6.4 探索三角形相似的条件-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

.'.∠BAC-∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. ,∠CAE+∠E=∠EBC+∠C, ∴.∠EBC=∠CAE=∠BAD. ∠BAD=35°，∴.∠EBC=35 易错警示一 不能正确理解图形相似的概念 解决这类问题时，往往会出现 难以下手或不能正确解题的现象， 究其原因是未从多边形相似的概 念入手，解答本题时，应利用图形 中隐含的对应角相等的关系，找出 相等的角，使待求的问题逐步转 化，进而求得∠EBC=∠CAE ∠BAD,从而解决问题. 12.(1)不相似」 理由：AB=20m,AD=30m,小路 的宽为2m, .EF=24m,EH=34m. AB20.5AD3015 示=24=6m347 “部韶 ∴.矩形ABCD与矩形EFGH不 相似 (2),相对的两条小路的宽相等， ∴.EF=(20+2y)m,EH=(30+ 2.x)m. :矩形EFGH∽矩形ABCD, EF EH ·ABAD ·20+2_30+2z 20 30 ∴.小路的宽x(m)与y(m)的比值 为号 13.(1)菱形AEFG∽菱形 ABCD, .∠EAG=∠BAD. ∴.∠EAG+∠GAB=∠BAD+ ∠GAB,即∠EAB=∠GAD ,·四边形AEFG、四边形ABCD均 为菱形， ∴.AE=AG,AB=AD. 在△AEB和△AGD中， AE=AG, ∠EAB=∠GAD AB=AD, '.△AEB≌△AGD .'EB=GD. (2)连接BD,交AC于点P. ,四边形ABCD为菱形， AB-AD,ACBD,BP-7BD. ∠BAD=60, '.△ABD是等边三角形 ∴.BD=AB=2. ·.BP=2BD=1 '.在Rt△PAB中，由勾股定理，得 AP=√JAB2-BP=√/3 由(1)，得EB=GD,AE=AG. AG=5, .AE=√3 ∴.EP=AE+AP=23 ∴.在Rt△EPB中，由勾股定理，得 EB=V√EP2+BP=√I3. .GD=13 6.4探索三角形相似的条件 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.C3.10 4..·DE∥BC,EFCD, .AD_AE AFAF AB AC'AD AC .AD-AF AB AD' '.AD=AF·AB,即AD是AF与 AB的比例中项. 5.C 6.B解析：如图，标出各点.这三 个正方形的边都互相平行， .△FGH∽△DEF.∴. GH FG EF一DE ℃6一x 69-6 ,解得x=4. D 9 H (第6题) 7.B解析：如图，过点D作DF∥ AE,交BC于点F.,O为BD的中 点，.OB=OD..BE=EF 器-又：AD:DC=1:2, 23 ∴.EF:FC=1:2..BE:EC= 1：3. 0 BE F (第7题) 8.6 9.10解析：AE:EC=2:3, ∴.AE:AC=2:5..EF∥CD, .AE:AC=EF:CD.又EF= 2,.CD=5.在Rt△ABC中，D 是AB的中点，∴.AB=2CD=10. 10.AD//BC, ∴.△AOM∽△CON. AM AO ·CN-co1 AD∥BC, ∴.△AOD∽△COB. …品铝 …兴提 AD//BC, ∴.△PMDO△PNC ·畏黑 AD//BC, ∴.△PAD∽△PBC. “咒提 架欲 ·兴恕 .AM=MD. 11..DE∥BC, .△ADEc△ABC …0报器=台=3 照号贵景 MN∥BC,DE∥BC ∴.DEMN. '.△CDEc∽△CMA DE CE 2 ·MnCA3 又DE=2, .MA=3. 同理，可得AN=3. .'MN=MA+AN=6 12.2:3解析：过点F作FE∥BD, 交AC于点E.∴.△AFE∽△ABC 畏-福：AP:即=1：2 3BC.BC:CD=2:1.CD= BC.:FE∥BD,.△EFNO 1 △cN.- 3 即FN:DN=2:3. 方法归纳 过分点作平行线将线段比 进行转化 探求图形中同一条直线上的 两条线段比的问题时，往往利用图 形中已有线段的分，点，作出适当的 平行线构造相似三角形，从而将待 求的问题进行转化.这类问题的解 答方法往往是不唯一的 13.(1)·△ACD和△BCE均为等 边三角形， ..DC=AC,EC=BC,∠ACD= ∠BCE=60°. ∴.∠DCB=∠ACE=120°. 在△ACE和△DCB中， AC=DC, ∠ACE=∠DCB, EC=BC, ∴.△ACE≌△DCB. .'AE=DB. (2)MN//AB. 由(1)，可知△ACE≌△DCB. ∴.∠MEC=∠NBC. 又.∠MCE=180°-60°-60°=60°， ∴.∠MCE=∠NCB=60°. 在△MCE和△NCB中， |∠MEC=∠NBC, EC=BC, ∠MCE=∠NCB, ∴.△MCE≌△NCB. .CM=CN. 又.∠MCE=60°， ∴.△CMN是等边三角形. '.∠NMC=∠ACD=60. .∴.MN∥AB. (3)存在. 设AC=x(0<x<10),MN=y. .MN∥AB, .MN_EN AC EC :△CMN是等边三角形， ∴.CN=MN=y. 又.EC=CB=AB-AC=10-x, .∴.EN=EC-CN=10-x-y y 10-x-y 10-x 1 整理，得y= 10x2+x= 10 (x 5)2+2.5. 0,0<x<10, 10 ∴.