6.5 相似三角形的性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

EH-5. EH 7.B解析：.2BE=3CE,BC=5, .BE=3,CE=2.如图，过点C作 CH⊥AB于点H.AB∥DC, ∠D=90°，..∠D=∠DAB= ∠CHA=90°.∴.四边形AHCD是矩 形..AH=CD=7.AB=10, ∴.BH=3.∴.CH=√BC2-BH 4.过点E作EF⊥AD于点F,交CH 于点M,∴.易得EF∥AB,FM= D=别器-兰 3 5 EM-5.EF-FM+EM-7+ g号：GLX,∠BRG 5 ∠BAG=90°..易得∠B=∠G.又 ,∠GFE=∠BHC=90°，∴.△GFEC∽ 41 EF EG △BHC.·C7FCB∴.45 .4 D M G (第7题) 8 解析：如图，设EF交AG于 点M,过点F作FH⊥AD于点H,则 ∠FHE=∠FHA=90°.，四边形 ABCD是矩形，∴.∠B=∠BAH= ∠D=90°.∴.四边形ABFH是矩形 ∴.FH=AB=8.由折叠，得点A'与 点A关于直线EF对称，'.EF垂直 平分AA'..∠AME=90. ∴∠EFH=∠GAD=90°-∠AEF. 又，∠FHE=∠D=90, :△FHEAADG.需思 AH D B' (第8题) 9.(1)如图①，连接CD. ,D是AB边的中点， .'AD=BD ,∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠B=45°，CD⊥AB, ∠FCD= 2 ∠ACB=45°，AB=√2BC ∴.∠ADE+∠EDC=90,CD=AD, HC. .DE⊥FD, ∴.∠CDF+∠EDC=90. ∴.∠ADE=∠CDF. 在△ADE和△CDF中， I∠ADE=∠CDF, DA=DC, ∠DAE=∠DCF=45°， .∴.△ADE≌△CDF .AE=CF AE+F-F+F-C号AB (2)如图②，过点D作DN⊥AC于点 N,DH⊥BC于点H. ∠C=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠B=45. DN⊥AC,DH⊥BC, ∴.△ADN和△BDH是等腰直角三 角形. .AN DN,DH BH,AD- 2AN,BD=√2BH,∠A=∠B= 45°=∠ADN=∠BDH. .'.△ADNc∽△BDH. ÷品船器2 设AN=DN=x,则BH=DH=2x, AD=√2x,BD=2√2x」 .AB=3V2. .·DN⊥AC,DH⊥BC,∠ACB=90°， .四边形DHCN是矩形. ∴.∠NDH=90°=∠EDF. ∴.∠EDN=∠FDH=90°-∠EDH. 又，∠END=∠FHD=90°， ∴.△EDN∽△FDH. …别x .FH=2NE. :AE+?BF=x+NE+之(2x- 31 FH=2号AB, (3)当点F在射线BC上时，AE+ √2 BF=AB:当点F在CB的延 长线上时，AE-即气AB 7 D ① C E 0 B ② (第9题) 6.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形的 周长比和面积比 1.B2.A3.(1)150(2)16 4.63 5.(1)在Rt△ABC中，AB= 25,AC=2√2，∠ACB=90°， ∴.BC=V√AB-AC= √/(2√3)-(22)2=2. 当△ABDO△ACB时是治即 222后·解得AD=3w2. 23 AD 当△ABDO△CA时是识即 2 25解得AD=6 23 AD ∴.AD的长为6或3√2 (2)当△ABD∽△ACB时，面积比为 2w3 22 =2:当△ABDO 3 △BCA时，面积比为 (AB) BC △ABD与△ABC的面积比为号 或3. 6.C解析：如图，过点D作DF∥ BC,交AC于点F.,AD=2DB 品-2铝号Fc △AFPD△ACR装-0 2 S△AP= S△ACB )=设 S△AD=4S,则S△ACB=9S.:'沿DE 将△ABC剪成面积相等的两部分， S△Am=4S= 、SAE2S.·SAADE号s 8AF.AF.AF AF AC 9=AE·A花÷AC=A正·AP C B (第6题) 7.B解析：如图，连接AM,交DE 于点H,交BC于点P.DE∥BC, -部=号，△AE △ABC.. S△ADE= AD)2-9 SAABC AB 1=251 ∴.设AH=3a(a>0),则HP=2a. 由折叠，知AH=MH=3a,S△AE 9=2..PM=a. SAMDE=15X25-5 .DE∥BC,∴.