6.7 用相似三角形解决问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

÷△0AB△0DE,提-8器-名放B选项正确，不符合 题意：同B选项可知，2-茶=合BC是△OEF的中位 OB OC 1 线，故C选项正确，不符合题意；△ABC与△DEF是以点O 为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∴.S△ABC:SADEF= 1:4,故D选项不正确，符合题意。4.2 3 解析：，△ABC 与△DEF是位似三角形，位似中心为O,AD-号A0,器 号，则△ABC与△DEF的位似比为号. 5.(1)如图，△A OB,即为所求.(2)如图，△A2OB2即为所求.(3)如图， 点Q即为所求，其坐标为（一6,2） 课后拓展 6.A解析：AB与⊙O相切于点B,.OB⊥AB.,将 △OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心，按 定比例缩小得到△BA'B,AB=2√5，A'B=4,.△OAB与 △BAB的相似比为号，则器=厚.由旋转交换的性质可 知，∠A'BB=∠ABO=90°，.A'B'为⊙O的直径.设BB 2x,则OB=√5x.在Rt△A'BB中，由勾股定理得A'B2+ BB2=A'B2,即42+(2x)2=(2√5x)2,解得x=1(负值已舍 去)，.⊙O的半径为W5.7.8解析：，△AOB与△CDB关 于点B位似，.△AOB△CDB.点B(1,1)、D(3,3), ∴.OB=√2+1下=√2，BD=√(3-1)+(3-1)z=2√2， △AOB与△CDB的相似比为1：2，∴.△AOB与△CDB的 面积比为1：4.S△oB=2,.SADB=8.8.(2,2)解析： 如图所示，位似中心的坐标为P(2,2). D O12345x (第8题) (第9题) 9.4解析：如图，连接BG.□ABCD和□EBFG是以点B 为位似中心的位似图形，'，点D、G、B在同一条直线上，EG∥ AD.四边形ABCD是平行四边形，面积为24，∴.△ADB的 面积为12“G∥AD,品器=号，∴品=日， ÷△ADG的面积=12X号-4,10.(a)如图1，△OBC即为 课时提优计划作业本·数 2 所求.(2)如图2，△ODE即为所求.(3)如图3，取格点P、 Q,连接PQ,交AO于点F,则点F即为所求作的点.，△AQF AF_AQ-3. △OPF,OF-OP B 图1 图2 B 图3 6.7用相似三角形解决问题 第1课时用相似三角形解决问题(1) 课堂演练 1.D解析：在同一时刻，阳光下的影子是在同侧的，且不同 物体的物高与影长成比例，D选项符合题意.2.A解析： 如图，作△EFC,树高为CD,且∠ECF=90°，ED=2m,FD= 8m,∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴.∠ECD=∠F, ED CD AEDOOACDF,C-B,即DC=ED·FD=2X8 16,解得CD=4m. B时 A时 E F 3.1.5解析：设AB=xmBE∥AD,△BCE△ACD, 胃6需即aEC:BC-1mDE BC EC 1 1.2 1.8m,EC-1.2mx+1-1.2+1.8x=1.5,AB= 1.5m4.9解析：CD⊥OB,AB⊥OB,.CD∥AB, ∴△0CDn△0AB.÷器-8器：CD=3m,0D=6m, OB=OD+DB=6+12=18(m),.AB=9m.5.8解析： 如图，作EF⊥AB于点F.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF= BD=12m物商与影长的比是2：3，六部=号，则AF 学·九年级下册(SK版) 8 号F=号×12=8(m,故DE-=FB=AB-AF=16-8= 8(m). D (第5题) (第6题) 6(1)如图，线段EF即为所求.(2)由题意可得，号-P, 解得DE=10.答：DE的长为10m 课后拓展 7B解析：由题意知，AB/CD,△ABB∽△CDE,部 C2心CD一16-0.4解得CD=3,水面以上深度CD为 AE.10.4 3m.8.8解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H,交EF 于点P,则CH=DA=20m,CP=l=50cm=0.5m,EF=a= 20um=0.2mPEF/AB,.△CEF∽△CBA,.E=f 即品-5AB=8(m,即铁塔的高度为8m 视线 视点E H 视线 D 9.90解析：.PQQR,PS⊥ST,.∠PQR=∠PST=90° 又：∠P=∠P,△PQR∽△PST,∴器-器设PQ xm,则千5铝解得x=90,河的宽度PQ为90m 10.1.2解析：ED=2m,EC=4m,∴.CD=EC-ED= 4-2=2(m.AE∥BD,△CDBn△CEA,器-黑， :.CA-CECB-4X1.2-2.4(m),:.AB=AC-BC-2.4- CD 2 1.2=1.2(m).