6.7 用相似三角形解决问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

1 函数表达式为y= 5 x一1.联立 1 .1 y=2x+2 解得r=一5：直 1 y=-2. y=5x-1, 线AE与CG的交点坐标是(-5， -2),即位似中心的坐标是（一5， 一2).综上所述，两个正方形的位似中 心的坐标是(1,0)或(-5，一2). 10.(16,8)解析：点A,的坐标 为(1,1)，.OB=1,A1B=1..四边 形A,BB1C1是正方形，.BB,=1, B1C1=1..OB1=2..点C1的坐 标为(2,1).正方形ABB,C1、正 方形A2B,B2C2关于原点O位似， 设-器=令：正方形 A1BB1C,与正方形A2B1B2C2的相 似比为1：2.同理，可得正方形 A1BB1C,与正方形A3B2B3C3的相 似比为1：4..正方形ABB,C1与 正方形A4B3B:C4的相似比为1：8. .点C4的坐标为(2×8,1×8)，即 (16,8). 11.(1)△AOB和△A'OB'是位 似三角形，且相似比是1：3， “08需 点A的坐标是(2,4)， .OB=2,AB=4. 4 21 AB-OB3 .A'B′=12，OB=6. ∴.A'(6,12). ,C是OA'的中点， .C(3,6) ∴.k=3×6=18,即反比例函数的表 达式为y-1 A'B⊥x轴， .ID=TA=6. 4.yn. ∴.点D的坐标为(6,3). (2)A(2,4),B(2,0),C(3,6), D(6,3),A'(6,12),B(6,0), 1 六.S△0AM=2X2X4=4,S△n那= 号×(6-2)X3=6.Sam=7× 6X12=36,S△Am=7×(12-3)X 27 (6-3)=2 .S四边形ABx=S△AOB一S△DB 2725 S20B-Sa4am=36-6-4-2=2 12.(1)四边形GHIJ是正方形. 理由：GJ⊥OA,GH⊥G, HI⊥OA, ∴.∠GJO=∠JGH=∠JIH=90. .∴.四边形GHIJ是矩形 ,四边形CDEF是正方形， '.FC⊥OA,FC=EF. .FC//HI .∴.△OFCc∽△OHI. “器器 同理，可证△OEFC∽△OGH. OF EF OH GH' FC EF GH' 又，FC=EF, .HI=GH. .四边形GHIJ是正方形 (2)如图，正方形MNGH即为所 求作. M 0 C (第12题) 一方法归纳 做好分析，寻找依据，正确画图 解答这类几何作图题时，往往 先对提供的方法加以分析，把握其 画图步骤及方法.本题题千中给出 的思路是先构造正方形，再运用位 似图形的性质构造新的正方形.因 此，(2)中可运用类比的方法作出 两个顶点分别在扇形的半径上，另 两个顶点在扇形内的正方形，进而 画出与这个正方形是位似图形的 符合要求的正方形 35 6.7用相似三角形解决问题 第1课时平行投影 1.A2.1.5 3.AB⊥BF,DO⊥BF, ∴.∠ABF=∠DOF=90°. .∠DEO=∠AEB, .'.△DEO∽△AEB “器儡 品+0丽 1 .AB=1.2(1+OB) :∠CFO=∠AFB, ∴.△CFO∽△AFB. 器器 2+1.23 AB =3+OB1 ∴.AB=0.8(3+OB) .1.2(1+OB)=0.8(3+OB). ..OB=3m. .AB=4.8m. ∴.围墙AB的高为4.8m. 4.C解析：如图，过点C作CE⊥ AB于点E,则四边形BDCE为矩形 ∴.BD=CE=9.6m,BE=CD= 2m根据题意，得号AB .2X9.6=8(m)..AB=AE+ 1 BE=8+2=10(m).∴.旗杆AB的高 度为10m. (第4题) 5.4 解析：CE⊥DF, .∴.∠CED=∠FEC=90° ..∠DCE+∠D=90°.·∠DCF= 90°，∴.∠DCE+∠ECF=90°. .∠D=∠ECP.∴.△EDC∽ △ECF..EF-CE EC DE EF =8 m, DE=2m,∴.CE=4m(负值舍去) '.树的高度CE为4m 6.24 解析：AB∥CD, △ABr△CDr÷器-铝 FO=AB设F0=xcm,则 即O+OECD x十36一0，解得x=24.