6.4 探索三角形相似的条件-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

AB=AFFB常-福A是FB的黄金分剂点 12.矩形ABFE是黄金矩形.理由如下：设AB=(W5-1)a,则 BC-2a,AE=2a-(5-1)a=(3-5)a,4g=35)a= AB (5-1)a ⑤一1，矩形ABFE是黄金矩形 2 6.3相似图形 课堂演练 1.D2.D解析：∠a=360°-50°-120°-90°=100°，故 A选项不将合题意=84-碧y83-号故BC选 5 项不符合题意，D选项符合题意.3.D解析：设原来矩形 的长为x、宽为y,则对折后矩形的长为y、宽为.得到的 两个矩形都和原矩形相似，x:y=y:受，解得xy= E:1.4B解析：12≠2，故①与@不相似：5≠ 2号放②与®不相似：号=，故①与®相似。5.12 解析：设第二个四边形的最长边的长为x,,两个四边形相 似心音=号，解得x=12.635解析：△ABCn △ADE,8-Ae又AE=5,BE=2,AB=1, 9AD=a5,7.(①不相似理由如下：“品=号- 号常=号=3，∴枴≠0矩形ACD与矩形 ABCD不相似.(2)矩形ABCD矩形ABCD,∴铝 AB 12 常，即2-Q-。=6-4=6化简，得2d+2b=a十c 课后拓展 8C解析：矩形ACD∽矩形BCFE,∴器-铝，即 AAD-怨整理，得A-AD·AB-AD=0铝- AD 1或铝-1（合8-史.9B解标： :原矩形的长为6，宽为x,小矩形的长为、宽为号=2 :小矩形与原矩形相似“音一是解得x=2.10号 解析：由矩形的性质知，BP=EF=a,∠BPE=90°，∴.EP⊥ AG.,EP平分∠AEC,∴.PG=AP=b-a,∴.BG=AB-AP PG=b一(b一a)一(b一a)=2a一b.又由矩形的性质知，PE∥ CR,小既品又：矩形ABCD矩形EFBP,器-器， 需-即号-…治-91号 解析：正 方形EPGH与正方形ABCD的相似比为5，∴设EF=5, AB=3k.由正方形的性质得，EH=EF,∠A=∠B=∠FEH= 90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∠BEF+∠BFE=90°， ∠AEH=∠BFE,.△HAE≌△EBF(AAS),AE=BF. 设AE=BF=x,则BE=3k一x.在Rt△EBF中，由勾股定理 得EF=BE+BF2,即(W5k)2=(3k-x)2十x2,整理得x2 课时提优计划作业本·数 。1 3kx十2k2=0,解得x=k或x=2k,∴.AE=k,BE=2k或 AE=2k,BE=k,又：AE<BE,∴AE=k,BE=2k,能= 分.2.证明：1)由矩形的性质，得∠B=∠BAF=∠EFD 90°，.∠AFE=180°-∠EFD=180°-90°=90°，∴.四边形 ABEF是矩形.又由折叠的性质可知，AB=AF,∴.四边形 ABEF是正方形.(2)，四边形EFDC与矩形ABCD相似， 是器AB-CD,AB=D·AD又：AB=AF, AF=FD·AD,.F是边AD的黄金分割点.13.(1)证 明：，菱形AEFG∽菱形ABCD,∴.∠EAG=∠BAD, ∴·∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,即∠EAB=∠GAD. 由菱形的性质得，AE=AG,AB=AD,.△AEB≌△AGD (SAS),.EB=GD.(2)如图，连接BD交AC于点P,则 BP⊥AC.∠DAB=60°，AB=AD,∴∠PAB=30°，.BP= 2AB=之×2=1.在R△APB中，AD=VAB-BP= √22-1下=√3.菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是3：2， AB=2,∴.AE=√3..EP=AE+PA=√3+√3=2√3.在 Rt△EPB中，EB=√EP2+BP=V√(23)2+12=√/13.由 (1)知，EB=GD,.GD=√13. 6.4探索三角形相似的条件 第1课时探索三角形相似的条件(1) 课堂演练 1D解析a/6/c,瓷器能-器品器故 A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意.2.C解析： ,四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,DC∥AB, ∴.△ADF△ECF,△ECFC∽△EBA,△ADFP△EBA,即图 中共有3对相似三角形.3.30解析：，AD∥BE∥CF, 瓷器，即铝-器∴AB=30m4号解析：如 图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于 点D,交点C所在的平行横线于点E,则瓷=0，即亮 是，解得BC=号 5.证明：EF/CD,DE/C部-瓷品-瓷 FD B,即AF:FD=AD:DB.6.DE∥BC,DF∥AC AD .四边形DECF是平行四边形，.FC=DE=5cmDF∥ AC,E-职即5=∴BF=10cm 5 学·九年级下册(SK版) 9。 课后拓展 7B解析：在梯形ABCD中，AB/CD,8票-8器 8器，△ODE∽△OBF,△0CEn△OAK,△0CD∽△aAB, 8器-器-器器-紧柴-8紧8器票-器 器图中线段比与OE:OF的比值相等的有5个&C 解析：如图，取AB的中点M,连接OM,四边形ABCD是平 行四边形，∴.AD∥BC,OB=OD,∴.OM∥AD∥BC,OM= 名AD=名X3=号△EFB△OM器-器AB= 5,AB=3BE,BE=号，BM=号，ME=BM+BE=号+ 5 3 6 3 2 6 B E 9.