.∠CDF= ∠ADC=∠B=90°，CD=AB=5, BC=AD=3,ABCD.∴.∠BAC= ∠DCA.由翻折的性质，可知 ∠BAC=∠B'AC,∠AB'C'= ∠AB'C=∠B=90°.∴.∠B'AC= ∠DCA.∴.GA=GC.由翻折的性质， 可知B'A=BA=5,B'C'=B'C BC=3.∴.B'A=CD.∴.BA-GA= CD-GC,即B'G=DG.设B'G= DG=z..CG=CD-DG=5-x. Rt△B'CG中，根据勾股定理，得 B'G2+B'C2=CG,即x2+32=(5 P,解得=BG=DG= ∴.AG=CG=5-x= 17 5 ,∠DAG=∠B'AF,∠ADG= ∠AB'F=90°，∴.△ADG∽△ABF. “器=品，即品 5 5 BF-CF-C'B'-B'F- 3号-子，r=CB+BF=3十 = .:∠CFD=∠AFB, ∠CDF=∠AB'F=90°，CD=AB', .△CDF≌△AB'F.∴.DF= B'F-S.C'ELAD,CDLAD, .CE∥CD.∴.△C'EF∽△CDF. 1 器晋票华 5-17 EF .C'E= 3 DF+=+景-AE AD+DE=3+8-婴.：C'E/ 17 DM,∴.△ADM∽△AEC'.∴. DM EC 把 DM_3..DM=33: 5 99 17 17 CE B (第3题) 4.(1)cの. (2)(1)中的结论成立. 由题意，易得四边形ABMN是矩形 .∴.∠B=∠EMB'=∠B'NA=90 由折叠的性质，得∠EB'A=∠B 90°. ∴.∠EB'M=90°-∠AB'N= ∠BAN. .'.△EB'Mp△B'AN. 3)号或1.解析：E为C的中 点，∴.BE=CE.四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,∠B=∠C=90°. 如图①，当∠DBE=90时，△EB'D 是直角三角形.由折叠的性质，得 ∠PB'E=∠B=90°，BE=BE, BP=B'P.'.∠DB'P=180°，CE= BE.∴.点P、B、D在同一条直线 上.在Rt△CDE和Rt△B'DE中， (CE=B'E, DE=DE, ·.Rt△CDE≌ RtAB'DE..'B'D=CD=AB=4. 设BP=B'P=x,则AP=4-x, PD=x+4.在Rt△APD中，由勾 股定理，得AP2十AD2=PD2, ∴.(4-x)2十62=(.x十4)2，解得x= 是·即=是如图@当 ∠BED=90时，△EB'D是直角三 角形.过点B作B'H⊥AB于点H, BQ⊥BC于点Q,则∠B'QE= ∠C=90°，易得四边形HBQB为矩 40 形..BQ=B'H,BH=B'Q. :∠B'ED=90°，∠C=90, ∴.∠B'EQ+∠CED=90°，∠EDC+ ∠CED=90°..∴.∠B'FQ=∠EDC. 六△B'pQ∽△EDC..BQ_EQ EC DC 器：CE=BE=子=3，CD 4,.DE=√CE+CD=5.由折叠 的性质，得BP=B'P,B'E=BE=3. 验=婴=是nQ=号， 3 4 FB0长.B'H=0=BE-Q 言，BH=BQ=号.设BP=BP y,则HD=BH-BP=号 y.在 Rt△B'PH中，由勾股定理，得 HP+BH=B'p,(得-)‘+ (侵)=y,解得y=1.即=1.综 上所述，BP的长为或1. B ② (第4题) 5.(1)AC⊥AF. 理由：：四边形ABCD和四边形 AEFG是矩形， ..AG=EF=3,AE=GF=4,AB= CD=8,AD=BC=6,∠B= ∠AGF=90°. “照福 ∴.△AGF∽△CBA. ∴.