△MFGc∽△MDE S△MrG= PM）)=1 SAMDE HM) 9 27 SaG=9S△E=gX 0.6. C (第7题) 2 8. 9.10解析：BD=BA,BE是 ∠ABC的平分线，∴.AE=DE. ∴.S△AR=S△DE=3.又·F是AC 的中点，.EF是△ACD的中位线. .2EF=CD,EF∥DC.∴.△AEFc∽ △ADC.∴.S△XD=4S△AF :S四边形Dr=3,.易得S△AD=4. ∴.△ABC的面积为3+3+4=10. 10.1解析：延长BA、CD交于点E. :CM平分∠BCD,.∠MCE ∠MCB..CM⊥AB,.'.∠CME= ∠CMB=90°.在△CME和△CMB ∠MCE=∠MCB, 中，{CM=CM, '.△CME≌ ∠CME=∠CMB, △CMB..ME=MB..AM= AB,ME MB 2AM. ∴AM=AE=4BE.:AD∥BC, '.△EAD∽△EBC... S△EAD= 16 ∴.S四边形AD= 15 15 161 1 7,小S阳边形AMD=2S△r 1161 S△0=2X7-7=1. 11.点G是△ABC的重心， .BD-CD,AG-2GD. 1 小Sax=2Sae=2X18=9, AG 2 AD3 GE//DC, ∴.△AGE△ADC. S△AC ·Sae=号×g=4 12.:△ABC和△DEC的面积 相等， ∴.△CDF和四边形AFEB的面积 相等. .AB//DE, '.△FEC∽△ABC. “贯品片 S△FC_-9 ·SAAR16 设△FEC的面积为9k(k>0),则四 边形AFEB的面积为7k, :△CDF和四边形AFEB的面积 相等， '.△CDF的面积为7k. 32 :△CDF与△FEC是同高不同底的 三角形， DF 7k 7 EF-9k9 .DF=7. 13.连接BD. AE-AC, 器 :四边形ABCD是平行四边形， ∴.BA∥CD,BA=CD,S△ABD= S△BAC=2 ·SABCD ∴.易得△AEGD△CED. …器品 AG 1 ·BA3 BG 2 1 BA 同理，可得职一2 BC 3 BGBH ·BA-BC :∠GBH=∠ABC, ∴.△BGHC∽△BAC S△EH BG2 4 S△BAC BA 9 4 4 .S△GH= 9 S△BAC= S△Am. S△ANG 1 93 言5n 3 4 4 第2课时相似三角形对应 线段的比 1.C2.A3.6 4.△ADEC∽△ACB,相似比为 2:3, ∴.∠AED=∠ABC,AD:AC=2:3. .AF是∠BAC的平分线， ∴.∠BAF=∠CAF :∠AGD=∠CAF+∠AED, ∠AFC=∠BAF+∠ABC, .∠AGD=∠AFC. ∴.△AGD∽△AFC. …把号 AG 2 AG+GF3 .AG:GF=2:1. 5.A解析：两个相似三角形一组 对应边上的高分别为15和5，∴.两个 三角形的相似比为3：1，∴.其面积比 为9：1.设这两个相似三角形的面积 分别为9x和x,则9x一x=80,解得 x=10..较大三角形的面积为90. 6.C解析：∠DAE=∠CAB, ∠ADE=∠C,..△ADEC∽△ACB. ：∠AD=∠B,铝=器 :NB·DE=ME·CB,.CB 福：铝-又：∠AAm AM ∠B,△AEMO△ABN.AN -景AB=AE=X AB 6=9. 7.9解析：：两个相似三角形的面 积比为1：4，∴.这两个三角形的相似 比为1：2.'.这两个三角形最短边上 的中线长之比为1：2.设其中较小的 三角形最短边上的中线长为xcm,则 较大的三角形最短边上的中线长为 2xcm..x+2x=27,解得x=9. '.这两个三角形最短边上的中线长 分别为9cm、l8cm.∴.这两条中线长 之差为9cm. 8.24解析：连接AE.·DE是 △ABC的中位线，∴.DE∥AC,DE= 2AC.·△EFG∽△CAG.:F是 DE的中点∴器=子器 S△CAG )=“ S△FFG=1, .S△cG=16.:△EFGc△CAG, ,S△AE=GE」 1 S△CG=4. .S△AE=S△Cc-S△AE=12.:易 知E为BC的中点，.S△AC= 2S△E=24. 9.9解析：如图，记EF、FG分别与 AC交于点M、N.,等边三角形 ABC沿边AC上的高BD平移到 △EFG的位置，.AC∥EG. '.△MFN∽△EFG.'.易得 △MFNc∽△ABC.. S△FMN S△AJX 1 FD 3 =3B那=4 S△Ac=16,. 各=()”，解得 S=9. (第9题) 10.(1)设正方形EFHG的边长为 x mm. ·四边形EFHG是正方形， .EF//GH. AD⊥BC, ∴.AK⊥EF .'