答：窗框AB的高度为1.2m.11.(1)G是 半圆形广告牌的最高处，∴CG=2CD.:CD为半圆，半圆直 径为6m,∴⑦=合d=合π×6=3x(m,c=要≈ 4.7(m),.电线杆落在广告牌上的影长约为4.7m(2)如 图，连接OF,过点G作GH⊥AB于点H,则四边形BOGH是 矩形..BC=5m,d=6m,DE=2m,.BH=OG=OF= OC=OD=3 m,GH=BO=BC+OC=5+3=8(m),OE= OD+DE=3十2=5(m)..FE是⊙O的切线，.∴.∠OFE= 90°，.FE=√/OE2-OF2=√/52一32=4(m)..太阳光线是 平行光线，∴.AG∥EF.又.GH∥OE,∴.∠E=∠AGH.又 ∠OFE-=∠AHG=0,△AGH△0ER,∴需-器， ,.AH=6m,.AB=AH+HB=6+3=9(m).答：电线杆的 课时提优计划作业本·数 2 高度为9m. 太阳光 第2课时用相似三角形解决问题(2) 课堂演练 1.D解析：人离路灯越近，影子越短，离路灯越远，影子越 长，故小华的身影先变短后变长.2.B解析：，AB∥CD, △0AB△0CD器罷又：AB=6m,BE=8m, CE=6cm,.∴.CD=4.5cm,即实像CD的高度为4.5cm. 3.18解析：如图，AB∥CD,OM⊥AB,ON⊥CD.'△OAB △0CD,:部-兴又由题意，得OM=20am,ON=60m AB=6cm,∴.CD=18cm, 0-0M------- (第3题) (第4题) 428r解析：如图，：AE/BD∴△CBDn△CAE,贾= 0即6-CB=2mAC=8a,男孩以6m 为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子BC扫过的面积 为π×82一πX62=28π(m).5.12解析：如图，过点P作 PE⊥x轴于点E,交AB于点M.点P(4,4)、A(0,2)、B(6, 2),∴PM=2,PE=4,AB=6.AB∥CD,∴.△PAB △PCD,带路品导CD-12 M C O E 6.(1)如图，线段BC就是小亮在照明灯P照射下的影子， (2)设小亮影子BC的长度为xm.在△CAB和△CPO中， ∠C=∠C,∠ABC=∠POC=90°，∴△CAB∽△CPO, 铝8器即罗3千解得x-2C-2m答：小亮 影子的长度为2m. 学·九年级下册(SK版) 9. 课后拓展 7.B解析：如图，GC⊥BC,AB⊥BC,.GC∥AB, 4D的武金分别点瓷-器-瓷-器 ÷△GC△ABD,品-器设BC-x,则中-A品 :A匹=A,直线BG是△ABD的黄金分割线.【任 ·SADBG SAABD 同理，得器-=即异=品=异解得=3， 务4】证明：如图3，连接BG.·GF∥BE,∴.S△GF=S△F, SABEF=SAGEB,.SAABG=S△ABF,SADEG=S四边形BDEr.:'G是 ∴3中品AB=6(m. ABD的边AD的黄金分制点瓷-品÷ SADEG SAABD SAAF=SmE,∴直线EF是△ABD的黄金 S阳边形DF S△ABD 分割线. J B CD E 8.1.2解析：，AB∥CD,△PAB∽△PCD.设点P到AB 图1 的距离为xm,由于相似三角形对应高的比等于相似比，则 青-号∴x=12,即点P到AB的距离为1.2m920.8 解析：由题意可知，AB∥CD,AE=OB=6cm,AE∥OF, △cMb△c0F,'器号=是，光-子“AB/ 图2 CD,△0A△0CD8-8光=子CD=4AB=4X 5.2=20.8(cm),即像CD的高为20.8cm10.设AM= xm,则MC=(12一x)m,再设路灯的高为hm..AB⊥AC, EF⊥AC,DC⊥AC,'.△FEN∽△BAN,△FEM∽△DCM, 器器器即-3++则 图3 2.(I)设AB=x.:AE=ED=a,矩形EABF∽矩形ABCD, 3叶2解得x-5故8-2员写解得-腊8兰嘉d-2.0=E 3 AB 6.6.答：路灯的高为6.6m11.如图，延长DF交MG于 点Q,则DQ⊥MG,QG=DP=1.5m,DQ=PG=23.6m. 2=2.(2)证明：四边形ABCD是矩形，CD=AB= 2 BCLAP,MG⊥AP,·.BC∥MG,·△ABCD△ANG,Ba,∠A=∠D=90.'EGLBE,·∠BEG=90,∠ABE+ %-怎：BC=15m,AC=1mAG=8mG= ∠AEB=90°，∠AEB+∠DEG=90°，∴.∠ABE=∠DEG, 12m同理可得，△DEF△DMQ,需- .EF= ABBADEG.0'2-品∴DG号a 01m,DF=0.2m,∴MQ=合DQ-号×28.6=1.8(m,号CDG为边CD的中点(3)结论：MN/AC, AC ∴.MN=MQ+QG-NG=11.8+1.5-12=1.3(m).答：旗帜 的宽度MN是1.3m 是理由如下：如图，连接BD交AC于点O.由翻折的性质，得 BM=EM,MN⊥BE,则可设BM=EM=y.