当x=5,即AC=5时，线段MN 的长取得最大值，最大值为2.5. ∴.存在一个位置使MN的长最大，此 时AC=5,MN=2.5. 第2课时两角分别相等的 两个三角形相似 1.B2.C3.44.50或70 或160 5.(1).四边形ABCD是正方形 ∴.AD=DC,∠ADE=∠CDE=45, AD∥BC. 在△ADE和△CDE中， AD=CD, ∠ADE=∠CDE, DE=DE, .△ADE≌△CDE. ∴.∠DAE=∠DCE. (2)由(1)，知ADCF, ∴∠DAE=∠F. ∴.∠DCE=∠F 又.∠CEG=∠FEC, '.△EGCc∽△ECF. 6.B7.C 4 8.3 解析：∠ABD=∠BDC 90°，∠A=∠CBD,.△ABDC △BDC.∴. BD-CD AB =3. ABDB D=2号品CD 3 .4 24 9.△ACD 解析：∠BAC= ∠BDC,.∠AFD-∠BAC= ∠AFD-∠BDC..∠ABE= ∠AFD -∠BAC,∠ACD ∠AFD-∠BDC,∴.∠ABE= ∠ACD. ∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+ ∠CAE.∴.∠BAE=∠CAD. ∴.△ABE∽△ACD. 10.3 11.(1).四边形ABCD是平行四 边形， .CD∥AB. .∠DCA=∠BAC. 又.CA平分∠BCD, ∴.∠BCA=∠DCA=∠BAC. .BC=AB. ,'.四边形ABCD是菱形 (2)由(1)，知∠DCA=∠BAC. ,·四边形ABCD是菱形， ∴.∠ABC=∠D. 又∠E=∠ABC, ∴∠D=∠E. '.△ACDc∽△BAE 12.(1)四边形ABCD是平行四 边形， ∴.OB=OD. OE=OB, ∴.OB=OE=OD. ∴.∠OBE=∠OEB,∠ODE=∠OED. 在△BDE中，∠OBE+∠OEB+ ∠ODE+∠OED=2(∠OEB+ ∠OED)=180°， ∴.∠BED=∠OEB+∠OED=90, ∴.△BDE是直角三角形 (2)△BDE∽△DCE. 理由：OE⊥CD, ∴.∠EDC+∠OED=90°， 由(1)，得∠OED+∠OEB=90. ∴.∠EDC=∠OEB. 又∠OBE=∠OEB, ∴.∠OBE=-∠EDC. 在△BDE和△DCE中， ,'∠EBD=∠EDC,∠BED=∠DEC, ∴.△BDE∽△DCE. 13.√3解析：∠OCA与∠AOB 互补，∴.∠OCA+∠AOB=180°，即 ∠OCA+∠COA+∠BOC=180°.又 :∠OCA+∠COA+∠OAC=180°， .∠OAC=∠BCOC..·∠OCA= ∠BCO,.△ACO∽△OCB. 瓷-瓷o=·AC= 2×1.5=3..0℃=√5（负值舍去）. 一方法制归纳 构造相似三角形求线段长 解决这类问题时，往往可以根 据图形的性质寻找隐藏在图形中 的相等的角，得到相似三角形，并 运用相似三角形的性质得到对应边 成比例，从而求得待求线段的长。 14.△ABEC∽△DAF,△DAFc∽ △GAE,△ABE∽△GAE 在梯形ABCD中，AD∥BC,AB= AD-CD. .易得∠BAD=∠ADC, DE=CF, ∴.AE=DF. '.△ABE≌△DAF,即△ABEC △DAF ∴.∠ABE=∠DAF :∠AEB=∠GEA, ∴.△ABE△GAE. .△DAFO△GAE. 第3课时两边成比例且夹角 相等的两个三角形相似 42 、49 1.C2.A3.6413s或1s 5.(1)∠ADE=∠B, .DE//BC. “治光 (2).AD2=AF·AB, “裙器 .相品能 AC “装福 ∠A=∠A, .∴.△AEFc∽△ACD 6.D 7.A解析：由题意，易得AC= √2AB,AD=√2AE.. AB_AE.易 AC AD 得∠BAC=∠EAD=45°， ∴.∠BAC+∠CAE=∠EAD+ ∠CAE,即∠BAE=∠CAD. ∴.△BAE∽△CAD.故①正确. :△BAEC∽△CAD,∴.∠BEA= ∠CDA.又.'∠PME=∠AMD, :.△MPE∽△MAD.MA-MD MP ME '.MP·MD=MA·ME.故②正 确.MP·MD=MA·ME, 器=端又：∠PM ∠EMD,..△PMAC∽△EMD. ∴.∠APM=∠DEM=90°. .∠CPA=90°.：∠CAM=180° ∠BAC-∠EAD=90°，∴.∠CPA= ∠CAM.又：∠ACP=∠MCA, &△CP△CMA.器 .CA=CP·CM.易得CA= √2CB,.2CB2=CP·CM.故③正 确.综上所述，正确的是①②③. 8.号或5解析：设BE=x,则BC 10一x.由折叠的性质，知EF=BE x.分两种情况讨论：①当△FECC∽ EF EC △ABC时，=瓷，· 19。,解得x=智②当△FEPC △ABc时，需=器言 0。,解得x=5,综上所述，当 BE=号或5时，以E,F.C为顶点的 三角形与△ABC相似. 9.45°解析：易知点B、C、F、G在同 一条直线上.设正方形的边长为a,则 AC=√a+a=√2a,CF=a,CG= a等--6亮 “器-器即瓷-黑 又，∠ACF=∠GCA,∴.△ACF∽ △GCA.∴.∠CAF=∠1.，∠CAF+ ∠2=∠ACB=45°，.'.∠1+∠2=45 25 10..CD⊥AB .∠ADC=∠CDB=90° ∴.∠CAD+∠ACD=90° ,∠ACB=90°， '.∠ACD+∠BCD=90° '.∠CAD=∠BCD ∴.