号解析：EF是△ODB的中位线，EF=2,∴BD=2EF 2X2=4又：AC/BD,∴△0ACn△OBD,部-=%.即 C=号，AC=号.10.9 解析：如图，过点A作 4 5 AE⊥于点E,交2于点F,过点B作BH⊥于点H.☑∥ 2∥l3,∴.AF⊥2，.EF=BH=3,AF=1.,△ABC为等腰 直角三角形，∴.AC=BC,∠ACE+∠CAE=90°.，∠ACB= 90°，.∠ACE+∠BCH=90°，..∠CAE=∠BCH.在△ACE I∠AEC=∠CHB, 和△CBH中，∠CAE=∠BCH,∴.△ACE≌△CBH(AAS), LAC-CB, ∴.CE=BH=3.在Rt△ACE中，AC=√CE+AE= +-5,AB=EAC-5E.DF∥C黑-E 冬，CD=卓.在R△BCD中，BD=√CD+BC= √()+-5,0-装=4 4…BD25 5 H 1AE/BC,∴△ABG△BFG,△MEDn△CFD, 品又：D为边AC的中点，即AD-CD,AE=CR设AE CF=x△A0ABG器-3即号-8当，解得 4即AE=42当铝-中时，能-21理由如下： 如图，过点D作DG∥BE交AC于点G,则A怨=A5=L, AG AD n+1' ÷器-G=ME:AD是△MBC的中线，BD 课时提优计划作业本·数 2 CD.:G-CG,AC-(2+DAE B 第2课时探索三角形相似的条件(2) 课堂演练 1.B2.D解析：DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∠BCD= ∠CDE,∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB.,'∠DCE=∠B, .∠ADE=∠DCE,又，∠A=∠A,.△ADE∽△ACD: :∠BCD=∠CDE,∠DCE=∠B,∴△DEC∽△CDB;∠B= ∠ADE,但是∠BCD<∠AED,且∠BCD≠∠A,∴.△ADE与 △DCB不相似.故A、BC选项不符合题意，D选项符合题意. 3.C解析：：∠AED=∠B,∠A=∠A,.△AEDD △MBc0AD-1,AB-3,AC-25-合 ∴AE=号.4 FEB FIC ABD ACE解：折∠BEF= ∠CDF,∠BFE=∠CFD,.△FEB∽△FDC,.∴.∠EBF= ∠DCR:∠A=∠A,△ABDn△ACE,5.号解析： ∠CD=∠A,∠B=∠B△BCD△BAC,80-器， 需-gD-景A0=AB-BD-8g- 6.△AEB18解析：，AB=AC,∴.∠ABC=∠C.∠D= ∠C,∴.∠ABC=∠D.:∠BAD=∠EAB,∴.△ABD △AEB铝-8，即号-品，解得AD=18.7(1证 明：AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C=号X(180° ∠A)=号X(180°-36)=72.：BD是△ABC的角平分线， :∠CBD=∠ABD=∠ABC=2X72°=36，∴∠CBD= ∠A.·∠C=∠C,∴.△CBDn△CAB.(2)由(1)，得∠ABD= ∠A=36°，∠C=72°，△CBD△CAB,.∴.BD=AD,∠BDC= ∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠C,.BD=BC, .BC-AD.AB-AC-1,.DC-1-AD. ∴BC=AC·DC,∴.AD=1-AD,即AD2+AD-1=0,解 得AD=5,或AD=一5-1（不符合题意，合去），“AD 2 2 的长是5一1 2 课后拓展 8.C解析：△ABC是等边三角形，.BC=AC,∠B= ∠C=60°，.∠CAD+∠ADC=120°.，∠ADE=60°. ∠BDE+∠ADC=120°，∴∠CAD=∠BDE,∴.△ADC △DEB,提-分祭：BD=4DC,可设DC=x,则BD= EC=AC=5z,2-,AD=3.9.D解析：在 △ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2,∴.AC=2BC=4, 学·九年级下册(SK版) 0 AB=23,∠C=60,D是AB的中点，AD=3.AP= AB 器DE=1如图1，当∠ADE=90时，：∠ADE- ∠ABc,器-瓷△ADE△ABC,÷能-腊- ∴AE=2;如图2，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H,连接 DH,D是AB的中点，H是AC的中点，.DH∥BC,DH= 2BC=1,∠AHD=∠C=60,DH=DE=1,∠DEH= 60°，∴.∠ADE=∠DEH-∠A=60°-30°=30°=∠A,∴.AE= DE=1.综上所述，AE的长为1或2. 图1 图2 10.5解析：在长方形ABCD中内接三个大小相同的正方 形，.EH=FE=2FG,∠HEF=90°.，四边形ABCD是长方 形，∴.BC=AD=5cm,∠A=∠B=∠C=90°，∠AEH+ ∠BEF=∠BFE+∠BEF=9O°，∴∠AEH=∠BFE.在 I∠A=∠B, △AEH和△BFE中，∠AEH=∠BFE,∴.△AEH≌△BFE EH-FE, (AAS),∴.BF=AE=BC-CF.设CF=xcm,则BF= (5-x)cm.:'∠CFG+∠BFE=∠BFE+∠BEF=90°， ∴∠CRG=∠BEF,BEF△CPC,∴是-=器 合BE-2CF,0G-号BR.:AE+BE=AB=6m,5- x+2x=6,x=1,BF=5-1=4(cm),CG=2BF=号× 4=2(cm),∴.FG=√CF+CG=√/2+2=√5(cm),∴.