6.6 图形的位似-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 6.6 图形的位似 >“答案与解析”见P34 白基础进阶 (1)若点F的坐标为(4.5,3)，请直接写出 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 点C和点A的坐标， 与四边形A'B'CD'是位似图形，位似中心为 (2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的 点O.若点A(3,9)的对应点为A'(1,3),四 坐标 边形ABCD的周长为27，则四边形A'B'C'D 的周长为 A.9 B.6 C.4 D.3 OA B (第5题) (第1题) (第2题) 2.如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，线段 闺素能攀升 AB与线段CD是位似图形，且位似中心为点 6.如图，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图 O.点A、D的坐标分别为（一6,4）、(3,0)，则 形，点P是位似中心.若点B、F的坐标分别 点C的纵坐标为 ( ) 为(4,3)、（一2,1），则点P的坐标为 A.-3B.-2C.-1.5D.-1 3.在如图所示的正方形网格中，以点O为位似 A(o)Bo.1)C(o,)D.(o.) 中心，作△ABC的位似图形.若D是点C的 对应点，则点A的对应点是 (第6题) (第7题) 7.如图，在平面直角坐标系中，以点P(0,一1) 为位似中心，在y轴的右侧作△ABP放大 (第3题) (第4题) 2倍后的位似图形△DCP.若点B的坐标为 4.如图，正方形ABCD的边长为4，以其对角线 (一2，一4)，则点B的对应点C的坐标为 的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'CD' 若A'B′：AB=2:1,则四边形A'BCD的 A.(4,5)B.(4,6)C.(2,4)D.(2,6) 外接圆半径为 8.如图，△ABC和△A'BC 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 是以点C为位似中心的位 B 与正方形BEFG是以原点O为位似中心的 似图形，点A(-1.4,1.5) 位似图形，且相似比为1：3，点A、B、E在 的对应点为A'(一0.2， x轴上 -3),点C的坐标为（一1， (第8题) 56 第6章图形的相似 0).若点B的对应点B'的横坐标为3，则点 世思维拓展 B的横坐标为 12.★数学课上，老师要求同学们在扇 9.如图，在正方形ABCD和正方形 形纸片AOB上画出一个正方形， OEFG中，BC、OE、OG在坐标轴 使得正方形的四个顶点分别落在 上，点A和点F的坐标分别为(3， 扇形的半径OA、OB和AB上.其中一部分 2)、(一1，一1)，则两个正方形的位似中心的 同学的画法如下：如图①，先在扇形AOB内 坐标是 画出正方形CDEF,使得点C、D在OA上， 点F在OB上，连接OE并延长，交AB于 E O 点G,过点G作GJ⊥OA于点J,GH⊥ B C GJ,交OB于点H,过点H作HI⊥OA于 OBB B2 (第9题) (第10题 点I 10.如图，在平面直角坐标系中，正方 (1)图①中的四边形GHIJ是正方形吗？ 形A1BB1C1、正方形A2B1B2C2、 请说明理由， 正方形A3B,B3C3关于原点O位 (2)还有一部分同学采用了不同于图①的 似，其中点B、B、B2、B3都在x轴上，点 画法，请你参照图①，在如图②所示的扇形 C1在A2B1上，点C2在A3B2上.依此方 中画出这个正方形（保留作图痕迹，不写作 式，继续作正方形AB3B4C4,若点A1的坐 法，不要求证明)： 标为(1,1)，则点C4的坐标为 B 11.