专题特训六 相似三角形与其他知识的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训六相似三角形 类型一相似三角形与等腰三角形的综合 1.易错题△ABC和△DEF是两个等 腰直角三角形，∠A=∠D=90, △DEF的底角顶点E是BC的 中点 (1)如图①，设DE与AB交于点M,EF与 AC交于点N.求证：△BEM∽△CNE, (2)如图②，将△DEF绕点E按顺时针方向 旋转，使得DE与BA的延长线交于点M, EF与AC交于点N,连接MN,除(1)中的一 对相似三角形外，请再找出一对相似三角形 并加以证明， M ① (第1题) 类型二相似三角形与特殊四边形的综合 2.如图，点E在矩形ABCD的边 D AB上，将△ADE沿DE翻 折，点A恰好落在边BC上的 B 点F处.若CD=3BF,BE= (第2题) 4,则AD的长为 ( A.9B.12 C.15D.16 62 与其他知识的综合 》“答案与解析”见P37 3.已知点E、F分别在正方形ABCD的边AD、 AB上，将线段EF绕点E按逆时针方向旋 转90°，得到线段EG,点F的对应点是G,连 接FG. (1)如图①，当点G在边CD上，且DG=2, AF=3时，求EF的长， (2)如图②，若E是AD的中点，EG与CD 交于点H,连接FH,求证：FE平分∠AFH. (3)如图③，若点F和点B重合，EG、FG分 别交CD于点M、N,连接DG.求证：NG= NM·ND: B(E) ② ③ (第3题) 类型三相似三角形与图形变换 4.如图，在△ABC中，∠BAC= 30°，∠ACB=90°，且△ABC∽ B △AB'C,连接CC',将CC沿 C'B'方向平移至EB'的位置， (第4题) 连接BE.若CC'=√6，则BE 的长为 A.1 B.√2C.5 D.2 5.已知A、B两点在直线l的同一侧，线段AO、 BM均是直线L的垂线段，且BM在AO的 右侧，AO=2BM,连接AB,过点B作BP⊥ AB,交直线L于点P,将BM沿直线L向右 平移，在平移的过程中，始终保持 ∠ABP=90°. AB OM (1)如图①，求证：PB一BM (2)如图②，当点P与点O重合时，设C是 AO的中点，连接BC.求证：四边形OCBM 是正方形 (3)若AO=2√6，MO=2PO,求AB和PB 的长 P O O(P)M ① ② (第5题) 类型四相似三角形与函数的综合 6.(2024·上海模拟)如图，正方形 ABCD的顶点B在x轴上，点A、C 在反比例函数y一套（>0>0) 的图像上.若直线BC对应的函数表达式为 )方女一4，则反比例函数的表达式为( ) y (第6题) 2Cy=16D.y= 24 第6章图形的相似 7.新考向·学科内综合（2025·镇江一 模)如图，路灯AB、树CD的底端与 小明的站位点E在同一条直线上， 且AB、CD、EF都垂直于地面AH,垂足分 别为A、C、E.灯（点B)、树顶D、小明的头顶 F这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双 曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的 端点与点E重合，小明的影长EH为3米， 已知小明的身高为1.75米，他与路灯相距 9米.树与路灯相距多少米？ B CE H (第7题) 63在路灯AC下的影长是3.6m C 2 A B E (第8题) 方法归纳 构造相似三角形解决实际问题 解决这类问题时，往往要先根 据实际问题建立恰当的数学模型， 再运用所学的数学知识加以分析」 本题实际上是建立一对或两对相 似三角形，得到相关边的比例关 系，进而列出方程或方程组求解 9.由题意，得OE=CD,AB⊥BO, EO⊥BO,CD⊥OD, .∴.∠ABO=∠EOB=∠CDO=90°. :∠AFB=∠EFO, '.