每 个小正方形的面积为PC=(5)=5(cm).1.9 解析：设AE=x.AB=8,.BE=8-x.BD⊥AB,AC⊥ AB,CE⊥EF,∴.∠CAE=∠CEF=∠EBF=90°，∴./ACE十 ∠AEC=∠BEF+∠AEC=90°，∴.∠ACE=∠BEF, △ACE△瓷即等gBF=-吉+ 号x=号女一+9当x=4时，BF有最大值9 8 12.智或罗解析：在△ABC中，∠C=90,BC=6cm, AC-8cm,.AB=√JAC+BC=l0(cm).设运动时间为 s;BP=2t cm,AP=AB-BP=(10-2t)cm,AQ=t cm. 当△APQ△ABC时，铝-怨0.2-专解得：铝， 10 当△A0Pn△ABC时，是=器：10g2=品解得=气 8 综上所述，当：=铝或要时，△PAQ与△ABC相似， 13.(1)证明：如图1，连接OA、OB、OC.,OB=OC,AB=AC .OA⊥BC..CF=CA,.∠CAF=∠CFA,∴.∠ACD ∠CAF+∠CFA=2∠CAF.·∠ACB=∠BCD,.∠ACD 2∠ACB,∴.∠CAF=∠ACB,.∴.AF∥BC,.OA⊥AF,∴.AF 课时提优计划作业本·数 2 为⊙O的切线.(2)：∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD= ∠ACB,△ABB△CBA器-器AB=-BC·BE 25,.AB=5.如图2，连接AG,则∠BAG=∠BAD+∠DAG, ∠BGA=∠GAC+∠ACB.:G为△ACD的内心，'.∠DAG= ∠GAC,又·∠BAD=∠BCD=∠ACB,.∠BAD+∠DAG= ∠ACB+∠GAC,即∠BAG=∠BGA,∴.BG=AB=5. 图1 图2 第3课时探索三角形相似的条件(3) 课堂演练 1.D解析：阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故 两个三角形相似，故A选项不符合题意；两个三角形的对应边 成比例且夹角相等，故两个三角形相似，故B选项不符合题 意；阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角 形相似，故C选项不符合题意；两个三角形的对应边不成比 例，故两个三角形不相似，故D选项符合题意.2.D解析： :∠CAD=∠BAC,∠ADC=∠ACB,∴.△ADC△ACB,故 A选项不符合题意；·'∠CAD=∠BAC,∠ACD=∠ABC, ∴△ADC∽△ACB,故B选项不符合题意；，∠CAD= ∠BAC,A把-S△MDCn△ACB,放C选项不符合题 意：由∠CAD=∠BAc,是无法判定△AD0△ACB. 故D选项符合题意。3.号解析：AB=3,D是AB的中 点，AD-号AB=是.当△ADEn△ACB时，铝-A怨，即 3 =子，AE=号.454或罗 AE 2 9 3 解析：若△AOCn △B0D,部8品即兴易解得QA=5:者△M00 △D0B8器-8器，即9-锅解得QA=空综上所述， OA的长为54或孕.5.证明：△PBC是等边三角形， ∴.BP=PC=BC=6,∠PBC=∠PCB=60°，.∠ABP= ∠cp=12器=是0号-号器0， ∴.△ABP∽△PCD.6.证明：(1)∠BAD=∠CAE, ∠ABD=∠ACE,△ABD△MCE是-0AB· AB=AC·AD(2)由a,得是=是器-怨又 ∠BAD=∠CAE,∴.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, 即∠BAC=∠DAE,.△ADE∽△ABC. 课后拓展 7.C解析：，AD:AC=1:3,.AD:DC=1:2.△ABC 是正三角形，∴.AB=BC=AC,∠A=∠C=60°.，AE=BE, .'.AE:BC=AE:AB=1:2,.'AD:DC=AE:BC, .△AED∽△CBD.8.C解析：，四边形ABCD是正方 形，∴.∠B=90°.AE⊥EF,∠AEF=90°，∠BAE+ ∠AEB=-∠FEC+∠AEB=90°，∴.∠BAE=∠CEF, 学·九年级下册(SK版) 1 △CE△BAE景-品E是BC的中点，BE= cE=0=AB器=分暖=寸器= CF 1 BC 小器=有放①正确：△CEF∽△BAE,器-蛋器， :∠B=∠AEF=90,△ABE△AEF,÷船=怎. ∴.AE=AB·AF,AD=AB,∴AE=AD·AF,故②正确； 0-2架-专，能≠架△ADF与△ABE不相 AD 4 似，故③错误；由以上证得△CEF△BAE,△ABEp△AEF, '.△CEF∽△EAF,故④正确.综上所述，正确的结论是①② ④，共3个.9.1解析：，△ABC、△DCE、△FEG是三个 全等的等腰三角形，.FG=AB=√3，EG=BC=1,BG=3BC= 3,-5,=-=5,照-照.：∠GE=∠BGR, 沁3·元肩=3…瓷 △BPPEG,器-8票.FG=-FE.BF=BG=8 ∠AcB=∠GAC/RG器寸BP-寸F=L 10.2或3+√7或3一√7解析：设AP=x,则BP=6-x. :∠A=∠B=90°，∴△PAD与△PBC相似，可以分为两种 情况：①当∠APD=∠BPC时，△APDO△BPC,则部- 识即产一合，解得x=2,@当∠APD=∠CP时， △MPDn△BCP,则品即号-写六解得=3士7， 综上所述，PA的长为2或3+√7或3一√7.11.证明： (1),AF⊥BC,CE⊥AB,.∠AFB=∠CEB=90°.：∠B= ∠B,∴△BAFn△BCE.2)H△BAF∽△BCE,BE 器既=.：∠B=∠B,∴△BEPn△BCA12.证 明：(1)AB=AC,.∠B=∠C.