在Rt△AME中， 由勾股定理得AM+AE2=EP,即(W2a-y)2+a2=y2,解 得y3。BM=32。:∠aAE=∠D=90,8-恶 G 号.△ABEO△DAC,∠ABE=∠DAC:∠ABE+ 综合与实践 ∠AEB=90°，∠DAC+∠AEB=90°，.∠AOE=90°，.BEL 1.【任务1】问题1：H是边BC的黄金分割点.理由如下：由旋 3w2 转可得，CH=AG,BH=DG,AD=BC.又G为边AD的黄 3 黄AC又MN⊥BE,∴MN∥AC,AC=-2=3 金分翻点…瓷-品·品-認H是边C的黄金分 割点.问题2：不是【任务2】边BC上存在点M,使得直线 GM是四边形ABCD的黄金分割线.如图1，过点G作GM∥ AB交BC于点M,则GM是四边形ABCD的黄金分割线，点 M即为所求的点.【任务3】正确.理由如下：如图2，，G是 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 30-课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 6.7用相似三角形解决问题 第1课时用相似三角形解决问题(1) 课堂演练 1.下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的可能是 B D 2.如图，小明在A时测得某树的影长为8m,在B时又测得该树的影长为2m.若两次日照 的光线互相垂直，则树的高度为 () A.2m B.4m C.6m D.8m B时 A时 D (第2题) (第3题)》 (第4题) (第5题) 3.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB在地面上的影长DE=1.8,窗户下檐到地 面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB= m. 4.如图，小强将长为3的竹竿CD作为测量工具，测量旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹 竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O,此时点O与竹竿的距离DO=6m,竹竿与 旗杆的距离DB=12m,则旗杆AB的高为 m. 5.如图，甲楼AB高16m,乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与 影长的比是2：3.如果两楼之间的距离BD为12m,那么甲楼的影子落在乙楼上的高 DE- m. 6.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下 的影长BC=3m, (I)在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF. (2)在测量AB的影长时，同时测量出EF=6m,计算DE的长. 70》 第6章图形的相似 课后拓展 7.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图，在井口A处立一垂 直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观测井水水面D处，视线BD与井口的直径CA 交于点E.若测得AB=1m,AC=1.6m,AE=0.4m,则水面以上深度CD为() A.4m B.3m C.3.2m D.3.4m B E 视线 视点E 视线 B (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 8.小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F,不断调整站立的位置， 使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A(如图).设小明的手臂长l=50cm,小 尺长a=20cm,点D到铁塔底部的距离AD=20m,则铁塔的高度为 m. 9.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S, 使点P、Q、S在同一条直线上且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线 上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直于PS的直线的交点R.若测得QS=45m, ST=90m,QR=60m,则河的宽度PQ大约为 m. 10.阳光通过窗口照射到教室内，竖直的窗框AB在地面上留下2m长的影子ED(如图). 已知窗框的影子到窗框下墙角的距离EC为4，窗口底边离地面的距离BC为1.2m, 窗框AB的高度为 m 11.