△ABFC∽△EOF “語熙 1_6-4 0死4 .OE=2. .OE=CD=2. ∠AOB=∠COD, .△AOB△COD. .AB_OB CD OD 16 ∴.2-oD .OD=12. ∴.蜡烛的像CD的高度为2，像CD 与凸透镜MN之间的距离为12. 专题特训六相似三角形 与其他知识的综合 1.(1),△ABC是等腰直角三角 形，∠A=90°， .∠B=∠C=45°」 .∴.∠BME+∠MEB=135° 又：△DEF是等腰直角三角形， ∠D=90°， .∠DEF=45. .∴.∠CEN+∠MEB=135°. ∴.∠BME=∠CEN. 又：∠B=∠C=45°， ..△BEMO△CNE. (2)答案不唯一，如△ECN∽ △MEN. 与(I)同理，可证△BEM∽△CNE. “熙袋 又E是BC的中点， ∴BE=EC. S即=≈ 又∠C=∠MEN=45°， ∴.△ECN∽△MEN. ·易错警示 不能灵活运用相似三角形的 性质将对应边的比进行转化 解决这类问题时，往往不能正 确地找出或找全图形中隐含的相 似三角形，究其原因是未将图形中 相等的角或成比例线段进行适当 的转化，构造出新的相似三角形」 2.C解析：四边形ABCD是矩 形，.AD=BC,∠A=∠B=∠C= 90°.由折叠的性质，得AD=DF= BC,∠A=∠DFE =90°. ∴.∠BFE+∠BEF=∠BFE+ ∠CFD=90°.∴.∠BEF=∠CFD. &△BEFn△CFn,部-8器 CD=3BF,∴CF=3BE=12.设 BF=,CD=3x,DF=BC=x+ 12..在Rt△CFD中，CD2+CF2= DF2,∴.(3.x)2+122=(x+12)2,解 得x=3或x=0(不合题意，舍去). .AD=DF=3+12=15. 3.(1)四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠D=90°. .'.∠AEF+∠AFE=90° 将线段EF绕点E按逆时针方向 旋转90°，得到线段EG, ∴.∠FEG=90°，EF=EG. ∴.∠AEF+∠DEG=90°. ∴.∠AFE=∠DEG. 在△AEF和△DGE中， ∠A=∠D, ∠AFE=∠DEG, FE=EG .∴.△AEF≌△DGE .AE=DG=2. ∴.EF=√AF2+AE=√32+22= √13. 37 (2)如图①，延长HE,交BA的延长 线于点Q, ,四边形ABCD是正方形， ,∴.∠QAE=∠BAD=∠D=90°， AB∥CD. ∴.∠Q=∠DHE :E是AD的中点， .AE=DE. 在△AEQ和△DEH中， ∠Q=∠DHE, ∠QAE=∠D. AE-DE, ∴.△AEQ≌△DEH. ∴.EQ=EH. :∠FEG=90°， .FE⊥QH. .FH=FQ. ∴.FE平分∠AFH. (3)如图②，过点G作GH⊥AD,交 AD的延长线于点H .∠H=90° 四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠ADC=90°=∠CDH, AB-AD. ∴.∠H=∠A=90 与(1)同理，可知△ABE≌△HEG. ∴.AB=HE=AD,AE=HG .DH=AE=HG. .∠DGH=∠HDG=45. ∴.∠CDG=45. .EF=EG,∠FEG=90°， '.∠EGF=∠EFG=45. .∠EGF=∠CDG. 又，∠DNG=∠GNM, ∴.△DNG∽△GNM. NG ND ·NMNG ,.NG2=NM·ND. 0 、E D H G B(F) U ① ② (第3题) 4.B解析：连接BB'.,△ABC∽ ABAC △AB'C,·B=AC,∠ACB= ∠AC'B=90°，∠BAC=∠B'AC' 30°..∠BAC+∠CAB ∠B'AC+∠CAB',即∠BAB'= ∠CAC,装-0.：△AB' △CAC'.∴.∠BB'A=∠CC'A, BB_AB=AB.'在R△ABC CCACAC 中，∠BAC=30,∴.