.易得KD=EG=xmm. .EF∥BC, ∴.∠AEF=∠B,∠AFE=∠C. .∴.△AEFO△ABC 小既“▣ 工_80一工，解得 80 x=48. ∴.这个正方形零件的边长是48mm. (2)设一个小正方形零件的边长为 x mm,EG=x mm,EF=2x mm. 四边形EFHG是矩形， ∴.EFGH. AD⊥BC, .AK⊥EF, .∴.易得KD=EG=xmm. ,FE∥BC, .∠AEF=∠B,∠AFE=∠C. .∴.△AEFO△ABC. ·货-拾即资-0。解得 120 .一个小正方形零件的边长为 24 7 mm. .一个小正方形零件的周长为 960 7 mm. 33 方法归纳 根据基本模型解决问题 解决这类问题时，往往需要观 察所给图形的整体特征，根据这些 图形中隐含的基本模型，运用相似 三角形的性质得到对应边的比例 关系，进而建立以待求边为未知数 的方程，从而解决问题.这类问题 中往往也隐含着从特殊到一般的 数学思想 15 11.4 解析：△ABC∽△CAD, AB AC ·CA-cD AB=3,CA 3 号..CD3AC2.∠ACB白 90°，.AC2=AB2-BC2=9-BC2. .CD= (9-Bc)=3-3Bc 1 设BC=x(0<x<3).∴.BC十CD= x+3- 3x2-- ()+只 1 3 <0,.当x= 2时，BC+ CD的值最大，最大值为早 12.(1)从△ABC中剪出一个面 积最大的正方形BDEF, ∴.当点E在AC上时，正方形BDEF 的面积最大. ∴.EF=BF,EF∥BC. .△AFED△ABC. .AF_FE AB BC 12-BF_BF 12 5 欧器 60 ·正方形BDEF的面积为7X 603600 17289 (2)设PN=b,0b<120. ,四边形PQMN为矩形， .PN//BC. .'.△APNO△ABC. .AD⊥BC, .易得PQ=DE,AE⊥PN. 品- BC=120,AD =80,AE=AD- DE=80-PQ, 00 80 PQ=80-3 26 ∴.S形ON=PN·PQ=b(80 号o)=号6-60r+240. ∴.当b=60时，SE形poN取得最 大值. PV=60,PQ-80-号×60=40 .矩形PQMN的周长为2×(60+ 40)=200. (3)720.解析：如图①，延长BA、 DE交于点F,延长BC、ED交于 点G,延长AE、CD交于点H,分别取 BF、FG的中点I、K,连接IK,过 点K作KL⊥BC于点L.由题意，知 四边形ABCH是矩形，∴.AH=BC, AB=HC..AB=32,BC=40, AE=20,CD=16,.EH=AH- AE=20,HD=CH-CD=16. ∴AE=EH,CD=DH.在矩形 ABCH中，∠BAH=∠DHE=90°， .∠FAE=∠DHE=90°.在△AEF I∠FAE=∠DHE, 和△HED中， AE-HE, ∠AEF=∠HED, ,.△AEF2△HED.'.AF=HD= 16.同理，可得△CDG≌△HDE. 0G=HE=0.1=(AB+ AF)=24,BL.=1K=合(BC十 CG)=30.:24<32,30<40,∴.中位 线IK的两端点分别在线段AB和 DE上.由(2)，可知剪出的面积最大 的矩形为矩形BLKI,最大面积为 24×30=720. (4)14583.解析：如图②，延长 BA,CD交于点E,过点E作EH⊥ BC于点H.∠B=∠C=60°， ∴EB=EC,∠BEC=60°.EH⊥ BC,∴.BH=HC,∠HEC=3O°. .BC =108 cm,.'BH=CH= 54cm..易得EH=54W5cm,EB= EC=108 cm..'AB=70 cm,.'BE 的中点Q在线段AB上.：CD= 76cm,∴.CE的中点P在线段CD 上.∴.中位线QP的两端点分别在线 段AB、CD上.由(2)，可知矩形 PQMN的最大面积为2BC· 1 2E明2X108X2X543宇 1458√3(cm2). B MH N C ② (第12题) 6.6图形的位似 1.A2.B3.H4.4√2 5.(1)点C的坐标为(1.5,1)，点A 的坐标为(0.5,0). (2):正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位 似图形，且相似比为1：3， ÷器号 .EF=6, .BC=2 四边形BEFG是正方形 .∴.BG∥EF ∴.△OBCC∽△OEF 器紧号 OB 1 OB+63 .OB=3. ∴.点C的坐标为(3,2). 6.D7.A 8.