新考向·学科内综合如图，AB和A'B′与 x轴垂直，点A的坐标是(2,4)，△AOB和 △A'OB是位似三角形，且相似比是1：3， ① ② C是O4的中点，反比例函数y=冬(x>0) (第12题) 的图像经过点C,与AB交于点D (1)求点D的坐标 (2)连接BD、CD,求四边形ABDC的面积 B (第11题) 57BC=120,AD =80,AE=AD- DE=80-PQ, 00 80 PQ=80-3 26 ∴.S形ON=PN·PQ=b(80 号o)=号6-60r+240. ∴.当b=60时，SE形poN取得最 大值. PV=60,PQ-80-号×60=40 .矩形PQMN的周长为2×(60+ 40)=200. (3)720.解析：如图①，延长BA、 DE交于点F,延长BC、ED交于 点G,延长AE、CD交于点H,分别取 BF、FG的中点I、K,连接IK,过 点K作KL⊥BC于点L.由题意，知 四边形ABCH是矩形，∴.AH=BC, AB=HC..AB=32,BC=40, AE=20,CD=16,.EH=AH- AE=20,HD=CH-CD=16. ∴AE=EH,CD=DH.在矩形 ABCH中，∠BAH=∠DHE=90°， .∠FAE=∠DHE=90°.在△AEF I∠FAE=∠DHE, 和△HED中， AE-HE, ∠AEF=∠HED, ,.△AEF2△HED.'.AF=HD= 16.同理，可得△CDG≌△HDE. 0G=HE=0.1=(AB+ AF)=24,BL.=1K=合(BC十 CG)=30.:24<32,30<40,∴.中位 线IK的两端点分别在线段AB和 DE上.由(2)，可知剪出的面积最大 的矩形为矩形BLKI,最大面积为 24×30=720. (4)14583.解析：如图②，延长 BA,CD交于点E,过点E作EH⊥ BC于点H.∠B=∠C=60°， ∴EB=EC,∠BEC=60°.EH⊥ BC,∴.BH=HC,∠HEC=3O°. .BC =108 cm,.'BH=CH= 54cm..易得EH=54W5cm,EB= EC=108 cm..'AB=70 cm,.'BE 的中点Q在线段AB上.：CD= 76cm,∴.CE的中点P在线段CD 上.∴.中位线QP的两端点分别在线 段AB、CD上.由(2)，可知矩形 PQMN的最大面积为2BC· 1 2E明2X108X2X543宇 1458√3(cm2). B MH N C ② (第12题) 6.6图形的位似 1.A2.B3.H4.4√2 5.(1)点C的坐标为(1.5,1)，点A 的坐标为(0.5,0). (2):正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位 似图形，且相似比为1：3， ÷器号 .EF=6, .BC=2 四边形BEFG是正方形 .∴.BG∥EF ∴.△OBCC∽△OEF 器紧号 OB 1 OB+63 .OB=3. ∴.点C的坐标为(3,2). 6.D7.A 8.一3解析：如图，过点A作AM⊥ x轴于点M,过点A'作A'N⊥x轴于 34 点N,则AM∥A'N..△ACM △ACN.:=A怨：点 A(-1.4,1.5)的对应点为A(-0.2, -3),点C的坐标为（一1,0）， 瓷=号=△Asc和 △A'B'C的相似比为1：2.过点B作 BELx轴于点E,过点B作BF⊥ x轴于点F,则BE∥B'F ÷△CE△BrCR.器是 点C的坐标为（一1,0），点B的横 坐标为3，.CF=4.:△ABC和 △AB'C的相似比为1：2，即BC BC- 号华日解得CR=2点B 的横坐标为一3. B✉ CNO A (第8题) 9.(1,0)或(-5，-2)解析：在正方 形ABCD和正方形OEFG中， A(3,2)、F(-1,-1),.E(-1, 0)、G(0,-1)、D(5,2)、B(3,0)、C(5, 0).①当E和C是对应顶点，G和A 是对应顶点时，位似中心就是直线 EC与AG的交点.设直线AG对应的 函数表达式为y=x十b(k≠0). 3k+b=2, b=-1 解得 k=1,.直线 b=-1. AG对应的函数表达式为y=x一1. 令y=0,则x=1.∴.与直线EC的交 点坐标是(1,0)，即位似中心的坐标是 (1,0).②当A和E是对应顶点，C 和G是对应顶点时，位似中心就是直 线AE与CG的交点.