易得AB=2BC ∴.由勾股定理，得AC= √AB2-BC=√(2BC)2-BC 5C需-新9B= 25CC'.由平移，得CC'=EB'=6, CC'B'E.∴.BB=2√2，∠CC'B'十 ∠AB'C'+∠BBA+∠BBE=18O .∠CC'B+∠AB'C'+∠CC'A+ ∠BB'E=180°.∴.∠AC'B'+ ∠ABC+∠BB'E=180.,∠ACB'= 90°，∠BAC=30°，.∠ABC' 90°-∠BAC=60°.∴.∠BB'E= 30.∠BBE=∠BAC.又：3 铝装-照△BEB △BCA.∴.∠BEB'=∠BCA=90°. .在Rt△BBE中，BE= √BB-BE=√2. 5.(1)过点B作BD⊥AO于点D. :BD⊥AO,AO⊥PM,BM⊥PM, ∴.易得四边形DBMO是矩形 .BD=OM,∠DBM=90° :∠ABP=∠ABD+∠DBP=90°， ∠DBP+∠PBM=9O°， .∠ABD=∠PBM. 又·∠ADB=∠PMB=90°， ∴.△ABD∽△PBM. “常卿 “常器 (2):C是AO的中点， .AO=2CO. 又AO=2BM, .'CO=BM. .AO⊥OM,BM⊥OM, .AO∥BM. ∴.四边形OCBM是平行四边形. ∠BMO=90, ∴.四边形OCBM是矩形 :在Rt△ABO中，C是AO的中点， ：0C=BC=7A0 '.四边形OCBM是正方形 (3)分两种情况讨论： ①如图①，当点P在点O的左侧时， 过点B作BF⊥AO于点F,记BP与 AO交于点E. 在△PEO和△BEF中，由题意，得 ∠POE=∠BFE=90°，∠PEO= ∠BEF .∴.△PEO∽△BEF “器器 由(1)，可得四边形FBMO是矩形， ∴.BF=MO,OF=BM .M0=2PO, .BF=2PO. “品 .AO=2BM=26, ∴.OF=BM=√6」 ·0E= .FE-2/6 3 3 ,∠A=∠A,∠AFB=∠ABE=90, ∴.△ABFC∽△AEB, “提船 ∴.AB2=AF·AE OF=6 ..AF=AO-OF=6 ·AE=AF+FE=5V6 31 '.AB=√AF·AE=√10 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 EB=VAE-ABT215 3 ,EO⊥PM,BM⊥PM, .EO∥BM. :器微 2 .PB-EB-/15. ②如图②，当点P在点O的右侧时， 过点B作BG⊥OA于点G. ,M0=2PO, .P是OM的中点. 38 设PM=x(x>0),则OM=2x 易得四边形BMOG是矩形， ∴.BG=OM=2x. ,∠AOM=∠ABP=90°， ∴.∠A+∠BPO=180. 又∠BPO+∠BPM=180°， ∴.∠A=∠BPM. 在△ABG和△PBM中， .'∠A=∠BPM,∠AGB= ∠PMB=90°， .'.△ABG∽△PBM. “品器 ·四边形BMOG是矩形，AO= 2BM=2√6 .AG=GO=BM=√6 :二，解得=5（负值舍去. x√6 经检验，x=√3是原分式方程的解，且 符合题意。 ∴.BG=25,PM=5. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得 AB=√AG+BG=3√2. 在Rt△PBM中，由勾股定理，得 PB=√BM2+PM2=3. 综上所述，AB的长为√0，PB的长 为√I5或AB的长为3√2，PB的长 为3. B E ① A ------9B ② (第5题) 6.D解析：过点A作AE⊥x轴于 点E,过点C作CF⊥x轴于点F,直 1 线BC交y轴于点G,在y=2-4 中，令y=0,则x=8:令x=0,则 y=-4,.B(8,0)、G(0,-4). ∴.OB=8,OG=4.四边形ABCD 是正方形，.AB=BC,∠ABC 90..∠EAB+∠ABE=∠ABE+ ∠FBC=90°.