经检验， x20 24是原分式方程的解，且符合题意. ,.凹透镜的焦距f为24cm. 7.24解析：过点D作DF∥AE,交 AB于点F.设塔影留在坡面DE部 分对应的塔高AF=h,m,塔影留在 平地BD部分对应的塔高BF= h2m,则AB=(h,十h2)m.由题意， 得哈-兰解得，=1“B是 CD的中点，.BD=CD=6m 售-，解得：=96AB 14.4十9.6=24(m)..铁塔AB的高 为24m. 及由题金，相品待号 又DE=8m, .EF=12m. .EG=3 m,HF=1 m, ∴.GH=12-3-1=8(m). .'GM=MH=4 m. 如图，设小桥所在圆的圆心为点O,连 接OM、OG,易得点O、M、N共线. 设小桥所在圆的半径为rm. .MN=2 m, .'.OM=(r-2)m 在Rt△OGM中，由勾股定理，得 OG2=OM2+GM2, .r2=(r-2)2+42,解得r=5. ∴.小桥所在圆的半径为5m. D M HF (第8题) 9.(1)平行. (2)过点E作EM⊥AB于点M,过点 G作GN⊥CD于点N,则易得MB EF=2 m,ND=GH=3 m,ME= BF=10 m,NG=DH=5 m. ∴.AM=AB-MB=8m.由平行投 影的在质，和说-器设CD cm,则品-号3，解得=7 ∴.电线杆的高度为7m. 第2课时中心投影 1.D2.403.2.4 4.如图，作GE的延长线交AB于点 H.由题意知，∠HBP=∠BPG= ∠BHG=90°， .四边形BPGH为矩形 .PG=BH=1.5 m,BP=GH. 设AH=xm,则AB=(x+1.5)m. ∠FEG=∠AHG=90°，∠FGE= ∠AGH, '.△FGEc∽△AGH 器器 EF=0.2m,EG=0.5m, ∴HG-号xm=BP, :∠CDP=∠ABP=90°，∠CPD= ∠APB, '.△CPD△APB. 器邵即 .72=4 +1.55x ,解得 x=20. 经检验，x=20是所列方程的解，且符 合题意 ∴.该雕像的高AB=20十1.5=21.5(m. D (第4题) 5.B解析：由题意，知GC⊥BC, HE⊥BC,AB⊥BC..GC∥HE∥ AB.∴.△GCDc∽△ABD,△HEFc∽ △ABR.·CD=GC,HE_EF BD AB'AB BF 6C=那“品器设C 1 2 xm.'. 2十1x+3+2:解得x=3. 经检验，x=3是原分式方程的解，且 符合题意..BC=3m,BD= BC+CD=4 m.AB=BD.GC CD 36 6m. 6.6 7.如图，由题意，得DN=2.7m, CD=1.8 m,DE=1.8 m,MN= 1.5m,NF=1.5m 'CD∥AB∥MN, ∴.△CDE∽△ABE,△MNFO △ABF」 黑器谣 设AB=xm,BD=ym. 181.81.5 1.5 1.8+y'x 1.5+2.7-y 解得x=3,y=1.2. 经检验，x=3,y=1,2是原分式方程 的解，且符合题意 .AB=3 m. ∴.路灯的高度为3m. E D B (第7题) 8.(1)设AP=QB=xm. PM//BD, .'.△APM∽△ABD APPM 站瑞即+2古解 得x=3. 经检验，x=3是原分式方程的解，且 符合题意， .AP=QB=3 m. ∴.AB=AP+PQ+QB=18m. ∴.两盏路灯之间的距离为18m. (2)画出小华在路灯BD的底部时的 示意图如图所示，此时他在路灯AC 下的影长为BE .·BF∥AC, .△BEFC∽△AEC. ∴器C即配职B芳行 1.61 设BE=ym. 又.AB=18m ,解得y=3.6. 经检验，y=3.6是原分式方程的解， 且符合题意 .BE=3.6m. ∴.当小华走到路灯BD的底部时，他 在路灯AC下的影长是3.6m C 2 A B E (第8题) 方法归纳 构造相似三角形解决实际问题 解决这类问题时，往往要先根 据实际问题建立恰当的数学模型， 再运用所学的数学知识加以分析」 本题实际上是建立一对或两对相 似三角形，得到相关边的比例关 系，进而列出方程或方程组求解 9.由题意，得OE=CD,AB⊥BO, EO⊥BO,CD⊥OD, .