∠BDE=180°-∠B- ∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,且∠DEF=∠B, ÷∠BDE=∠CB,△BDB△CBR,8器-8器 (2)由 （,得器-器E是BC的中点BE=CE,票-器 :∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,.∠DFE= ∠EFC,即FE平分∠DFC. 第4课时探索三角形相似的条件(4) 课堂演练 1.C解析：A选项满足三个角对应相等；B选项满足三边对 应成比例；D选项满足两边对应成比例且夹角相等；只有C选 项不满足判定三角形相似的条件.2.C解析：设△DEF 的另两边长为xcm、ycm.若△DEF中4cm的边与△ABC 中6m的边对应，则青=元=音，解得x=5,y=6:若 △DBF中4m的边与△ABC中7.5cm的边对应，则是 看=寸，解得x=3.2,y=4.8;若△DEF中4cm的边与 △ABC中9cm的边对应，则号=普=六解得x=号y= 综上所述，只有C选项符合题意。3.C解析：由勾股定 课时提优计划作业本·数 2 理求出图①中三角形的各边长分别为2、√2、√10，图③中三 角形的各边长分别为2反2,25.“2号-号，爱-号， 2√22'2√5 .2=巨=，两个三角形的三边对应成比例，∴①和 2√222√5 ③相微，4△ANBC∽△ABC证明：8器- =3, ∠A0C=∠A'OC,∴.△A0Cn△A'OC',.:Ag=0A' AC-O1=3, 同理可符瓷-3，器-3瓷-瓷-答， ∴△A'B'C'∽△ABC.5.证明：如图，连接OA,OB,OA', OB'.:点O、O分别是△ABC、△A'B'C的外心，∴.OA= 0B=0c,0A=0g=0c.0-品.0-器 AB OA 帶△OABn△0A'B,∠AOB=∠AOB.∠ACB= ∠A0B,∠ACB=∠AO'B,LACB=∠ACB. ∠BAC=∠BA'C',.△ABCP△A'B'C 课后拓展 6.B解析：设网格的边长为1，则AC=√5，AB=√20，BC= √25.如图，连接P2P,则DP=√2，DP2=√8，P2P=√10. 5=2@=2 √2 ,△ACB∽△DPP.同理可找到 △DP2P4、△DP4P和△ACB相似，故所有符合条件的三角 形有3个. E 7.D解析：，△ABC的三边长分别为AB=1,BC=√2， AC=√5，而在2×4的正方形方格中最长的线段为25，.可 将三角形扩大到原来的2倍，这样的三角形有16个，扩大到 原来的2倍，这样的三角形有4个，∴.共有20个.8.(1)证 明：“铝-器-能△ABC△ADE（2)证明： :△ABCP△ADE,∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠DAF= ∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE.(3)·'△ABC∽ △ADE,.∠ABC=∠ADE.I∠ABC=∠ABE+∠EBC, ∠ADE=∠ABE+∠BAD,.∠EBC=∠BAD=18°.9.如 图所示. (相似比为2：1) (相似比为2√3：1)（相似比为4：1） 学·九年级下册(SK版) 2 第5课时探索三角形相似的条件(5) 课堂演练 1.C2.B解析：如图，连接AG并延长交BC于点H. G是△ABC的重心器=子.：DE/BC△ADE☑ △MBc器铝铝-号：DE=4-6 B H (第2题) (第3题) 3.B解析：如图，连接BG并延长交AC于点D.,G是 △ABC的重心，CD=号AC=号×12=6，器=号 BG/AC,△BBG∽ABCD,小品-器-号GB=4 4.√5解析：如图，延长AG交BC于点D.:G是△ABC的 重心，CD=DB=合BC=合×3=是，AG=号AD, :△ABC是等腰直角三角形，AC=3,.AD=√AC+CD 35,AG=号AD=5. C G B 5.12解析：G为△ABC的重心，∴.BD=CD,BC=2CD, B器-3：GE∥AC,△DB△DCA,B咒-B=3 DE=2,.DC=6,BC=2×6=12.6.连接CG并延长 交AB于点H.G是△ABC的重心，∴器-号：EF/ AB需-贯-器-景A8-12-87a元 明：如图，设GH=a.G是△ABC的重心，.CG=2HG= 2a,CH为边AB上的中线，.CH=AH=BH=3a,.∠1= ∠B..AGI CG,∴.∠2+∠3=90°，又.'∠1+∠2=90°， ∠1=∠3，∴.∠B=∠3，又：∠ACB=∠AGC=90°， ∴△CAG∽△ABC.(2),G是△ABC的重心，∴.CG= 2HG,HG=号CH,SACH-=号Sa.CH为边AB上 的中线，S6a=256A,∴S6am=日S,∴SH: H B 课时提优计划作业本·数 ●2 课后拓展 8.B解析：根据题意，得∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE, .O为角平分线的交点，则点O是△ABC的内心.9.B 解析：如图，延长BG交AC于点H.,G是△ABC的重心， ∴AH=CH,BG=2GH.AG⊥GC,∴.AC=2GH,∴.BG= AC.由勾股定理得AC=√AG+GC2=5,∴.BG=5. B 10,吕解析：根据题意可知，CP,Q三点共线在R△ABC 中，∠C=90°，AC=15,BC=8,.由勾股定理得AB= √/AC+BC=√15+82=17.：Rt△ABC的外心为Q, CQ-AB=号.R△ABC的重心为P,PQ=号CQ 6·11.(-1,-2)或1,2)解析：连接BM并延长，交 1 x轴于点H.,OB=BC,M为△OBC的重心，∴.BH⊥CO, ∴∠OHM=90°.