专题特训四 相似三角形的基本模型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训四相似 类型一平行线型 1.如图，E是□ABCD的边AB的延长线上一 点，DE交BC于点F,则图中的相似三角形 共有 () A.1对B.2对C.3对D.4对 D E 2 B C (第1题) (第2题) 2.如图，AB∥CD,AD、BC相交于点E,F为 CE上一点，连接AF并延长，交CD于点G. 若∠FAE=∠B,则图中相似三角形的对 数是 () A.3 B.4C.5 D.6 3.如图，在□ABCD中，E为CD延长线上的一 点，BE与AC交于点G,与AD交于点F.若 BG=3,FG=2,则EF的长为 (第3题) 类型二相交线型 4.如图，在△ABC中，AF⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别是F、E,连接EF.求证： (1)△BAF∽△BCE. (2)△BEF∽△BCA. (第4题) 48 三角形的基本模型 >“答案与解析”见P28 类型三母子型 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC, 垂足为D.如果BC=10,AC=6,那么AD= B D (第5题) 6.如图，在△ABC中，AD是中线，点E在AD 上，且CE=CD=2,∠BAD=∠ACE, (1)求证：△ABD∽△CAE. (2)求线段AC的长， D (第6题) 类型四变换型 7.如图，如果∠EAD=∠CAB,那么添加下列 一个条件后，仍不能判定△ADE与△ABC 相似的为 () B (第7题) A.∠B=∠D B.∠AED=∠C c船船 AE DE D.AC-BC 8.新考向·学科内综合如图，在△ABC 和△AED中，∠ACB=∠ADE=a, AC=BC,AD=ED. (1)如图①，当a=60°时，连接BE、CD,求 证：△ABE≌△ACD. (2)如图②，当a=90时，BE交CD于点F, 连接AF,求证：BF一AF=√2CF, (3)如图③，当a=90°时，AC=4,D是AC 的中点，将△ADE绕点A旋转得到 △AD1E1,当B、D1、E1三点在同一条直线 上时，直接写出点C到直线D1E1的距离. 备用图 (第8题) 第6章图形的相似 9.*已知△ABC和△ADE是有公共 顶点的等腰直角三角形，且∠BAC= ∠DAE=90°. (1)如图①，连接BE、CD,BE的延长线交 AC于点F,交CD于点P.求证： ①△ABE≌△ACD. ②BP⊥CD (2)如图②，把△ADE绕点A按顺时针方向 旋转，当点D落在AB上时，连接BE、CD, CD的延长线交BE于点P.若BC=6√3， AD=3. ①求证：△BDP∽△CDA. ②求△PDE的面积 (第9题) 490号政 2 解析：分两种情况 讨论：①若等腰三角形的三个内角分 别为∠a、∠3、∠3，则∠a+2∠3= 180°.∠a=2∠3，∴.4∠3=180°， 解得∠3=45°.∴.易得此“倍角三角 形”为等腰直角三角形..易得腰长 与底边长的比值为号®若等膜三角 形的三个内角分别为∠a、∠a、∠B, 则2∠a+∠3=180°.，∠a=2∠3， .5∠3=180°，解得∠3=36°.如图， 在△ABC中，∠ABC=∠C=72°， ∠A=36°.过点B作∠ABC的平分 线，交AC于点D,则∠ABD= ∠CBD=36.∴.∠ABD=∠A. ∴.BD=AD.∠BDC=∠A+ ∠ABD=72°，∴.∠BDC=∠C. .BD=BC..AD=BD=BC.在 △BDC和△ABC中，·∠CBD= ∠A,∠C=∠C,∴.△BDC∽ △Mc·聚-瓷即 C C AC-BC.整理，得AC2-AC·BC BC BC2=0.等式两边同时除以BC2,得 (祭)-瓷-1=0，解得瓷 十1（负值已舍去）.·腰长与底边 2 长的比值为.踪上所述，这个等 腰三角形的腰长与底边长的比值为 号5 B (第10题) 11.OE⊥OB, ∴.∠BOE=90 .∠BOA+∠COE=90°. ∠BAC=90°， ∴.∠BOA+∠ABF=90. .∠ABF=∠COE. AD⊥BC, .∴.∠ADC=90 .∠DAC+∠C=90. ∠BAC=90°， '.∠BAF+∠DAC=90 ∴∠BAF=∠C. ∴.△ABF∽△COE. 12.(1),BD是⊙O的直径， .∠BAD=90. ∴.∠ABD+∠D=90° ∠C=∠D, ∴.∠ABD+∠C=90. BA平分∠FBC, .∴.∠ABF=∠ABC .AB=AC, .∠ABC=∠C .∠ABF=∠C. ∴.∠ABD+∠ABF=90. ∴.∠DBF=90°，即DB⊥BF. 又·BD是⊙O的直径， .BF是⊙O的切线. (2).·AE=4,ED=5, .∴.AD=4+5=9. 由(1)知，∠C=∠D,∠ABC=∠C, ∴.∠ABC=∠D,即∠ABE=∠D. 又∠BAE=∠DAB, .∴.△ABE△ADB. ·铝=福即受=希解得 AB=6(负值已舍去). .AB的长为6. 13.(1)由题意，得 16a+×4+(=0解得 5 = 12’ c=2, c=2. ∴.