△ACDC△CBD. “答品 ,△ACE和△BCF都是等边三 角形， ∴.AE=AC,CF=CB,∠EAC=60°， ∠FCB=60° “普常器 :'∠EAD=∠EAC+∠CAD= 60°+∠CAD,∠FCD=∠FCB+ ∠BCD=60°+∠BCD, ∴.∠EAD=∠FCD. :部品 .∴.△ADEc△CDF 11.3或4解析：如图①，延长DA, 作点E关于AB的对称点E,连接 CE,交AB于点F1,连接CE,以CE 为直径作圆交AB于点F2、F3·当 m=4时，由已知条件可得DE=3,则 易得CE=5,即图中圆的直径为5，又 可得此时图中所作圆的圆心到AB的 距离为2.5，等于所作圆的半径，∴.点 F2、F3重合，即当m=4时，符合条件 的点F有2个.当m=3时，如图②， 若∠AEF=∠BFC,则要使△AEF∽ △BRC,需渠-，即A AE AF 3,解得AF=1或3.若∠AEF= A ∠BCF,则要使△AEF△BCF,需 AF AF=1.∴.当m=3时，符合条件的点 F有2个.当1<m<4且m≠3时，由 所作图形可知，符合条件的点F有 3个.当m>4时，由所作图形可知，符 合条件的点F有1个.综上所述，若 满足题意的点F恰好有两个，则m的 值为3或4. 2 ‘FF B ① ③ (第11题) 12.(1),△ABC和△ADE都是等 边三角形， .AB=AC,AD=AE,DAE= ∠BAC=60°. ∴.∠DAE-∠BAE=∠BAC ∠BAE,即∠BAD=∠CAE. .'.△BAD≌△CAE .BD=CE. 器1 (2),△ABC和△ADE都是等腰直 角三角形，∠ABC=∠ADE=90°， .∴.∠BAC=∠DAE=45. '.△ABCc∽△ADE “铝器 提 ·∠DAE=∠BAC, .'.∠DAE-∠BAE=∠BAC ∠BAE,即∠BAD=∠CAE. .'.△ADBc∽△AEC ·器提 设AB=x,则BC=x 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√2x. “器提后号 .CE=√2BD. (3)CE=√5BD. 解析：AB BC 架号8-：∠Ac ∠ADE=90°，∴.△ABCC△ADE. &∠BAC=∠DA,铝-答.即 铝-C&∠DAE-∠ME ∠BAC-∠BAE,即∠DAB= ∠EAC.'.△ADB∽△AEC 8器怨设AB=,期 2x.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BD AB 23 AC=6x.·CE-AC=5x3 即CE=√5BD. 第4课时三边成比例的两个 三角形相似 1.D2.B3.答案不唯一，如 BC=10,EF=5 4.(1)AB_BC_AC AD DE AE .△ABC∽△ADE. ∴.∠BAC=∠DAE. ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE ∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20° (2)△ABD与△ACE相似. AB AC 理由：·ADAE “般架 由(1)，得∠BAD=∠CAE. '.△ABD∽△ACE 5.B解析：设每个正方形的边长为 1,则三角形①的边长分别为√10 √5、5：三角形②的边长分别为√5 2√2、√7；三角形③的边长分别为 2√2、√0；三角形④的边长分别为 3、√2、√5，'.对应边成比例的是 ①③.∴.三角形①与三角形③相似. 6.B解析：“帅”“相”“兵”所在位置 的格点构成的三角形的三边长分别为 2、2√5、42，“车”“炮”之间的距离为 1,“炮”和②之间的距离为√5，“车”和 ②之间的距离为22.： 25 2√21 422“马”应落在@处 7.C 8.如图，△A'B'C即为所求作. =2X2X2+2X2X3=5. TT B (第8题) 26 9.△ABC△A,B,C1· 理由：如图，延长AD到点M,使 AM=2AD,连接BM,延长A1D1到 点M1,使A1M1=2AD1,连接 B1M1. :DM =AD,A:B AB AM- -A AD AD ,·AD是△ABC的中线， .BD=CD. 在△ADC和△MDB中， DA=DM, ∠CDA=∠BDM, CD=BD, ,'.△ADC2△MDB. .CA=BM,∠CAD=∠M. 同理，可得△A,D,C,≌△M1D1B1, ∴.AC1=M1B1∠C1A,D1=∠M. AB AC AM BM ·A,BA,CAM,B,M ∴.△ABM△A,B,M1. ∴.∠BAM=∠B1AM1,∠M=∠M. .∠CAD=∠C1A,D1. ∴.易得∠BAC=∠B,A,C1· :品 ∴.△ABC△A1B1C1. B D B D 1 M (第9题) 10.B解析：两根铝材的长分别 为27cm、45cm,若以45cm长的铝材 为一边时，另两边的和不大于27cm, 27<45,不能构成三角形，.必须以 27cm长的铝材为一边，用45cm长 的铝材截出另外两边.设另外两边长 分别为xcm、ycm(x<y).分三种情 况讨论：①当27cm与24cm相对应 时2器品-希解得=3双5y 40.5..33.75+40.5=74.25(cm), 74.25>45,∴.这种情况不成立.②当 27m与36m相对应时，器-是 六解得x=18y=2.5:25+ 18=40.5(cm),40.5<45,∴.这种情 况成立.③当27cm与30cm相对应 时器员-六解得=21,6 32.4.21.6+32.4=54(cm),54 45,.这种情况不成立.综上所述，满 足上述条件的截法有1种。 