∴.∠ABO=∠EOB=∠CDO=90°. :∠AFB=∠EFO, '.△ABFC∽△EOF “語熙 1_6-4 0死4 .OE=2. .OE=CD=2. ∠AOB=∠COD, .△AOB△COD. .AB_OB CD OD 16 ∴.2-oD .OD=12. ∴.蜡烛的像CD的高度为2，像CD 与凸透镜MN之间的距离为12. 专题特训六相似三角形 与其他知识的综合 1.(1),△ABC是等腰直角三角 形，∠A=90°， .∠B=∠C=45°」 .∴.∠BME+∠MEB=135° 又：△DEF是等腰直角三角形， ∠D=90°， .∠DEF=45. .∴.∠CEN+∠MEB=135°. ∴.∠BME=∠CEN. 又：∠B=∠C=45°， ..△BEMO△CNE. (2)答案不唯一，如△ECN∽ △MEN. 与(I)同理，可证△BEM∽△CNE. “熙袋 又E是BC的中点， ∴BE=EC. S即=≈ 又∠C=∠MEN=45°， ∴.△ECN∽△MEN. ·易错警示 不能灵活运用相似三角形的 性质将对应边的比进行转化 解决这类问题时，往往不能正 确地找出或找全图形中隐含的相 似三角形，究其原因是未将图形中 相等的角或成比例线段进行适当 的转化，构造出新的相似三角形」 2.C解析：四边形ABCD是矩 形，.AD=BC,∠A=∠B=∠C= 90°.由折叠的性质，得AD=DF= BC,∠A=∠DFE =90°. ∴.∠BFE+∠BEF=∠BFE+ ∠CFD=90°.∴.∠BEF=∠CFD. &△BEFn△CFn,部-8器 CD=3BF,∴CF=3BE=12.设 BF=,CD=3x,DF=BC=x+ 12..在Rt△CFD中，CD2+CF2= DF2,∴.(3.x)2+122=(x+12)2,解 得x=3或x=0(不合题意，舍去). .AD=DF=3+12=15. 3.(1)四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠D=90°. .'.∠AEF+∠AFE=90° 将线段EF绕点E按逆时针方向 旋转90°，得到线段EG, ∴.∠FEG=90°，EF=EG. ∴.∠AEF+∠DEG=90°. ∴.∠AFE=∠DEG. 在△AEF和△DGE中， ∠A=∠D, ∠AFE=∠DEG, FE=EG .∴.△AEF≌△DGE .AE=DG=2. ∴.EF=√AF2+AE=√32+22= √13. 37 (2)如图①，延长HE,交BA的延长 线于点Q, ,四边形ABCD是正方形， ,∴.∠QAE=∠BAD=∠D=90°， AB∥CD. ∴.∠Q=∠DHE :E是AD的中点， .AE=DE. 在△AEQ和△DEH中， ∠Q=∠DHE, ∠QAE=∠D. AE-DE, ∴.△AEQ≌△DEH. ∴.EQ=EH. :∠FEG=90°， .FE⊥QH. .FH=FQ. ∴.FE平分∠AFH. (3)如图②，过点G作GH⊥AD,交 AD的延长线于点H .∠H=90° 四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠ADC=90°=∠CDH, AB-AD. ∴.∠H=∠A=90 与(1)同理，可知△ABE≌△HEG. ∴.AB=HE=AD,AE=HG .DH=AE=HG. .∠DGH=∠HDG=45. ∴.∠CDG=45. .EF=EG,∠FEG=90°， '.∠EGF=∠EFG=45. .∠EGF=∠CDG. 又，∠DNG=∠GNM, ∴.△DNG∽△GNM. NG ND ·NMNG ,.NG2=NM·ND. 0 、E D H G B(F) U ① ② (第3题) 4.B解析：连接BB'.,△ABC∽ ABAC △AB'C,·B=AC,∠ACB=拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 6.7 用相似三 第1课时 自基础进阶 1.在相同的时刻，阳光下物高与影长成正比.如 果身高为1.5米的人的影长为2.5米，那么 影长为30米的旗杆的高是 () A.18米B.16米C.20米D.15米 2.