点B(-2,3),.点M-2,1),即MH=1, HO=2.①若△OBC绕点O顺时针旋转90°，如图1，过点M 作M'D⊥x轴，∴.∠MOM=∠MDO=90°，∴.∠MOC+ ∠MOD=∠M+∠MOD=90°，.∠M=∠MOC. ,∠OHM=∠MDO=90°，OM=OM,∴.△OHM≌△MDO (AAS),.OD=MH=1,MD=OH=2,∴.点M(1,2);②若 △OBC绕点O逆时针旋转90°，如图2，过点M作ME⊥ y轴，同理可得点M'(一1，一2).综上所述，旋转后三角形的重 心的坐标为（一1，一2）或(1,2) 10 M E 图1 图2 12.(1)如图1，以点G为圆心、GM的长为半径画弧交AG于 点K,分别以点M和点K为圆心、大于号MK的长为半径画 弧，两弧交于点L、H,作直线LH.分别以点B和点G为圆心、 大于号BG的长为半径画弧，两弧交于点P,Q,作直线PQ交 直线LH于点O,以点O为圆心、OG的长为半径作⊙O,则 ⊙O即为所求.(2)如图2，延长G0交⊙O于点T,连接 BT、BO,则∠BTG=∠GEM.∠GEM=45°，∴.∠BTG= 45°，∴.∠BOG=2∠BTG=90°.，⊙O与AM相切于点G, :AMLG,BO∥AM,△ADG△BDO,-88 ,G是△ABC的重心，DG=GM=2,∴.AG=2GM=2X2=4, 设⊙0的半径为r,则0D=0G-DG=r-2,4=,2) r r-2' 解得，=4，S8mm-90式4=4,5x=合B0·0G= 360 X4X4=8,S号形c=S前形0Bc-SG=4r一8. 1 学·九年级下册(SK版) 3 B E M 图1 图2 13.(1)证明：如图，连接OE.,OB=OE,∴∠OBE=∠OEB. ,∠ACB=90°，.∠CBE+∠BEC=90°.，BD是⊙O的直 径，∠BED=90°，.∠DBE+∠BDE=90°.∠BEC= ∠BDE,∴∠CBE=∠DBE,∴∠CBE=∠OEB,∴.OE∥BC ∴∠OEA=∠ACB=90°，∴.OE⊥AC.又，OE是⊙O的半径， .AC是⊙O的切线.(2)：OE∥BC,.△AOE∽△ABC, 器噩号怎号-号0E/c ÷△0En△CB,2器-=号. 专题5相似三角形的基本模型 1.B解析：四边形ABCD是平行四边形，∴OC=号AC :E为OC的中点，CE=OC=子AC:EF∥AB, “△CERACAB,∴器-，即平=子，iEF=1 2.29或解析：设AP=x“∠C=90,BC=3,AC=4, .AB=√32+4=5.，△PQB沿PQ折叠得到△PQD,点B 的对应点是D,∴.PD=PB=5-x.如图1，若∠APD=90°， ∠DAP=∠BAC,∠APD=∠C,△APDn△ACB, 器，即青=5写，解得x=号；如图2，若∠ADP=90, :∠DAP=∠BAC,∠ADP=∠C△MPD△MBC, 设即号-5号，解得x一复综上所述，AP的长为9或得 图1 图2 3.B解析：由题意可知，CD∥AB,△COD∽△BOA, :瑞号“AB=50em,CD=号X50=19(em）. 4.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD, ∴∠ABE=∠CGE.又.∠AEB=∠CEG,∴.△ABE∽ △CGE.(2)设FD=m,则AF=2m,.AD=AF+FD= 2m十m=3m.,四边形ABCD为平行四边形，∴.AD∥BC, BC=AD=3m,∴.∠EAF=∠ECB,∠AFE=∠CBE, 课时提优计划作业本·数 ●2 △AEFU△CEB,瓷-能-=景又：△ABEO △cE,器-能-景5(a证明：∠A=∠A,∠B= ∠ACD,.△ABC∽△ACD.(2)由(1)，得△ABC∽△ACD, S-A是AC=AD·AB=2X6=12在R△DAC中， 由勾股定理得CD=√AC+AD=√12十2=4.6.证明： .∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.：DE⊥AB,∴.∠ADE= ∠ADC+∠CDE=90°.CD=CA,∴.∠A=∠ADC,.∠CDE= ∠B又：∠DCE=∠BCD,∴△CDED△CBD.7.5 解析：.四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，.∠B= ∠C=∠EFG=90°，BC=CD=12,∴.∠1+∠2=∠2+∠3= 90,∠1=∠3，△BEFn△CFD,8器-器BF=3, ..CF BC-BF 12-3=9,.FD=CD+CF= +9=15,∴是-器EF只，即小正方形的边长 4 为 D 3 H (第7题) (第9题) 8.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠B= ∠C=60°，∴.∠BAD+∠ADB=180°-∠B=180°-60°= 120°.，∠ADE=60°，.∠ADB+∠CDE=180°-∠ADE= 180°-60°=120°，∴.∠BAD=∠CDE,.△ABD△DCE. ②由D,得△ABD△DCE,瓷器即-专 .AB=16,即△ABC的边长为16.9.(1)证明：△AOB △AOB,8-8"∠0B=∠AOB,∴品8， ∠AOB+∠BOA'=∠A'OB'+∠BOA',即∠AOA'=∠BOB ∴.△AOA'△BOB.(2)由(1)，得△AOA'△BOB', .∠OAA'=∠OBB.设AC与OB交于点E.:∠OAA'+ ∠AEO+∠AOB=∠OBB'+∠CEB+∠ACB=180°，∠AEO= ∠CEB,∴∠ACB=∠AOB=44°.10.