6.7用相似三角形解决问题同步练习2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

用相似三角形解决问题 一、单选题 1.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？” 这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位： 尺)，己知井的截面图为矩形ABCD,设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是() E 5 F D '0.4 5 C A.5=04 B. x 5 x 5 5+x0.4 C.x=04 50.4 5-x5 D. 5+x5 2.如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径AB,亮亮找来一个交 叉卡钳（AC=BD),放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度.若 =O0-,测量符CD=6cm,则细口瓶的内径为AB（ OA OB 15 A. 4cm B.15 C.8cm D.7cm 3.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通 过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图 甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动 力臂0A=150cm,阻力臂0B=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() 答案第1页，共2页 乙 A.80cm B.60cm C.50cm D.40cm 4.跨学科题物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投 影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB, 设AB=36cm,A'B'=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到AB的距离为() B B -30cm>-?cm A.20cm B.18cm C.16cm D.8cm 5,郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等.如图，AB∥CD,小丽测得BD=50 米，DE=15米，CE=18米，则AE的长度为() B A.60米 B.75米 C.78米 D学米 6.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图 1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，AB是蜡烛火焰，CD是其通过小孔O所成 的像，AC与BD交于点O,AB∥CD.若点O到AB的距离为5cm,点O到CD的距离为 10cm,蜡烛火焰AB的高度是4cm,则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是() 答案第1页，共2页 图1 图2 A.4.8cm B.6cm C.7.2cm D.8cm 7.如图，点B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1，若直尺宽BD=1cm,则AB的长 为() D jmumjmmpmp 3 5 14 1 12 mhwwh B C A.1.5cm 1 B.1cm C.0.5cm D.cm 8.如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高 工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把 它形象的称为“人字梯”.如图②，是其工作示意图：AB=AC.拉杆EF∥BC, AE=}AB,EF=0.7米，则两梯杆跨度B、C之间距离为() 图① 图② A.2米 B.2.1米 C.2.5米 9.“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安 放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令BG=xm,EG= ym,若a=10cm,b=20cm,AB=1.55m,则y关于x的函数解析式为() 答案第1页，共2页 锤 b G 图1 图2 A.y=2x-3.1 B.y=2x+3.1 C.y=0.5x+1.55 D.y=0.5x-1.55 10.如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子 中看到旗杆的顶端的地方.已知小明的眼睛离地面高度为1.5m,量得小明与镜子的水平距 离为2m,小明与旗杆的水平距离为14m,则旗杆高度为() mmmmmmmmmm A.7.5m B.8m C.9m D.10.5m 二、填空题 11.如图是某小区门口的道闸示意图，当有车辆经过时，道闸AB绕点0旋转使点A端缓慢 抬起，已知AO:BO=6:1,且AC表示点A抬起的竖直距离，BD表示点B下降的竖直距离， 则当点B下降的竖直距离为0.8m时，点A抬起的竖直距离为m· D B 12.如图，小树AB在路灯O的照射下形成的投影为BC.若树高AB=2m,树影BC=3m, 树与路灯的水平距离BP=4.5m.则路灯的高度OP为m. 答案第1页，共2页 路灯 D B 13.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm,台阶部 分铺红地毯，地毯长度为140cm,支撑钢梁DE⊥AC,且D为BC的中点，则钢梁DE的长 为」 舞台 台阶 B D 14.如图，九年级(1)班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆 AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E,当观测到旗杆顶端在镜子中的像 与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼晴到地面的高度CD为1.6m,观测员到标记E的距 离CE为2m,旗杆底部到标记E的距离AE为16m,，则旗杆AB的高度约是。 B D C A 15.小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和 正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的 这棵大树，则该城堡的边长为步， 大树 北门 西门 答案第1页，共2页 16.小明用两根小木棍AC,BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O ,OA=OB,OC=OD,OB=3OD.现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD=3cm,则该锥 形瓶底部的内径AB的长为cm。 三、解答题 17.在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）.如图2，点A为左眼， 点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物 (CD∥AB),目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的 大致距离。 已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右.若CD的估测长 度为40米，那么C0的大致距离为多少米. O 图1 图2 答案第1页，共2页 18.如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方 案，先在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然 后选定点D,使DE1CD,用视线确定BD与AE交于点C.此时，测得BC=90米， DC=40米，DE=30米，求河的宽度AB, 19.某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区.李伟想通过 已经掌握的知识求出家里窗户的高度，于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照 射到地面上留下2.7m宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,整个窗口高度 AB=1.8m,请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高BC的长度. 答案第1页，共2页 A 1.8m 不 2.7m← 20.如图，一棵树AB)的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长(BE) 为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树 干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况） B 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 用相似三角形解决问题 一、单选题 1．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 3．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．跨学科题  物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ）    A． B． C． D． 5．郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等．如图，，小丽测得50米，米，米，则的长度为（   ） A．60米 B．75米 C．78米 D．米 6．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 8．如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 9．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 10．如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图是某小区门口的道闸示意图，当有车辆经过时，道闸绕点旋转使点端缓慢抬起，已知，且表示点抬起的竖直距离，表示点下降的竖直距离，则当点下降的竖直距离为时，点抬起的竖直距离为 ． 12．如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 ． 13．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 14．如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 15．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 16．小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 三、解答题 17．在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 18．如图，某段河流的两岸是平行的，笑笑想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，先在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后选定点，使，用视线确定与交于点．此时，测得米，米，米，求河的宽度． 19．某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离，整个窗口高度，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高的长度． 20．如图，一棵树的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C D A B C C 1．D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据，结合，证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 3．B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 4．A 【分析】此题考查相似三角形的应用．设小孔O到的距离为，根据题意可得，利用相似的性质即可得到答案． 【详解】解：设小孔O到的距离为， 由题意可得， ∴， 解得． 故选：A 5．C 【分析】本题考查了三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及性质定理，证明出三角形相似，利用三角形相似建立等式进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，过点作，过点作，可得：，根据对顶角相等可得：，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：，的长度即为点抬起的竖直距离为． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， 解得：， 点抬起的竖直距离为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13．/24厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度约是． 故答案为：． 15． 【分析】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【详解】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 16．9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据证明，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】∵， ∴， 又 又 故答案为：9． 17．400米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，利用平行关系判定相似三角形，再结合相似三角形的对应边成比例是解题关键．由可证得，进而通过相似三角形的比例关系建立等式，求解的长度． 【详解】解：厘米米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：的大致距离为米． 18．河的宽度为67.5米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明即可解答，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 答：河的宽度为67.5米． 19． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，需要注意太阳光是平行光线． 根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可． 【详解】解：光线是平行的，即， ∴， ∴， ∴ ∴． 20．2.1米 【分析】本题考查了平行投影，在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度． 【详解】解：设小明在同一时刻在水平地面上形成的影长为米， 则， 解得， 经检验，是原方程的根.， ， 答：小明最多可以离开树干2.1米才可以不被阳光晒到． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $