专题特训五 添加辅助线构造相似三角形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训五 添加辅助线构造相似三角形，“答案与解析"见P30 类型一添加平行线构造相似三角形 5.(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一 1.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为 个题目： AC上一点，AD、BE交于点G,且AG: 如图①，在△ABC中，点O在线段BC上， GD=4:1,BD DC=2:3,AE EC ∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=3√3， 等于 BO:CO=1:3,求AB的长 A.3:2B.4:3C.6:5D.8:5 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC, 交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就 可以解决问题（如图②）. 请回答：∠ADB= °，AB的长为 B D (第1题)》 (第2题) 2.如图，C、D是AB上的两点，∠ACB=90°，D (2)请参考以上思路，解决问题： 刚好为BC的中点，AD、BC交于点E.若 如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与 CE=3,BE=5,则AB的长为 ( BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3√3， A.12B.10 C.8 D.6 ∠ABC=∠ACB=75°，BO:OD=1:3,求 3.(2024·泰州海陵段考)如图， CD的长 在四边形ABCD中，BC∥ AD,E是DC延长线上一点， B、O AE与BD相交于点F.若 D (第3题) ② AD BC=m,DC:DE=n, 则AF:AE的值为 (用含m、n的 代数式表示). 4.如图，在△ABC中，E、F是边BC 上的两个三等分点，D为AC的中 (第5题) 点，BD分别交AE、AF于点P、Q, 求BP:PQ:DQ. (第4题) 50 第6章图形的相似 类型二添加垂线构造相似三角形 (1)如图①，当D是AB边的中点时，试探究 6.如图，BD为△ABC的高，点E在AB边上， 线段AE、BF、AB之间的数量关系， ∠BEC=60°，BE=2CD,CE与BD相交于 (2)如图②，当n=2,且点F在线段BC上 点尸紫的值为 时，试探究线段AE、BF、AB之间的数量 关系 A.2 B.√5 (3)请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 2 AE、BF、AB之间数量关系的一般结论（直 接写出结论，不必证明). (第6题) (第7题) 7.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC,∠D (第9题) 90°，点E在线段BC上，且满足2BE=3CE, 过点E作EG⊥BC,交DA的延长线于点G. 若DC=7,AB=10,BC=5,则GE的长为 ( A.3 B C.4 D. 8.如图，在矩形纸片ABCD中，AD= 10,AB=8,点E、F分别在AD、BC 上，把纸片沿EF折叠，点A、B的 对应点分别为A'、B,连接AA'并延长，交 CD于点G,则装的值为 (第8题) 9.新考法·探究题(2024·扬州宝应期末)探究 式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴 趣小组拟做以下探究。 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是 A5边上点，且的-a为正整数，E是 AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直 线BC于点F,试探究线段AE、BF、AB之间 的数量关系 5..∠CAD=∠CPE=90 又，∠ACD=∠PCE, ∴.△CADP△CPE. CF,即3 3√6+3 33√6 PECP· .PE= 3√42+3√7 .CP 7 18√7+3√42 7 PD=CP-CD=18F+3√42 7 37=3V2-37 7 Sae=PD·PE=号 32-3W7×3√42+37_45 7 141 方法归纳 解决图形变换问题的一般方法 解决这类图形变换问题时，往 往要从特殊情形入手，研究图形的 相关性质，再根据已有的分析问题 的方法、思路对特殊情形变换后的 图形进行分析，得出问题的结论」 通常情况下，得到的结论与原有结 论也具有特殊与一般的关系，它们 之间具有内在的联系. 专题特训五添加辅助 线构造相似三角形 1.D解析：如图，过点A作AF∥ BC,交BE的延长线于点F品 部4福-带AF=4BD, BD:DC=2:3,∴.BD:BC= 2:5.C=号BD.AE:CR= AF:BC=4:号=8：5. (第1题) 2.B解析：如图，过点C作CF∥ AB,交AD的延长线于点F,∴.∠F= ∠BAE.:D为BC的中点， ∴.∠CAE=∠BAE.∴.∠F= ∠CAE.∴.CF=AC.CF∥AB, .△CEFC∽△BEA.CF:BA= CE:BE..AC:AB=CE:BE= 3:5.设AC=3x,则AB=5x. :∠ACB=90°，∴.AB2-AC= BC2..(5.x)2-(3.x)2=82..x=2 (负值已舍去).∴.AB=5.x=10. C D B (第2题) n 3.1十m1 解析：如图，过点E作 EG∥BC,交BD的反向延长线于点 G.EG∥BC,∴.∠DBC=∠G, ∠DCB=∠DEG.∴.