易错警示 用分类讨论法确定对应边求值 解决这类问题时，常常需要从 问题条件中挖掘隐含的条件，确 定不同的对应边，建立不同的比 例关系，进而确定三角形另外两边 的长。 1①品怨品∠A ∠A' (2)△ABC△A'B'C'. 理由：如图，过点D作DE∥BC,交 AC于点E,过点D作D'E∥B'C',交 A'C于点E. DE//BC, .△ADE∽△ABC AD_DE_AF AB BC AC 同理，可得AD_DEAE A'B二BC=AC 又：ADAD AB AB .DE-D'E'AE_A'E BCBC·ACAC : BC AC-AE =B'C' AC ACAE,即CES AC AC AC “瓷尧 :品瓷瓷， CD EC DE CD-EC DE ∴.△DCE∽△D'C'E'. ∴.∠CED=∠C'E'D' ,DE∥BC,D'EB'C', ∴.∠CED+∠ACB=180°， ∠C'ED'+∠A'C'B'=180° ∴.∠ACB=∠A'C'B' :瓷瓷， .△ABC∽△A'B'C'. B A (第11题) 第5课时与判定相似三角形 有关的应用和三角形的重心 1.C2.A3.44.60 5.(1)CD=CE, ∴.∠CDE=∠CED. :∠ADB=180-∠CDE, ∠CEA=180°-∠CED, ∴.∠ADB=∠CEA. 又∠DAC=∠B, '.△ACE∽△BAD. (2)·'△ACE△BAD, +部恶即ADmD:C AE CE=3,BD=4,AE=2, AD=4X3=6. 2 '.ED=AD-AE=6-2=4. 6.A解析：连接AG并延长，交BC 于点D.点G是△ABC的重心， AG ·D为BC的中点G品2.“CB- 12 CD-BD-BC6.GEL AC,.∠AEG=90°..∠C=90°， ∴.∠AEG=∠C..EG∥CD. △AEGn△ACD..CD=AD EG AG “部28号四-号 6=31 .EG=4. 7.A解析：四边形ABCD是菱 形，.AD∥BC,AB=CD.DE= CD,.DE=AB..四边形ABED 是等腰梯形.∴.AE=BD.故①正确. :AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAE. .易知DA=DC=DE,.∠DAE= ∠DEA..∠DEA=∠AEB..EA 平分∠BED.故②正确.四边形 27 ABCD是菱形，∴.∠ADB=∠BDC, ∠ADC=∠ABE.:四边形ABED 是等腰梯形，∴.∠ABE=∠BED= ∠ADC.'∠AED=∠AEB, ∴.∠ADF=∠AED=∠AEB= ∠CDB.∠DAF=∠EAD, :.△ADFD△AED.·AE=AD AD AF .AD2=AF·AE.故③正确. ,∠BEF=∠BDC,∠EBF= ∠DBC,∴.△BEFD△BDC. ÷器-既BE·风=m· BD.故④正确. 8.2.5解析：∠EBC=∠BAC, ∠BCE=∠ACB,'.△BECC∽△ABC. 瓷带孺：AB=6E 3…瓷器器=子：x= m0-器=：∠xE ∠ACD,∴.△CDE∽△CAD. ÷器贯需：D=5 ∴.DE=2.5. 9.3解析：如图，标出各点.·在 Rt△ABC中放置边长分别为1、2、x 的三个正方形，∴.∠C=∠MOE= ∠FPN=∠OEF=∠EFP=90. ∴.∠OME+∠OEM=90, ∠PFN+∠PNF=9O°，∠CEF+ ∠CFE=90°，∠CEF+∠OEM= 90°，∠CFE+∠PFN=90°. '.∠CEF=∠OME=∠PFN, ∠CFE=∠OEM=∠PNF. ∴.△CEF∽△OME∽△PFN. ÷張-即oE·Pp=OM· PN.EF =x,OM=1,PN=2, ∴.OE=x-1,PF=x-2..(x 1)(x-2)=2.∴.x=3或x=0(不合 题意，舍去).x的值为3. (第9题) 0号政 2 解析：分两种情况 讨论：①若等腰三角形的三个内角分 别为∠a、∠3、∠3，则∠a+2∠3= 180°.∠a=2∠3，∴.4∠3=180°， 解得∠3=45°.∴.易得此“倍角三角 形”为等腰直角三角形..易得腰长 与底边长的比值为号®若等膜三角 形的三个内角分别为∠a、∠a、∠B, 则2∠a+∠3=180°.，∠a=2∠3， .5∠3=180°，解得∠3=36°.如图， 在△ABC中，∠ABC=∠C=72°， ∠A=36°.过点B作∠ABC的平分 线，交AC于点D,则∠ABD= ∠CBD=36.∴.∠ABD=∠A. ∴.BD=AD.∠BDC=∠A+ ∠ABD=72°，∴.∠BDC=∠C. .BD=BC..AD=BD=BC.在 △BDC和△ABC中，·∠CBD= ∠A,∠C=∠C,∴.△BDC∽ △Mc·聚-瓷即 C C AC-BC.整理，得AC2-AC·BC BC BC2=0.等式两边同时除以BC2,得 (祭)-瓷-1=0，解得瓷 十1（负值已舍去）.·腰长与底边 2 长的比值为.踪上所述，这个等 腰三角形的腰长与底边长的比值为 号5 B (第10题) 11.OE⊥OB, ∴.∠BOE=90 .∠BOA+∠COE=90°. ∠BAC=90°， ∴.∠BOA+∠ABF=90. .∠ABF=∠COE. AD⊥BC, .∴.∠ADC=90 .∠DAC+∠C=90. ∠BAC=90°， '.∠BAF+∠DAC=90 ∴∠BAF=∠C. ∴.△ABF∽△COE. 12.(1),BD是⊙O的直径， .∠BAD=90. ∴.∠ABD+∠D=90° ∠C=∠D, ∴.∠ABD+∠C=90. BA平分∠FBC, .∴.∠ABF=∠ABC .AB=AC, .∠ABC=∠C .∠ABF=∠C. ∴.∠ABD+∠ABF=90. ∴.∠DBF=90°，即DB⊥BF. 又·BD是⊙O的直径， .BF是⊙O的切线. (2).·AE=4,ED=5, .∴.AD=4+5=9. 由(1)知，∠C=∠D,∠ABC=∠C, ∴.∠ABC=∠D,即∠ABE=∠D. 又∠BAE=∠DAB, .∴.△ABE△ADB. ·铝=福即受=希解得 AB=6(负值已舍去). .AB的长为6. 13.(1)由题意，得 16a+×4+(=0解得 5 = 12’ c=2, c=2. ∴.二次函数的表达式为y= +名+2 (2)由B(4,0)、C(0,2),可得直线BC 对应的函数表达式为y=一2x十2. △ABC为“平稳三角形”， ∴.易得yA=一yC=-2. 令-2=一是2+名x+2,解得x 7 学〔不合题意合去或=-2 .点A的坐标为(-2，一2). ,D是BC的中点， .点D的坐标为(2,1). 由A(-2,-2)、D(2,1),可得直线 AD对应的函数表达式为y= 28 令y=0,得x=号，则点G的坐标 为（号0 10 .BG= 3 ·△BDG的面积=2 XBGXyp= ×9×1 1、10 专题特训四相似 三角形的基本模型 1.C 2.D 解析：AB∥CD, ,'.△ABEc∽△DCE,△ABFC∽△GCF ∠BAE=∠D.:'∠FAE=∠B, .△ABE△DAG..△DAG∽ △IDCE..∠DAG=∠C. ∠AFE=∠CFG,∴.△EAF∽ △GCF.∴.△EAF∽△ABF.∴.题图 中相似三角形的对数是6. 3.2.5解析：，四边形ABCD是平 行四边形，∴.AF∥BC,CE∥AB, AD=BC.'.△AFG∽△CBG. .AF=GF CB GB 2.:AD BC, = .AF= AP,即肥= Af .CE∥AB, EF FD .△DFE∽△AFB..BF=FA 1 EF 1 2BG+GF=2,即 5=2,解 得EF=2.5. 4.(1)AF⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠AFB=∠CEB=90° 又.∠B=∠B .△BAFC∽△BCE (2)·△BAFc∽△BCE, 既受 “熙既 又，∠B=∠B ∴.△BEFc∽△BCA. 24 5. 6.(1).CE=CD,拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 6.4 探索三角形相似的条件 第1课时平行线分线段成比例 “答案与解析”见P23 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.(2025·哈尔滨模拟)如图，在△ABC中，点 5.如图，AB、CD相交于点E,且 D在BC上，连接AD,点E在AC上，过点 AC∥EF∥DB,点C、F、B在 E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作 同一条直线上.已知AC=, EG∥AB,交BC于点G,则下列式子中，一定 EF=r,DB=q,则p、q、r之 (第5题) 正确的是 ( 间满足的数量关系式为 A.BCCD AE EF EG EF B. AB CD A1+1=3 B1+12 rq卫 力rq CG AF AF BG C. BCAD D.FD GC + D.2+1=2 gr p 6. 如图，在Rt△ABC内画有边长分 别为9、6、x的三个正方形，则x的 D 值为 () (第1题) (第2题) A.3 B.4 C.3√5D.5 2.如图所示为一架梯子的示意图，其中AA1∥ BB1CC1DD1,且AB=BC=CD,为使其 更稳固，在点A、D1间加绑一条安全绳（线段 AD1).若AE=0.5m,则AD1的长为() B E (第6题) (第7题) A.0.8m B.1m 7.如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD: C.1.5m D.2m DC=1:2,O是BD的中点，连接AO并延 3.如图，DE∥BC,DF∥AC, 长，交BC于点E,则BE：EC等于() AD=4,AB=12,DE=5,则 A.1:2 B.1:3 线段BF的长为 (第3题) C.1:4 D.2:3 4.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥CD.求 8.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC 证：AD是AF与AB的比例中项. 上，连接DE、BE,BE平分∠ABC,DE∥ BC.若DE=2AD,AE=2,则AC= D (第4题) (第8题) (第9题) 9.如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，点 E、F分别在AC、AD上，连接EF、CD.若 EF//CD,AE:EC=2:3,EF=2,AB= 38 第6章图形的相似 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥ 粉思维拓展 BC,BA和CD的延长线交于点 12.*如图，在△ABC中，点F在AB P,AC和BD交于点O,连接PO 上，且AF:BF=1:2,D是BC 并延长，分别交AD、BC于点M、N.求证： 的延长线上一点，BC:CD=2: AM-MD. 1,连接FD,与AC交于点N,则FN: DN- D B C D (第10题) (第12题) 13.