(1)如图，连接AF、 AC由正方形的性质，得器-是=-区，∠BAC-=∠PAF=45 ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC.即∠BAE=∠CAF, ÷△ABEAACF,C=S=2. BE AB (2)连接AC.当点G、F、C共线时，△ACG是直角三角形.易知 AG=AE=FG=√5，AC=√2AB=5V2,则CG=√AC-AG= √(5√2)2-(W5)2=3√5，则CF=CG-FG=3√5-√5= 25.由(1，得器-E,BE=受cF=号×25=而. 2 学·九年级下册(SK版) 4.课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)>) 6.4探索三角形相似的条件 第1课时探索三角形相似的条件(1) 课堂演练 1.(教材引例变式)如图，已知直线a∥b∥c,分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F,下列结 论正确的是 () AC_BD A.定BF A膘 c架器 n部器 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，E是□ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于点F,则图中共有相似 三角形 () A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3.如图是某商店售卖的花架，其中AD/∥BE∥CF,DE=24cm,EF=40cm,BC=50cm,则 AB的长为 cm. 4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C 都在横线上.若线段AB=5,则线段BC的长为 5.如图，在△ABC中，EF∥CD,DE∥BC,求证：AF:FD=AD:DB. 6.如图，已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求线段BF的长 50》 第6章图形的相似 课后拓展 7.如图，在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别交上、下底于 点E、F,则图中线段比与OE：OF的比值相等的有 ( ) A.4个 B.5个 C.7个 D.8个 0 (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 8.如图，□ABCD的对角线AC与BD交于点O,且AD=3,AB=5,在AB的延长线上取一 点E,使AB=3BE,连接OE交BC于点F,则BF的长为 ) A号 R c D.1 9.如图，AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.若EF是△ODB的中位线，且 EF=2,则AC的长为 10.如图，直线1∥2∥L3,等腰直角三角形ABC的三个顶点A、B、C分别在直线11、l2、l3 上，∠ACB=90,AC交1：于点D.若4与：的距离为1，山与4的距离为4，则部的值 是 11.如图，已知D为△ABC的边AC的中点，AE∥BC,ED交AB于点G,交BC的延长线 于点F.若BG:GA=3:1,BC=8,求AE的长， 12.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究 这个图形时得到如下结论： ①当5-时是-号@当-时能-号®当需-时-7… 当品时，怎的值为多少？请说明理由。 《51T 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 第2课时探索三角形相似的条件(2) 课堂演练 1.下列命题一定正确的是 () A.两个等腰三角形一定相似 B.两个等边三角形一定相似 C.两个直角三角形一定相似 D.两个含30°角的三角形一定相似 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC,且∠DCE=∠B.下列结论 错误的是 () A.△ADEP△ABC B.△ADE∽△ACD C.△DEC∽△CDB D.△ADEP△DCB (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED=∠B.若AD=1,AB=3,AC= 2,则AE的长是 () A司 B.1 a D.2 4.如图，若∠BEF=∠CDF,则△ ∽△ C∽△ 5.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，且∠BCD=∠A,已知BC=2√2，AB=3,则AD 的长为 (第5题) (第6题) 6.如图，在⊙O中，AB=AC,则△ABDx∽ ;若AC=12,AE=8,则AD= 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD是△ABC的角平分线. (1)求证：△CBDp△CAB. (2)若AB=1,求AD的长. 52》 第6章图形的相似 课后拓展 8.如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC, DE=2.4,则AD的长为 ( A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 D R B B (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) (第12题) 9.