设直线AE对 应的函数表达式为y=mx十n(m≠ 1 3m+n=2, m2 0).. 解得 -m+n=0, 1 n21 ∴.直线AE对应的函数表达式为y= 合x十宁同理，可得直线CG对应的 1 函数表达式为y= 5 x一1.联立 1 .1 y=2x+2 解得r=一5：直 1 y=-2. y=5x-1, 线AE与CG的交点坐标是(-5， -2),即位似中心的坐标是（一5， 一2).综上所述，两个正方形的位似中 心的坐标是(1,0)或(-5，一2). 10.(16,8)解析：点A,的坐标 为(1,1)，.OB=1,A1B=1..四边 形A,BB1C1是正方形，.BB,=1, B1C1=1..OB1=2..点C1的坐 标为(2,1).正方形ABB,C1、正 方形A2B,B2C2关于原点O位似， 设-器=令：正方形 A1BB1C,与正方形A2B1B2C2的相 似比为1：2.同理，可得正方形 A1BB1C,与正方形A3B2B3C3的相 似比为1：4..正方形ABB,C1与 正方形A4B3B:C4的相似比为1：8. .点C4的坐标为(2×8,1×8)，即 (16,8). 11.(1)△AOB和△A'OB'是位 似三角形，且相似比是1：3， “08需 点A的坐标是(2,4)， .OB=2,AB=4. 4 21 AB-OB3 .A'B′=12，OB=6. ∴.A'(6,12). ,C是OA'的中点， .C(3,6) ∴.k=3×6=18,即反比例函数的表 达式为y-1 A'B⊥x轴， .ID=TA=6. 4.yn. ∴.点D的坐标为(6,3). (2)A(2,4),B(2,0),C(3,6), D(6,3),A'(6,12),B(6,0), 1 六.S△0AM=2X2X4=4,S△n那= 号×(6-2)X3=6.Sam=7× 6X12=36,S△Am=7×(12-3)X 27 (6-3)=2 .S四边形ABx=S△AOB一S△DB 2725 S20B-Sa4am=36-6-4-2=2 12.(1)四边形GHIJ是正方形. 理由：GJ⊥OA,GH⊥G, HI⊥OA, ∴.∠GJO=∠JGH=∠JIH=90. .∴.四边形GHIJ是矩形 ,四边形CDEF是正方形， '.FC⊥OA,FC=EF. .FC//HI .∴.△OFCc∽△OHI. “器器 同理，可证△OEFC∽△OGH. OF EF OH GH' FC EF GH' 又，FC=EF, .HI=GH. .四边形GHIJ是正方形 (2)如图，正方形MNGH即为所 求作. M 0 C (第12题) 一方法归纳 做好分析，寻找依据，正确画图 解答这类几何作图题时，往往 先对提供的方法加以分析，把握其 画图步骤及方法.本题题千中给出 的思路是先构造正方形，再运用位 似图形的性质构造新的正方形.因 此，(2)中可运用类比的方法作出 两个顶点分别在扇形的半径上，另 两个顶点在扇形内的正方形，进而 画出与这个正方形是位似图形的 符合要求的正方形 35 6.7用相似三角形解决问题 第1课时平行投影 1.A2.1.5 3.AB⊥BF,DO⊥BF, ∴.∠ABF=∠DOF=90°. .∠DEO=∠AEB, .'.△DEO∽△AEB “器儡 品+0丽 1 .AB=1.2(1+OB) :∠CFO=∠AFB, ∴.△CFO∽△AFB. 器器 2+1.23 AB =3+OB1 ∴.AB=0.8(3+OB) .1.2(1+OB)=0.8(3+OB). ..OB=3m. .AB=4.8m. ∴.围墙AB的高为4.8m. 4.C解析：如图，过点C作CE⊥ AB于点E,则四边形BDCE为矩形 ∴.BD=CE=9.6m,BE=CD= 2m根据题意，得号AB .2X9.6=8(m)..AB=AE+ 1 BE=8+2=10(m).∴.旗杆AB的高 度为10m. (第4题) 5.4 解析：CE⊥DF, .∴.∠CED=∠FEC=90° ..∠DCE+∠D=90°.·∠DCF= 90°，∴.∠DCE+∠ECF=90°. .∠D=∠ECP.∴.△EDC∽ △ECF..EF-CE EC DE EF =8 m, DE=2m,∴.CE=4m(负值舍去) '.树的高度CE为4m 6.24 解析：AB∥CD, △ABr△CDr÷器-铝