如图所示为一束平行的光从 教室窗户射入教室的平面示 意图，窗户的高AB在教室地 (第2题) 面上的影长MN=3米，点M到墙角的距离 MC=7米，窗户的下沿到教室地面的距离 BC=2米（点M、N、C在同一直线上），则窗 户的高AB为 米 3.周六，李老师组织同学们来到湿地公园开展 综合实践活动.如图，他们发现公园的一个简 易工具房前有一堵围墙AB,同学们想测量 围墙AB的高度，进行了如下操作：在某一时 刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C 处射进房间落在地面点F处时，测得OF= 3m;过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A 经窗户点D处射进房间落在地面点E处时， 测得OE=1m.此外，还测得窗高CD=1.2m, 窗户距地面的高度OD=1.2m,AB⊥BF, DO⊥BF.求围墙AB的高. A D OE (第3题) 58 角形解决问题 平行投影 “答案与解析”见P35 幻素能攀升 4.如图，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放 置时影长1.2m,在同一时刻旗杆AB的影 子不全落在水平地面上，有一部分落在楼房 的墙上，测得落在地面上的影子的长BD= 9.6m,留在墙上的影子的长CD=2m,则旗 杆AB的高度为 ) A.9m B.9.6mC.10mD.10.2m B时 英A时 C (第4题) (第5题) 5.如图，小明在A时测得某树的影长DE为 2m,在B时又测得该树的影长EF为8m. 若两次太阳光互相垂直，则树的高度CE为 m. 6.如图，测量凹透镜的焦距时，将凹透镜嵌入直 径为AB的圆形挡板中，用一束平行于凹透 镜主光轴的光射向凹透镜，在光屏上形成一 个直径为CD的圆形光斑.测得凹透镜的光 心O到光屏的距离OE=36cm,AB= 20cm,CD=50cm,则凹透镜的焦距f为 cm(f为焦点F到光心O的距离). E (第6题) (第7题) 7.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB, B是CD的中点，CD是水平的，在 阳光的照射下，塔影DE留在坡面 上.已知铁塔底座的宽CD=12m,塔影 DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m, 同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上， 小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影 长分别为2m和1m,则铁塔AB的高为 m. 8.学校数学兴趣小组在周末开展研究性学习， 测算小桥所在圆的半径.他们发现8m高的 旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小 桥在内的路上（如图），此时，身高为1.6m的 小涛，测得自己影子的长为2.4m,同时测得 EG的长为3m,HF的长为1m,测得拱高 (GH的中点到弦GH的距离，即MN的长) 为2m.求小桥所在圆的半径. M (第8题) 第6章图形的相似 思维拓展 9.如图，在一面与地面垂直的围墙的 同侧有一根高10m的旗杆AB和 一根高度未知的电线杆CD,它们都 与地面垂直.为了测得电线杆的高度，一个小 组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳 光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的 长为2m,落在地面上的影子BF的长为 10m,而电线杆落在围墙上的影子GH的长 为3m,落在地面上的影子DH的长为5m. 根据这些数据，该小组的同学计算出了电线 杆的高度. (1)该小组的同学在这里是利用 投 影的有关知识进行计算的 (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算 的过程. 