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2,D为AB的中点.若点E在边AC上，且 把瓷，则A止的长为 () A.1 B.2 C1号 D.1或2 10.如图，在长方形ABCD中内接三个大小相同的正方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC CD、AD上.若AB=6cm,AD=5cm,则每个小正方形的面积为 cm2. 11.如图，已知BD⊥AB,AC⊥AB,AB=8,AC=3.E是线段AB上一动点，过点E作CE 的垂线，交射线BD于点F,则BF长的最大值是 12.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点B出发沿边BA向 点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移 动.当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点同时停止运动.设运动时间为ts,则当 t- 时，△PAQ与△ABC相似， 13.如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上且∠BCD= ∠ACB,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证：AF是⊙O的切线. (2)若G是△ACD的内心，BC·BE=25,求BG的长. O·G 《53 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)) 第3课时探索三角形相似的条件(3) 课堂演练 1.在△ABC中，∠A=75°，AB=6,AC=8,将△ABC沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原 三角形不一定相似的是 ) A 750 759 A B D 2.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB 的是 () A.∠ADC=∠ACB B.∠ACD=∠ABC c怨怒 D.BC-AB CDAC 450367B 30D (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得 △ADEp△ACB,则AE的长为 4.如图，AB、CD交于点O,且OC=45,OD=30,OB=36,当OA= 时，△AOC与 △BOD相似. 5.如图，已知点B、C在线段AD上，且AB=9,CD=4,△PBC是边长为6的等边三角形. 求证：△ABP∽△PCD. 6.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE. (1)求证：AB·AE=AC·AD. (2)求证：△ADE∽△ABC. 54》 第6章图形的相似 课后拓展 7?如图，在等边二角形ABC中，点D,E分别在AC、AD上，且是-了AE=BE,则下列= 角形中，与△AED相似的是 () A.△BED B.△ABD C.△CBD D.△ABC (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 8.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF.给出下列结论： @号票-：②AE=AD·AF③△ADFn△ABE:@图中有3对相似=角形，其中正确 的结论有 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一 条直线上，且AB=√3，BC=1,则BP的长为 10.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=6,AD=1,BC=2,P为边AB上的动 点，当△PAD与△PBC相似时，PA的长为 11.如图，已知AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是F、E. (1)求证：△BAFp△BCE. (2)求证：△BEF∽△BCA. 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、F分别在边AB、AC上，点E在边BC上移动（不与 点B、C重合)，且满足∠DEF=∠B. （求证票-票 (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 55 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 第4课时探索三角形相似的条件(4) 课堂演练 1.给出下列条件，△ABC与△A'B'C不一定相似的是 A.∠A=∠A'=4538',∠C=2622',∠C=108 B.AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=12,B'C=8,A'C'=16 C.BC=a,AC=b,AB=c,A'B'=√a,B'C'=√b,A'C'=√c D.AB=AC,A'B'=A'C',∠A=∠A'=40° 2.已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm,△DEF的一边长为4cm,当△ABC与 △DEF相似时，则△DEF的其余两条边长分别是 () A.2cm、3cm B.4cm、5cm C.5cm、6cm D.6cm、7cm 3.