二次函数的表达式为y= +名+2 (2)由B(4,0)、C(0,2),可得直线BC 对应的函数表达式为y=一2x十2. △ABC为“平稳三角形”， ∴.易得yA=一yC=-2. 令-2=一是2+名x+2,解得x 7 学〔不合题意合去或=-2 .点A的坐标为(-2，一2). ,D是BC的中点， .点D的坐标为(2,1). 由A(-2,-2)、D(2,1),可得直线 AD对应的函数表达式为y= 28 令y=0,得x=号，则点G的坐标 为（号0 10 .BG= 3 ·△BDG的面积=2 XBGXyp= ×9×1 1、10 专题特训四相似 三角形的基本模型 1.C 2.D 解析：AB∥CD, ,'.△ABEc∽△DCE,△ABFC∽△GCF ∠BAE=∠D.:'∠FAE=∠B, .△ABE△DAG..△DAG∽ △IDCE..∠DAG=∠C. ∠AFE=∠CFG,∴.△EAF∽ △GCF.∴.△EAF∽△ABF.∴.题图 中相似三角形的对数是6. 3.2.5解析：，四边形ABCD是平 行四边形，∴.AF∥BC,CE∥AB, AD=BC.'.△AFG∽△CBG. .AF=GF CB GB 2.:AD BC, = .AF= AP,即肥= Af .CE∥AB, EF FD .△DFE∽△AFB..BF=FA 1 EF 1 2BG+GF=2,即 5=2,解 得EF=2.5. 4.(1)AF⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠AFB=∠CEB=90° 又.∠B=∠B .△BAFC∽△BCE (2)·△BAFc∽△BCE, 既受 “熙既 又，∠B=∠B ∴.△BEFc∽△BCA. 24 5. 6.(1).CE=CD, .∠CED=∠CDE .∴.∠BDA=∠AEC. ∠BAD=∠ACE, ∴.△ABD∽△CAE. (2)△ABDP△CAE, .∠ABD=∠CAE,即∠B=∠CAD. :∠ACD=∠BCA, ∴.△ADCD△BAC. “瓷器 在△ABC中，AD是中线， .BC=2CD=4. 4C2 4CA' ∴.AC=2W2(负值已舍去). ∴.线段AC的长为22， 7.D 8.(1)AC BC,AD ED, ∠ACB=∠ADE=60°， ∴.△ABC,△AED都是等边三角形. ∴.∠BAC=∠EAD=60°，AB=AC, AE=AD. ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAD- ∠EAC,即∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中， AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD, ∴.△ABE≌△ACD. (2)如图①，过点C作CH⊥CF,交 BF于点H,则∠FCH=90. :∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC, AD=ED, :易得∠CAB=∠DAB=5,铝 荒 ,'.∠CAB+∠CAE=∠DAE+ ∠CAE,即∠BAE=∠CAD. .'.△BAEc∽△CAD .∠ABE=∠ACD .易得∠BFC=∠BAC=45. 又，∠FCH=90°， ∴.∠CHF=∠CFH=45. .CF=CH,HF=√2CF, ,∠ACB=∠HCF=90°， ∴.∠ACB-∠ACH=∠HCF ∠ACH,即∠BCH=∠ACF. 在△BCH和△ACF中， BC=AC, ∠BCH=∠ACF, CH=CF, .△BCH≌△ACF. .BH=AF. .BF-AF BF-BH HF= 2CF. (3)√7-1或√7+1.解析：分两种 情况讨论：①当点E,在线段BD,上 时，如图②，过点C作BD,的垂线，交 BD1于点M,连接CD1.由题意，得 △ADEc)△ACB,则△AD1E1∽ △4CB,把-指回 AC AC AD.由题意可知，△BAC和△D,AE, A 是等腰直角三角形，∴.∠BAC= ∠D1AE1=45°..∴.∠BAC ∠E1AC=∠D1AE1-∠E1AC,即 ∠BAE1=∠CAD1..'.△AE1BC∽ △AD,C.∴.∠ABE,=∠ACD1, BE=AB=2.:易得∠BD,C CD AC ∠BAC=45..·题图③中AC= BC=4,D是AC的中点，.AB= 42,AD,=D,E,=2AC=2. ∠AD1B=90,.BD1= √AB2-AD=27.∴.BE1= BD1-D1E1=2√7-2.又：易知 CD nE,cM=号m, 2 ∴.CM=2BE,=7-1.②当点D 在线段BE1上时，如图③，过点C作 BD,的垂线，垂足为M,连接CD1.同 理，可得AB=4√2，AD1=D,E,= 2AC=2,:∠AD,B=0,BD, √AB2-AD=2√7..BE,= BD1+D,E,=2√7+2.又易知 D,号E.aM=9 CD...CM- E,-万+1.综上所述，点C到直 29 线D1E,的距离为√7-1或W7+1 ② D M B ③ (第8题) 9.(1)①：∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠EAC=∠DAE- ∠EAC,即∠BAE=∠CAD. 