旗杆 电线杆 围墙 G D 地面B H (第9题) 59 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第2课时 自基础进阶 1.如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，在距 电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺 子竖直放置，看到尺子恰好遮住电线杆.若臂 长为60cm,则电线杆的高度为 (第1题) A.2.4mB.24mC.0.6mD.6m 2.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的 图形放大到幕布上.若光源到幻灯片的距离 为20cm,光源到幕布的距离为100cm,且幻 灯片中图形的高度为8cm,则幕布上图形的 高度为 cm. 幕布 幻灯片 光源汝奥 (第2题) (第3题) 3.如图，相邻的两根电线杆都用钢索固定在地 面上，分别固定在另一根电线杆的底端，一根 电线杆的钢索系在离地面4m处，另一根电 线杆的钢索系在离地面6m处，则中间两根钢 索相交处点P离地面的高度为 m. 4.新情境·现实生活我国最大的汉武帝雕像位 于西安市汉城湖公园，该雕像背北朝南，一手 持剑安边，一手樾泽众生，展示了汉武帝胸怀 万里的豪迈气概.一天，小赵和小王带了皮尺 和自制三角尺EG去测量这座雕像的高，已 知三角尺中EF=0.2m,EG=0.5m.如图， 身高1.72m的小赵(CD)站在点D处时他 的影子顶端恰好和雕像影子的顶端P重合， 点A、C、P在同一条直线上，此时测得DP 4m.小王站在点P处，手持三角尺，通过调 整位置，使斜边GF与点A在同一条直线上， 60 中心投影 “答案与解析”见P36 一 条直角边EG平行于水平地面BP,测得 GP=1.5m,AB⊥BP,CD⊥BP,GP⊥BP. 求该雕像的高AB. C àG D (第4题)》 幻素能攀升 5.如图，小华晚上由路灯A下的点B处走到点 C处时，测得影子CD的长为1m,继续往前 走3m到达点E处时，测得影子EF的长为 2m.已知小华的身高是1.5m(GC=HE= 1.5m),则路灯A的高度AB是 () A.4.5m B.6m C.7.2m G B CD EF D.8m (第5题) 6.西周数学家商高用“矩（如图①）”测量物高的 方法为把矩的两边放置在如图②所示的位 置，从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过 点C,记人站立的位置为点B,量出BG的 长，即可算得物高EG.已知CD=60cm, AD=120cm,AB=1.5m,测得BG=9m, 则EG= _m. ① (第6题) 7.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m,他们在 同一盏路灯下的影长分别为1.8m、1.5m. 已知小军、小珠的身高分别为1.8m、1.5m, 求路灯的高度 (第7题) 8.*如图，小华在晚上由路灯AC走向 路灯BD.当他走到点P处时，发现 他身后影子的顶部刚好接触到路灯 AC的底部；当他向前再走12m到达点Q处 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 BD的底部.已知小华的身高是1.6m,两盏 路灯的高度都是9.6m,且AP=QB. (1)求两盏路灯之间的距离. 第6章图形的相似 (2)当小华走到路灯BD的底部时，求他在 路灯AC下的影长. Q (第8题) 思维拓展 9.新考向·跨学科（2024·淮安模拟)》 在初中的物理课中，我们学过凸透 镜的成像规律.MN为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上竖 直放置一支蜡烛AB,透过凸透镜所呈的像 为CD,光路图如图所示，经过焦点的光线 AE,通过凸透镜折射后平行于主光轴，并与 经过凸透镜光心的光线AO汇聚于点C.若 焦距OF=4,物距OB=6,蜡烛的高度AB= 1,求蜡烛的像CD的高度及像CD与凸透镜 MN之间的距离. M 0 E N (第9题) 61