如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ① ② ⊙ ④ A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 如图，0是△ABC外的一点，分别在射线OA,OB,0C上取一点A'、B',C,使得% 器瓷-3，连接AB',BC.CA,同：△ABC与△AC是否相似？请证明你的结论 5如图，点O.0分别是△ABC,△ABC的外心，连接0C,0C,A8-C,∠A=∠A, 求证：△ABC∽△A'B'C. 56》 第6章图形的相似 课后拓展 6.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上.P1、P2、 P3、P4、P是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使 它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 P (第6题) (第7题) 7.如图，在2X4的正方形网格中有格点三角形ABC(顶，点在正方形的顶点上的三角形叫作 格点三角形)，则网格中与△ABC相似但不全等的格点三角形共有 () A.4个 B.8个 C.16个 D.20个 8如图，点RD,E在同一条直线上，E与AC相交于点下，月铝器怨 (1)求证：△ABC∽△ADE. (2)求证：∠BAD=∠CAE. (3)若∠BAD=18°，求∠EBC的度数. ，刻图，△ABC的边长分别为分受、1，正六边形网格是由21个边长为1的正三角形组成 的，每个正三角形的顶点称为网格的格点.在下面三个正六边形网格中各画出一个三角 形（画出三角形，并用阴影填充），使其同时满足下面三个条件：①三个三角形的顶点都在 格点上；②三个三角形都与△ABC相似；③三个三角形的面积大小都不同.并直接写出 三个三角形与△ABC的相似比， 《57 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)>》 第5课时探索三角形相似的条件（⑤） 课堂演练 1.△ABC的重心是 () A.△ABC三边的垂直平分线的交点 B.△ABC三个内角平分线的交点 C.△ABC三条中线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,DE与边AB相交于点D,与边AC相交于点E.若DE过 重心G,且DE=4,则BC的长是 () A.5 B.6 C.7 D.8 D D E (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 3.如图，G是△ABC的重心，GE∥AC交BC于点E.若AC=12,则GE的长为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 4.如图，G是等腰直角三角形ABC的重心，若CA=CB=3,则AG的长为 5.如图，G为△ABC的重心，GE∥AC,若DE=2,则BC的长为 6.如图，G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D,过点G作EF∥AB交BC于 点E,交AC于点F.若AB=12,求EF的长. B ED 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，G是△ABC的重心，且AG⊥CG,CG的延长线交AB 于点H. (1)求证：△CAGp△ABC. (2)求S△AGH:S△ABc的值. 58》 第6章图形的相似 课后拓展 8.如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕AD,再将△ABC折叠，使 边BC落在边AB上，展开后得到折痕BE.若AD与BE的交点为O,则点O是() A.△ABC的外心B.△ABC的内心C.△ABC的重心D.△ABC的中心 3 (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) 9.如图，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC,AG=3,GC=4,则BG的长为() A号 B.5 c号 D.7 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15,BC=8,则Rt△ABC的重心P与外心Q之间 的距离为 11.如图，在平面直角坐标系中，点B(一2,3)，点C在x轴的负半轴上，OB=BC,M为△OBC 的重心.若将△OBC绕点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 12.如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作⊙O,使得⊙O经过点B,且与AM相切于点 G.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，设AB与半径OG相交于点D,⊙O交BC于点E,连接GE.若DG= GM=2,∠GEM=45°，求弓形BEG的面积.（如需画草图，请使用图2) 图1 图2 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心、OB的长为半径作 ⊙O,交AC于点E,交AB于点D,且∠BEC=∠BDE (1)求证：AC是⊙O的切线， (2)连接0C交BE于点下，若器-号，求8票的值 59