由题意，知AB=AC,AE=AD 在△ABE和△ACD中， AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD, ∴.△ABE≌△ACD. ②.△ABE≌△ACD, ∴∠ABE=∠ACD. :∠AFB=∠PFC, ∴.易得∠BPC=∠BAC=90°，即 BP⊥CD. (2)①在△ABE和△ACD中， (AE-AD, ∠BAE=∠CAD=90°， AB=AC, ∴.△ABE≌△ACD. ∴.∠ABE=∠ACD. :∠BDP=∠CDA, ∴.△BDP∽△CDA. ②由题意，得∠CAB+∠DAE= 90°+90=180°， .E、A、C三点共线」 在△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,BC=6√3， '.易得AB=AC=3√6， AD=AE,AD=3, .AE=3. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD=√JAC2+AD2=37. .△BDPC∽△CDA, ∴.∠BPD=∠CAD=90° ..∠CAD=∠CPE=90 又，∠ACD=∠PCE, ∴.△CADP△CPE. CF,即3 3√6+3 33√6 PECP· .PE= 3√42+3√7 .CP 7 18√7+3√42 7 PD=CP-CD=18F+3√42 7 37=3V2-37 7 Sae=PD·PE=号 32-3W7×3√42+37_45 7 141 方法归纳 解决图形变换问题的一般方法 解决这类图形变换问题时，往 往要从特殊情形入手，研究图形的 相关性质，再根据已有的分析问题 的方法、思路对特殊情形变换后的 图形进行分析，得出问题的结论」 通常情况下，得到的结论与原有结 论也具有特殊与一般的关系，它们 之间具有内在的联系. 专题特训五添加辅助 线构造相似三角形 1.D解析：如图，过点A作AF∥ BC,交BE的延长线于点F品 部4福-带AF=4BD, BD:DC=2:3,∴.BD:BC= 2:5.C=号BD.AE:CR= AF:BC=4:号=8：5. (第1题) 2.B解析：如图，过点C作CF∥ AB,交AD的延长线于点F,∴.∠F= ∠BAE.:D为BC的中点， ∴.∠CAE=∠BAE.∴.∠F= ∠CAE.∴.CF=AC.CF∥AB, .△CEFC∽△BEA.CF:BA= CE:BE..AC:AB=CE:BE= 3:5.设AC=3x,则AB=5x. :∠ACB=90°，∴.AB2-AC= BC2..(5.x)2-(3.x)2=82..x=2 (负值已舍去).∴.AB=5.x=10. C D B (第2题) n 3.1十m1 解析：如图，过点E作 EG∥BC,交BD的反向延长线于点 G.EG∥BC,∴.∠DBC=∠G, ∠DCB=∠DEG.∴.△DBC∽ BC_DC.DC DE= △DGE.GEDE n,:.BC=nGE.AD BC =m, .BC=AD:.AD_ nGE..GE= m m AD.:EG∥BC,BC∥AD,·.EG∥ m AD.'.∠G=∠ADF,∠FEG= ∠FAD..△EGF∽△ADF. AD EF GE mn ·AF-DA=DAm .EF= AF.AE-AF+EF-AF+A mn' mn (1+)AF.AF AE=AF 224 (1+)AF= +m BL G------- (第3题) 4.如图，过点D作DG∥BC,交AE、 AF于点G、H. :D为AC的中点， '.易得DH是△AFC的中位线，DG 是△AEC的中位线. ∴.CF=2DH,DG=2CE. BE=EF=CF, 30 .'BF=2CF=4DH,DG=BE. DG//BC, ÷器0器1 ∴.QB=4DQ,BP=DP. .'PQ=1.5DQ,BP=2.5DQ. .BP:PQ:DQ=5:3:2. B E F (第4题) 5.(1)75:45. (2)过点B作BE∥AD,交AC于 点E. AC⊥AD,BE∥AD, .∴.∠DAC=∠BEA=90 ∠AOD=∠EOB, .'.△EOB△AOD BO EO BE ·.DO-AO DA' BO:OD=1:3, .EO-BE 1 AO DA 3 .A0=35, .EO=√5. ∴.AE=45. ∠ABC=∠ACB=75°， .∠BAC=30°，AB=AC. ∴.AB=2BE 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 AE2+BE2=AB2,即(4V5)2+ BE2=(2BE)2 .BE=4(负值已舍去). ∴.AB=AC=8,AD=12. 在Rt△CAD中，由勾股定理，得 AC2+AD2=CD,即82+122=CD2. '.CD=4√I3(负值已舍去) 6.B解析：过点B作BH⊥EC于点 H.:∠BEC=60,∴.∠EBH= 30°.∴.BE=2EH.∴.BH= √BE-EH=W5EH.BE= 2CD,∴.EH=CD.∠BHF= ∠BDC=90°，∠BFH=∠CFD, BF_BH- .△BFH∽△CFD.·CF=CD