新考法·探究题(2024·南通海门模拟)如 图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC 为边在直线AB的同侧作等边三角形 ACD、等边三角形BCE,连接AE、BD分别 交CD、CE于M、N两点，连接MN. (1)求证：AE=DB. (2)判断MN与AB的位置关系. (3)若AB=10,当点C在AB上运动时，是 11.如图，在△ABC中，点DE分别在边AB、 否存在一个位置使MN的长最大？若存 AC上，连接DE,过点A作平行于BC的直 在，请求出此时AC的长以及MN的长；若 线，分别交CD、BE的延长线于点M、N.若 不存在，请说明理由 DEBC,DE=2,BC=6,求MN的长， M (第11题) (第13题) 39 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第2课时两角分别相等的两个三角形相似 》“答案与解析”见P24 自基础进阶 (2)△EGCp△ECF. 1.如图，在锐角三角形ABC中，BE、CD分别 是边AC、AB上的高，它们相交于点O,则图 中与△BOD相似的三角形有 ( A.4个B.3个 C.2个D.1个 (第5题) 幻素能攀升 6.如图，在□ABCD中，E是AB的延长线上一 (第1题) (第2题) 点，AB≠BE,连接DE,交AC于点G,交BC 2.如图，D是△ABC的边BC上的一点， 于点F,则图中的相似三角形（不含全等三角 ∠BAD=∠C,∠ABC的平分线交边AC于 形)共有 () 点E,交AD于点F,那么下列结论中，错误 A.6对 B.5对 C.4对D.3对 的是 ( A.△BAC∽△BDAB.△BFA∽△BEC D C.△BDFP△BECD.△BDF∽△BAE 3.如图，圆内接四边形ABCD的边BA、CD的 (第6题) (第7题)》 延长线交于点P,连接AC、BD交于点E,则 7.(2024·扬州段考)如图，在△ABC中，点D 图中的相似三角形有 对. 在边AB上，点E在边AC上，连接DE、DC. 若∠1=∠2=∠3，则下列结论中，不正确 的是 C A.△ADE∽△ABCB.△ADEP△ACD (第3题) (第4题) C.△ADEP△EDCD.△ABCP△ACD 4.新考向·学科内综合如图，AB、DE是⊙O的 8.如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A= 直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从 ∠CBD,AB=3,BD=2,则线段CD的长为 点C出发按顺时针方向绕圆心O旋转α° (0<a<180).当a= 时，直径 DE在△ABC中截得的三角形与△ABC 相似. 5.如图，四边形ABCD是正方形，G为边CD (第8题) (第9题) 上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于 9.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于 点F,连接BD交AF于点E,连接EC 点F,E是BD上一点，且∠BAC=∠BDC= 求证： ∠DAE,则与△ABE相似的三角形是 (1)∠DAE=∠DCE. 40 第6章图形的相似 10.分类讨论思想已知P是Rt△ABC的斜边思维拓展 AB上异于点A、B的一点，过点P作直线 13.★如图，点C在△AOB的内部， 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似， ∠OCA=∠BCO,∠OCA与 则满足上述条件的直线有 条 ∠AOB互补.若AC=1.5,BC= 11.(2024·无锡惠山期末)如图，AC为 2,则OC的长为 □ABCD的对角线，且CA平分∠BCD,点 E在AC的延长线上，连接BE,∠E= ∠ABC.求证： (1)四边形ABCD是菱形 (2)△ACDp△BAE. (第13题) 14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB= AD=CD,点E、F分别在边AD、CD上，且 DE=CF,连接BE、AF交于点G.找出图 (第11题) 中相似的三角形，并证明你所得到的结论. E D (第14题) 12.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于 点O,点E在边BC的延长线上，连接DE、 OE,且OE=OB. (1)求证：△BDE是直角三角形 (2)若OE⊥CD,试判断△BDE与△DCE 是否相似，并说明理由. (第12题) 41 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 》“答案与解析”见P25 自基础进阶 (2)△AEF∽△ACD. 1.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC, 则补充下列条件后不能判定△ADC和 △BAC相似的是 () A.CA平分∠BCDB.∠DAC=∠ABC (第5题) C.AC2=BC·CD D AD DC AB AC (第1题) (第2题) 2.(2024·徐州沛县段考)如图，在正方形 ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上， 且BF=3F℃，则图中相似三角形共有() 素能攀升 A.3对B.1对C.2对D.4对 6.