∴.∠EAB=∠FBC.在 △AEB与△BFC中， 1∠AEB=∠BFC=90°， ∠EAB=∠FBC, ,∴.△AEB≌ AB=BC, △BFC..AE=BF,BE=CF. ,∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG= ∠FBC,∴.△OBG∽△FBC. ∴.设CF=a(a>0),则BF=2a. .'AE 2a,BE a.:A(8-a, 2a)、C(8+2a,a).点A、C在反比 例函数y=点(k>0,x>0)的图像 x 上，∴.2a(8-a)=a(8+2a),解得 a1=2,a2=0(不合题意，舍去). .A(6,4)..k=4×6=24..反比 例函数的表达式为y兰 7.:AB⊥AH,EF⊥AH, .AB∥EF. ∴.△EFH∽△ABH. “需册 招名 ∴.AB=7米. 以AH所在直线为x轴，平行于AB 的直线为y轴，建立如图所示的平面 直角坐标系，设B(m,7),F(m+9, 1.75). ,灯（点B)、树顶D、小明的头顶F 这三个点所在的曲线的形状恰好是某 个双曲线的一支， ∴.7m=1.75(m十9)，解得m=3. .B(3,7). 设双曲线对应的函数表达式为y 兰则=8X7=2L .双曲线对应的函数表达式为 21 yx 设D(,别)，则AC=(n-3)米， cD=24米 ∴.CE=AE-AC=9-(n-3)= (12一n)米 易得CDAB, ∴.△ECD∽△EAB. 荒器 21 à号 71 ..n=9或n=3(不合题意，舍去). .树与路灯相距9一3=6（米）. y↑B 、F 0 C E H (第7题) 专题特训七相似三角形中的 探究类、新定义问题 1.(1)2 2) ,解析：在Rt△ABC中， AC=4,BC=3,根据勾股定理，得 AB=√JAC2+BC=5.,△ACD∽ △ABC,∴.△ACD与△ABC的相似 比为拾-号 (3)①√2b.解析：矩形ABEF∽ 矩形ADCB,.AF:AB=AB: AD,即2a:b=b:a..a=2b(负 值已舍去). ②√nb. (4)①√3b.解析：由题意，可知纵 向的2个矩形全等，横向的3个矩形 也全等，.DN=子b.:DF是矩形 DNMF的长，'.矩形DNMFC∽矩形 ABCD..DF AD=DN AB,B DF:a. 1 AF=a- 1 3a 3a..AG= 2 AF 1 2=2=5a.“AB是矩形 AGHB的长，，'.矩形AGHB∽矩形 ABCD..AG:AB=AB:AD,即 3a·b=b:a.二a=5b(负值包 39 舍去) ②√4。解析：如图，由题意， 可知纵向的m个矩形全等，横向的 n个矩形也全等，DN=6. DF是矩形DNMF的长，∴矩形 DNMF∽矩形ABCD.'.DF: AD=DN:AB,即DF:4=L6: 11 DF-Tu.AF=a- na. 1 AG=AF-a -1 m m mn a. AB是矩形AGHB的长，∴.矩形 AGHB∽矩形ABCD.∴.AG:AB= AB:AD,即”- -a b=b a. 7212 2 .a=n-1 (负值已舍去) AG D M N n个 BHm个E 第1题) 2.D解析：∠C=90°，BC= 3cm,∠B=60°，∴.易得AB=2BC= 6cm.分两种情况讨论：①如图①，当 ∠EDB=90时，BC=3cm,CD= 5BC,“BD=2cm.8∠C=90 ∴.∠EDB=∠C.∠B=∠B, &△BDE△CA器-C.即 g=景E=4mAE AB-BE=6-4=2(cm).当从点A 到点E时，t=2;当从点A到点B再 到点E时，1=6+4=10.0<t< 10,∴.t=2.②如图②，当∠BED= 90时，：∠DEB=∠C=90,∠B= ∠B,.△BED∽△BCA.= 积即华=景&BR=1m 3 ∴.AE=AB-BE=6-1=5(cm).当 从点A到点E时，l=5;当从点A到 点B再到点E时，t=6十1=7.综上