一3解析：如图，过点A作AM⊥ x轴于点M,过点A'作A'N⊥x轴于 34 点N,则AM∥A'N..△ACM △ACN.:=A怨：点 A(-1.4,1.5)的对应点为A(-0.2, -3),点C的坐标为（一1,0）， 瓷=号=△Asc和 △A'B'C的相似比为1：2.过点B作 BELx轴于点E,过点B作BF⊥ x轴于点F,则BE∥B'F ÷△CE△BrCR.器是 点C的坐标为（一1,0），点B的横 坐标为3，.CF=4.:△ABC和 △AB'C的相似比为1：2，即BC BC- 号华日解得CR=2点B 的横坐标为一3. B✉ CNO A (第8题) 9.(1,0)或(-5，-2)解析：在正方 形ABCD和正方形OEFG中， A(3,2)、F(-1,-1),.E(-1, 0)、G(0,-1)、D(5,2)、B(3,0)、C(5, 0).①当E和C是对应顶点，G和A 是对应顶点时，位似中心就是直线 EC与AG的交点.设直线AG对应的 函数表达式为y=x十b(k≠0). 3k+b=2, b=-1 解得 k=1,.直线 b=-1. AG对应的函数表达式为y=x一1. 令y=0,则x=1.∴.与直线EC的交 点坐标是(1,0)，即位似中心的坐标是 (1,0).②当A和E是对应顶点，C 和G是对应顶点时，位似中心就是直 线AE与CG的交点.设直线AE对 应的函数表达式为y=mx十n(m≠ 1 3m+n=2, m2 0).. 解得 -m+n=0, 1 n21 ∴.直线AE对应的函数表达式为y= 合x十宁同理，可得直线CG对应的拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 6.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的周长比和面积比、“答案与解析"见P31 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么 6.(2025·宜宾)如图所示为一张锐角三角形纸 它们的周长比是 ( 片ABC,点D、E分别在边AB、AC上， A.1:9B.1:3C.1:4.5D.1:8 AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等 2.若两个相似三角形的对应边分别是15cm和 23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角 的两部分，则A 心的值为 形的周长分别是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 A.75cm、115cm B.60cm、100cm C.85cm、125cm D.45cm、85cm 3.(1)(2025·泰州泰兴三模)如果两个相似三 角形的面积之比为4：9，较小的三角形的周 (第6题) (第7题) 长是100cm,那么另一个三角形的周长为 7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且 cm AD=3,DB=2,过点D作DE∥BC,交边 (②)若△ABCn△DEP,相似比为号，且它们 AC于点E,将△ADE沿着DE折叠得到 △MDE,与边BC分别交于点F、G.如果 的周长之和为40，则△ABC的周长为 △ABC的面积为15，那么△MFG的面积为 4已知△ABC与△ABC'的相似比为号，且 A.0.5B.0.6C.0.8D.1.2 S△ABC十S△ABC=91,则△A'B'C'的面积是 8.（2025·淮安清江浦模拟)如图，在正方形 ABCD中，E是对角线AC上一点，且CE= 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 2AE,连接DE并延长，交AB于点M,则 23,AC=2√2，BE⊥AB于点B,D为射线 S△AED的值为 BE上一点，连接AD,△ABD与△ABC相 S四边形EMBC D 似.求： (1)AD的长 (2)△ABD与△ABC的面积比. M D (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC中，AC>AB,点D在边BC 上，且BD=BA,连接AD,∠ABC的平分线 (第5题) BE交AD于点E,F是AC的中点，连接 EF.若四边形CDEF和△BDE的面积都为 3,则△ABC的面积为 52 第6章图形的相似 10.如图，在四边形ABCD中，ADBC,CM是思维拓展 ∠BCD的平分线，且CM⊥AB,垂足为M, 13.