∠GFA=∠BAC. ∠GFA+∠GAF=90°， ∴.∠BAC+∠GAF=∠CAF=90°. ..AC⊥AF (2)如图①，连接AC、AF」 AB=8,BC=AD=6,∠B=90°， ∴.AC=√AB+BC=√8+6=10. AE=GF=4,AG=EF=3, ∠AGF=90°， .AF=√GF2+AG=√4+3=5. 船把号 易知∠DAC=∠FAG, ∴.∠DAC+∠CAG=∠FAG+ ∠CAG,即∠DAG=∠FAC. ∴.△DAG∽△CAF 器0多 (3)如图②，当点G在线段CF上时， 连接AC. ∠AGC=90°， ∴.CG=V√AC2-AG= √102-32=√9T ∴.CF=CG+GF=√91+4 如图③，当点F在线段CG上时，连 接AC. ,∠AGC=90°， ∴.CG=√AC2-AG=√10-3= √. .CF=CG-GF=√9I-4, 综上所述，C℉的长为√⑨T十4或 √9I-4. ① ③ (第5题) 数学活动测量两地 间的距离 1.67.5 2.延长AB交EP的反向延长线于点 H,则易知四边形BDEH是矩形. .BH=DE=0.75米，EH=BD= 3.2米，BDEH. AB=1.6米， .AH=AB+BH=1.6+0.75= 2.35(米). BD//OH, '.△ABD∽△AHO. “胎带 ∴.HO=4.7米 .PM=PN,MF=4.5米，FP= 0.75米， '.PN=MF+FP=5.25米 AH⊥EP,PN⊥EP, '.AH∥PN .∴.△AHO∽△NPO .AH_Ho NP PO .P0=10.5米 ∴.EP=PO+OE=10.5+(4.7- 3.2)=12(米). .河宽EP是12米 3.过点C作CE⊥PQ,交PQ的延长 线于点E,交AB的延长线于点D. AB//PQ, ∴.CD⊥AB. 设CD=xm,则CE=(x+60)m. .AB//PQ, .'.△ABCC∽△PQC “品铝即千而品解特 x=300. ..x+60=360. ∴.电视塔C到公路南侧PQ的距离 是360m. 第6章整合拔尖 [高频考点突破] 典例176 [变式]4 典例2D [变式](1).·AB=AC, .∠B=∠C. 在△ACE和△ABF中， AC=AB, ∠C=∠B CE=BF, .'.△ACE≌△ABF 41 '.∠CAE=∠BAF (2)由(1)知，△ACE≌△ABF, ..AE=AF. AE2=AQ·AB,AC=AB, “活器腊船 又.∠CAE=∠BAF ∴.△ACE∽△AFQ. 典例3(1)：DC⊥CE, ∴.∠DCE=90. :CD是Rt△ABC斜边AB上的 中线， .DA=DC,∠ACB=90°=∠DCE. ∴.∠A=∠ACD. AC//DE, .∠ACD=∠CDE. ∴.∠A=∠CDE. 又.∠ACB=∠DCE, ∴.△ABC∽△DEC. (2).CD是Rt△ABC斜边AB上 的中线， ∴CD= AB= 在Rt△DCE中，DE= √CD+CE=√42+32=5. △ABC∽△DEC, AC BC AB xD元，即AC=C8 43 5 ,BC=24 ·AC=32 51 ·△ABC的周长=2+24 5 5 [变式](1)，四边形ABCD是正 方形， ∴.AC⊥BD,∠ADF=90°. ∴.∠AEG=∠ADF=90°. :AF平分∠DAC, ∴.∠EAG=∠DAF. ∴.△AEG∽△ADF. (2)△DGF是等腰三角形. 理由：由(1)，得△AEGc∽△ADF. ∴.∠AGE=∠AFD. ∠AGE=∠DGF, ∴.∠DGF=∠AFD,即∠DGF= ∠DFG. .DG=DF. ∴.△DGF是等腰三角形.