(2024·上海青浦期末)如图，将△ABC绕点 3.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC, B按顺时针方向旋转，使得点A落在边AC AB=4,BC=9.当BD= 时， 上，点A、C的对应点分别为D、E,DE交BC △ABDO△DBC. 于点F,连接CE.下列各组三角形中，不一定 A1 cm/s 相似的是 () A.△BAD与△BCEB.△BDF与△ECF C.△BAC与△BDED.△DBF与△CEB Q 2 cm/s (第3题) (第4题) 4.(2025·苏州常熟段考)如图，在△ABC中， AC=7cm,BC=12cm,动点P、Q分别从点 A、C开始沿图中所示方向及速度运动，如果 (第6题) (第7题)》 P、Q两动点同时运动，那么经过的时间为 7.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧分别 时，以C、Q、P为顶点的三角形 作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形 与△ABC相似， ADE,其中∠ABC=∠AED=90°，连接CD、 5.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC BE交于点P,CD交AE于点M,连接AP. 上，连接DE、DC,∠ADE=∠B,点F在 有下列结论：①△BAE∽△CAD;②MP· AD上，且AD=AF·AB,连接EF.求证： MD=MA·ME;③2CB2=CP·CM.其 w铝能 中，正确的是 () A.①②③B.① C.①②D.②③ 42 第6章图形的相似 8.新考向·学科内综合如图，将三角形纸片的一 一点F,使△AEF与△BCF相似.若这样 角折叠，使点B落在AC上的点F处，折痕 的点F恰好有两个，则m的值为 为DE,AB=AC=8,BC=10.当BE= D 时，以E、F、C为顶点的三角形与 △ABC相似， A (第11题) 12.新考法·探究题【问题呈现】 (1)如图①，△ABC和△ADE是两个有公 2 B (第8题) (第9题) 共顶点A的等边三角形，连接BD、CE.求 9.如图，四边形ABCD、四边形CDEF 是的航 和四边形EFGH都是正方形，连 【类比探究】 接AC、AF、AG,则∠1+∠2= (2)如图②，△ABC和△ADE是两个有公 共顶点A的等腰直角三角形，∠ABC= 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CDL ∠ADE=90°，连接BD、CE.求证：CE= AB于点D,分别以AC、BC为边向外作等 边三角形ACE和等边三角形BCF,连接 2BD. DE、DF.求证：△ADEp△CDF. (3)如图③，△ABC和△ADE是两个有公 共顶点A的直角三角形，∠ABC= ∠ADE=0,连接BD.(CE.若能提 ,请直接写出此时BD与CE之间的数量 (第10题) 关系 ② (第12题) 位思维拓展 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=m(m>1),E是AD边上一 定点，且AE=1.在线段AB上找 43 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第4课时 三边成比例的两个三角形相似“答案与解析”见P26 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，依据图中所标注的数据，添加下列条 5.如图，四个三角形的顶，点都在正方形网格的 件：①∠B=∠E;②∠A=∠F,③BC 格点上，图中相似的两个三角形是() AC 那：④S-设其中，仍袋不能判定 △ABC与△DEF相似的是 ①⑩ (第5题) A.①④B.①③C.②③D.②④ 6.新情境·现实生活在如图所示的象棋盘（各个 12 (第1题) 小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的 A.①③B.①④C.②③D.②④ 规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构 成的三角形与“帅“相“兵”所在位置的格点 2.已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、 构成的三角形相似，则“马”应落在() 9cm,△DEF的两边长分别为12cm、18cm. 若这两个三角形相似，则△DEF的第三条边 长是 ( ③ A.14 cm B.16 cm C.21 cm D.27 cm 3.在△ABC中，AB=6,AC=8,在△DEF中， (第6题) DE=4,DF=3,使△ABC与△DEF相似， A.①处B.②处C.③处D.④处 需添加的条件： (写出一种即可). 7.新考向·学科内综合如图，在平面直 4.如图，在四边形ABCE中，点D在BE上，连 角坐标系中，我们把横、纵坐标都是 接ACAD,8器e 整数的点叫做整点.△OAB三个顶 点的坐标分别为O(0,0)、A(4,4)、B(6,2), (1)若∠CAE=20°，求∠BAD的度数， 由△OAB的三边（包括顶点）中的整点构成 (2)判断△ABD与△ACE是否相似，并说 的三角形与△OAB(除它本身)相似的共有 明理由. () A(4,4) B(6,2) 0 6 8 x (第4题) -2 (第7题) A.4个B.5个 C.6个D.7个 8.