△DBC∽ BC_DC.DC DE= △DGE.GEDE n,:.BC=nGE.AD BC =m, .BC=AD:.AD_ nGE..GE= m m AD.:EG∥BC,BC∥AD,·.EG∥ m AD.'.∠G=∠ADF,∠FEG= ∠FAD..△EGF∽△ADF. AD EF GE mn ·AF-DA=DAm .EF= AF.AE-AF+EF-AF+A mn' mn (1+)AF.AF AE=AF 224 (1+)AF= +m BL G------- (第3题) 4.如图，过点D作DG∥BC,交AE、 AF于点G、H. :D为AC的中点， '.易得DH是△AFC的中位线，DG 是△AEC的中位线. ∴.CF=2DH,DG=2CE. BE=EF=CF, 30 .'BF=2CF=4DH,DG=BE. DG//BC, ÷器0器1 ∴.QB=4DQ,BP=DP. .'PQ=1.5DQ,BP=2.5DQ. .BP:PQ:DQ=5:3:2. B E F (第4题) 5.(1)75:45. (2)过点B作BE∥AD,交AC于 点E. AC⊥AD,BE∥AD, .∴.∠DAC=∠BEA=90 ∠AOD=∠EOB, .'.△EOB△AOD BO EO BE ·.DO-AO DA' BO:OD=1:3, .EO-BE 1 AO DA 3 .A0=35, .EO=√5. ∴.AE=45. ∠ABC=∠ACB=75°， .∠BAC=30°，AB=AC. ∴.AB=2BE 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 AE2+BE2=AB2,即(4V5)2+ BE2=(2BE)2 .BE=4(负值已舍去). ∴.AB=AC=8,AD=12. 在Rt△CAD中，由勾股定理，得 AC2+AD2=CD,即82+122=CD2. '.CD=4√I3(负值已舍去) 6.B解析：过点B作BH⊥EC于点 H.:∠BEC=60,∴.∠EBH= 30°.∴.BE=2EH.∴.BH= √BE-EH=W5EH.BE= 2CD,∴.EH=CD.∠BHF= ∠BDC=90°，∠BFH=∠CFD, BF_BH- .△BFH∽△CFD.·CF=CD EH-5. EH 7.B解析：.2BE=3CE,BC=5, .BE=3,CE=2.如图，过点C作 CH⊥AB于点H.AB∥DC, ∠D=90°，..∠D=∠DAB= ∠CHA=90°.∴.四边形AHCD是矩 形..AH=CD=7.AB=10, ∴.BH=3.∴.CH=√BC2-BH 4.过点E作EF⊥AD于点F,交CH 于点M,∴.易得EF∥AB,FM= D=别器-兰 3 5 EM-5.EF-FM+EM-7+ g号：GLX,∠BRG 5 ∠BAG=90°..易得∠B=∠G.又 ,∠GFE=∠BHC=90°，∴.△GFEC∽ 41 EF EG △BHC.·C7FCB∴.45 .4 D M G (第7题) 8 解析：如图，设EF交AG于 点M,过点F作FH⊥AD于点H,则 ∠FHE=∠FHA=90°.，四边形 ABCD是矩形，∴.∠B=∠BAH= ∠D=90°.∴.四边形ABFH是矩形 ∴.FH=AB=8.由折叠，得点A'与 点A关于直线EF对称，'.EF垂直 平分AA'..∠AME=90. ∴∠EFH=∠GAD=90°-∠AEF. 又，∠FHE=∠D=90, :△FHEAADG.需思 AH D B' (第8题) 9.(1)如图①，连接CD. ,D是AB边的中点， .'AD=BD ,∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠B=45°，CD⊥AB, ∠FCD= 2 ∠ACB=45°，AB=√2BC ∴.∠ADE+∠EDC=90,CD=AD, HC. .DE⊥FD, ∴.∠CDF+∠EDC=90. ∴.∠ADE=∠CDF. 在△ADE和△CDF中， I∠ADE=∠CDF, DA=DC, ∠DAE=∠DCF=45°， .∴.△ADE≌△CDF .AE=CF AE+F-F+F-C号AB (2)如图②，过点D作DN⊥AC于点 N,DH⊥BC于点H. ∠C=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠B=45. DN⊥AC,DH⊥BC, ∴.△ADN和△BDH是等腰直角三 角形. .AN DN,DH BH,AD- 2AN,BD=√2BH,∠A=∠B= 45°=∠ADN=∠BDH. .'.△ADNc∽△BDH. ÷品船器2 设AN=DN=x,则BH=DH=2x, AD=√2x,BD=2√2x」 .AB=3V2. .·DN⊥AC,DH⊥BC,∠ACB=90°， .四边形DHCN是矩形. ∴.∠NDH=90°=∠EDF. ∴.∠EDN=∠FDH=90°-∠EDH. 又，∠END=∠FHD=90°， ∴.△EDN∽△FDH. …别x .FH=2NE. :AE+?BF=x+NE+之(2x- 31 FH=2号AB, (3)当点F在射线BC上时，AE+ √2 BF=AB:当点F在CB的延 长线上时，AE-即气AB 7 D ① C E 0 B ② (第9题) 6.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形的 周长比和面积比 1.B2.A3.(1)150(2)16 4.63 5.(1)在Rt△ABC中，AB= 25,AC=2√2，∠ACB=90°， ∴.BC=V√AB-AC= √/(2√3)-(22)2=2. 当△ABDO△ACB时是治即 222后·解得AD=3w2. 23 AD 当△ABDO△CA时是识即 2 25解得AD=6 23 AD ∴.AD的长为6或3√2 (2)当△ABD∽△ACB时，面积比为 2w3 22 =2:当△ABDO 3 △BCA时，面积比为 (AB) BC △ABD与△ABC的面积比为号 或3. 6.C解析：如图，过点D作DF∥