街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照 射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G,而半圆形广告牌的影 子刚好落在地面上一点E,已知BC=5m,半圆形的直径为6m,DE=2m. (1)求电线杆落在广告牌上的影长.（即孤CG的长度，精确到0.1m) (2)求电线杆的高度 太阳光 《71 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 第2课时用相似三角形解决问题(2) 课堂演练 1.(教材引例变式)晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长 2.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了 “小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意 图如图所示，光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的 实像CD.若物体AB的高为6cm,小孔O到物体和实像的水 平距离BE、CE分别为8cm、6cm,则实像CD的高度为 A.4 cm B.4.5 cm C.5 cm D.6 cm 3.如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距 离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高 度为 cm R (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，电线杆的顶上有一盏高为6m的路灯，电线杆底部为A,身高1.5m的男孩站在与 点A相距6m的点B处.若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子 BC扫过的面积为 m2. 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点光源位于P(4,4)处，木杆AB两端的坐标分别为 (0,2)、(6,2),则木杆AB在x轴上的影长CD为 6.如图，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直 立在广场上的灯杆，点P表示照明灯」 (1)请在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC. (2)如果灯杆高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮与灯杆的距离BO=13m,求小 亮影子的长度！ 0小亮 72》 第6章图形的相似 课后拓展 7.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1m,继续往前走 3m到达E处时，测得影子EF的长为2m如果王华的身高是1.5m,那么路灯A的高 度AB为 () A.4.5m B.6m C.7.2m D.8m A CD E C (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m, CD=5m,点P到CD的距离是3m,则点P到AB的距离是 m. 9.如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像.已知蜡烛的高 AB=5.2cm,蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB=6cm,该凸透镜的焦距OF= 8cm,AE/∥OF,则像CD的高为 cm. 10.如图，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之 间时，自己右边的影子NE的长为3m,左边的影子ME的长为1.5m,又知小亮的身高 EF为1.8m,两盏路灯之间的距离AC为12m,点A、M、E、N、C在同一条直线上，求 路灯的高 ME N C 11.为了测量旗杆上旗帜的宽度MN,如图，点P、G、C、A在同一水平直线上，MGPA, 小红先在点C处竖立一根标杆BC(BCPA),地面上的点A、标杆顶端B和点N在一 条直线上(N在MG上)，BC=1.5m,AC=1m,AG=8m;然后小明在点P处手持自制 直角三角形纸板DEF(DP⊥PA),使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在 点P时点D、E、M在同一条直线上，其中EF=0.1m,DF=0.2m,DP=1.5m,PG= 23.6m.请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度MN. G 《3