如图，E、F是□ABCD对角线AC AM-AB.若四边形ABCD的面积为号， 15 上的两点，AE=CF=AC.连接 则四边形AMCD的面积是 DE、DF并延长，分别交AB、BC于点G、 A H,佳按GH来二的值 D (第10题) E 11.如图，点G是△ABC的重心，连接AG并延 A- G 长，交BC于点D,过点G作GE∥BC,交 (第13题) AC于点E.如果S△ABC=18,求S△AGE 的值. B D (第11题) 12.如图，△ABC和△DEC的面积相等，点E 在边BC上，DE∥AB,交AC于点F,AB 12,EF=9,求DF的长. D (第12题) 53 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第2课时 相似三角形对应线段的比 )“答案与解析”见P32 自基础进阶 6.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上 1.若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们 的点，连接DE,M、N分别为DE、BC上的 对应边的中线长之比为 点，连接AM、AN,且∠ADE=∠C,NB· A.1:9 B.3:1 DE=ME.CB,AM AN=2:3,AE=6, C.1:3 D.1:81 则AB的长为 2.若△ABC∽△DEF,且对应高的比为2：3， A.4 则△ABC与△DEF的周长比为 ( B.8 A.2:3 B.2:5 C.9 C.4:9 D.9:4 D.10 (第6题) 3.若两个相似三角形对应角的平分线的比是 7.已知两个相似三角形的面积比为1：4，这两 2：3,它们的周长之和为15cm,则较小的三 个三角形最短边上的中线长之和为27cm, 角形的周长为 cm. 则这两条中线长之差为 cm. 4.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC 8.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE的中 上的点，△ADE∽△ACB,相似比为2：3， 点，连接AF并延长，交BC于点G.若 △ABC的角平分线AF交DE于点G,交 S△EPG=1,则S△ABC= BC于点F,求AG与GF的比. B (第8题) (第9题) 9.如图，将等边三角形ABC沿边AC上的高 (第4题)》 BD平移到△EFG的位置，涂色部分的面积 记为8如果部-名5=16，那么5 10.*一块材料的形状是锐角三角形 ABC,边BC=120mm,高AD= 80mm. 【特例初探】 )素能攀升 (1)如图①，若把它加工成正方形零件 5.已知两个相似三角形一组对应边上的高分别 EFHG,使正方形的一边GH在BC上，其 为15和5，面积之差为80，则较大三角形的 余两个顶点E、F分别在AB和AC上，EF 面积为 ( 与AD相交于点K.这个正方形零件的边长 A.90 B.180C.270 D.360 是多少？ 54 第6章图形的相似 【迁移运用】 (3)如图③，在“缺角矩形”ABCDE中， (2)如图②，若把它加工成横向并排放置的 AB=32,BC=40,AE=20,CD=16.若要 两个相同的小正方形零件，求一个小正方形 在“缺角矩形”中剪出一个面积最大的矩形 零件的周长， (∠B为所剪出矩形的内角)，则剪出的矩形 的面积为 (4)如图④，现有一块四边形的木板余料 ABCD,经测量，AB=70cm,BC=108cm, G DH C OD HC ① CD=76cm,且∠B=∠C=60°，木匠师傅 (第10题) 从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上 且面积最大的矩形PQMN,则该矩形的面 积为 cm2. B B O D M ① ② ③ 思维拓展 (第12题) 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AB=3,D为直线AC左侧 点.若△ABC∽△CAD,则BC+ CD的最大值为 D (第11题) 12.新情境·现实生活(1)如图①，在△ABC中， ∠B=90°，AB=12,BC=5,从中剪出一个 面积最大的正方形BDEF,求正方形BDEF 的面积， (2)如图②，在△ABC中，BC=120,边BC 上的高AD=80,点P、N分别在边AB、AC 上，点Q、M在边BC上.当矩形PQMN的 面积最大时，求矩形PQMN的周长. 55