如图，由边长为1的小正方形组成的正方形 网格中有一个三角形ABC,请在网格中画一 个顶点在小正方形的格点上，且与△ABC相 44 第6章图形的相似 似的面积最大的三角形A'B'C',并求出它的11.如图①，在△ABC和△A'B'C中，D、D'分 面积. 别是BA上的点，智 )当吊= CD 一部时求证 AC △ABC∽△A'B'C'.证明的途径可以用如 (第8题) 图②所示的框图表示，请填写其中的空格. ②)当品-AS-瓷时，试判断 △ABC与△A'BC'是否相似，并说明理由. 9.(2024·宿迁宿豫期末)如图，AD、A1D1分 别是△ABC和△A,BC,的中线，且A5 A B D B D AG,-A8,判断aABc与△A,BG是 ADA'D'AD AB AB A'BA'D'A'B' 否相似，并说明理由， C'D'AC AB' △ADC∽△ADC D B (第9题)》 △ABC∽△A'B'CK ⊙ (第11题) 缈思维拓展 10.易错题一个铝制三角形框架的三 条边长分别为24cm、30cm、 36cm,要做一个与它相似的铝制 三角形框架.现有长分别为27cm、45cm的 两根铝材，要求以其中一根为一边，从另一 根上截下两段（允许有余料）作为另外两边， 则满足上述条件的截法有 () A.0种B.1种C.2种D.3种 45 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第5课时与判定相似三角形有关的应用和三角形的重心，“答案与解析"见27 自基础进阶 司素能攀升 1.如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AD⊥1 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是 CB于点D.下列结论中，不成立的是( △ABC的重心，GE⊥AC,垂足为E.若 A.AD=CD·DBB.AC2=BC·CD BC=12,则线段EG的长为 () C.CD=AC·BCD.AB2=BC·BD A.4 B.3 C.6 D.2 B B B D (第1题) (第2题) (第3题) B 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD (第6题) (第7题) 平分∠ABC,DE∥BC,连接CE,交BD于 7.(2025·苏州姑苏一模)如图，在菱形ABCD 点O,则图中与△ABC(除它本身)相似的三 中，E为边BC上一点，且DE=CD,BD与 角形有 ( AE交于点F.有下列结论：①AE=BD; A.5个B.4个 C.3个D.2个 ②EA平分∠BED;③AD=AF·AE; 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，点G是 ④BE·BC=BF·BD.其中，正确的是() △ABC的重心.若AD=6,则AG的长为 A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 4.如图，在△ABC中，边AB、 8.(2025·泰州姜堰二模)如图，在四边形 AC上的中线CN、BM相 ABCD中，BC=CD,E为对角线AC上一 交于点O.已知四边形 点，连接BE,DE.若∠BAC=∠EBC,AB= C AMON的面积是20，则 6,BE=3,AD=5,则DE= (第4题) △ABC的面积是 5.（2025·苏州工业园段考)如图，在△ABC 中，D为BC上一点，E为AD上一点， ∠DAC=∠B,CD=CE. (第8题) (第9题) (1)求证：△ACEp△BAD. 9.如图，在Rt△ABC中（∠C=90°）放置边长 (2)若CE=3,BD=4,AE=2,求ED的长 分别为1、2、x的三个正方形，则x的值为 E 10.新考法·新定义题定义：如果三角形的两个 D 内角∠α与∠3满足∠a=2∠3，那么我们将 (第5题) 这样的三角形称为“倍角三角形”.如果一个 等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三 角形的腰长与底边长的比值为 46 第6章图形的相似 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥思维拓展 BC于点D,O是边AC上一点，连接BO交 13.(2025·泉州模拟)定义：三角形的 AD于点F,OE⊥OB交边BC于点E.求 三个顶点都在二次函数的图像上， 证：△ABF∽△COE. 若该三角形的重心恰好在x轴上， 则称此三角形为“平稳三角形”.如图，二次 E K数y=ar+名十c的图像与x轴交于 (第11题) 点B(4,0),与y轴交于点C(0,2),A是二 次函数图像上的一点，且点A在第三象限. (1)求二次函数的表达式。 (2)若△ABC为“平稳三角形”，中线AD 交x轴于点G,求△BDG的面积 (第13题) 12.新考向学科内综合如图，在△ABC中， AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，BD是 ⊙O的直径，AD与BC交于点E,在CA的 延长线上取点F,使BA平分∠FBC (1)求证：BF是⊙O的切线， (2)若AE=4,ED=5,求AB的长. (第12题) 47