6.3 相似图形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 6.3相似图形 “答案与解析”见P22 自基础进阶 5.新情境·现实生活如图①，将A4纸折叠两次， 1.在如图所示的三个矩形中，是相似图形的 发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合， 组为 如图②，将1张A4纸对折，使其较长的边 分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸 (1)A4纸较长边的长与较短边的长的比值 为 (第1题) (2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明 A.甲与乙 B.乙与丙 理由 C.甲与丙 D.以上都不对 2.将边长为4、6、6的等腰三角形、边长为4的 正方形和长、宽分别为6、4的矩形按如图所 示的方式向外扩大，各得到一个新图形，它们 的对应边间距均为1，则新图形与原图形相 (第5题) 似的有 (第2题) 幻素能攀升 A.0个 B.1个 C.2个D.3个 6.如图，在由小正方形组成的网格中有两个相 3.如图所示为两个形状相同的举重图案，则x 似三角形，分别是△ABC和△EDF,则 的值是 ∠ABC+∠ACB的度数为 () x cm A.135°B.90 C.60°D.45 15 cm 30 cm A (第3题) (第6题) 第7题) 4.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A 7.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， 80°，∠F=70°，∠G=90°，则∠D的度数为 CD为斜边AB上的高，垂足为D,则 △ABC∽△ACD∽△CBD.有下列等式： ①AC=AD·AB;②BC=BD·AB; ③CD=AD·BD;④AC·BC=AB· CD.其中，正确的个数为 () (第4题) A.1B.2 C.3 D.4 36 第6章图形的相似 8.如图，在矩形ABCD中，AD=a,AB=b,若 (2)如图②，若小路的外沿围成的矩形 要使BC边上至少存在一点P,使△ABP∽ EFGH∽矩形ABCD,且相对的两条小路 △PCD,则a、b之间的关系一定满足() 的宽相等，求小路的宽x(m)与y(m)的 Aa≥2Ru≥号bCa≥4hDa2≥6 比值. 4开 2开 16开 8开 P 一口 (第8题) (第9题) 9.书籍开本指书刊幅面的规格大小.如图，将 一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸， 再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开 纸、16开纸…这些开本都是相似图形，我 们所用的数学课本是16开本，有些图书是 32开本.16开的纸和32开的纸的相似比是 10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边 AD、DC上，△ABE△DEF,AB=6, 思维拓展 AE=9,DE=2,则EF的长为 13.如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长 E」 D 线上任意一点，以线段AE为边作菱形 AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连接 EB、GD. (第10题) (第11题) 11.易错题如图，△ABC∽△ADE,B、D、E三 (1)求证：EB=GD 点在同一条直线上.若∠BAD=35°，则 (2)若∠BAD=60°，AB=2,AG=√5，求 ∠EBC的度数为 GD的长， 12.已知矩形花坛ABCD的宽AB= 20m,长AD=30m.现计划在该花 坛的四周修建小路，小路的外沿围 成矩形EFGH. (第13题)》 ym D B ym C ① ③ (第12题) (1)如图①，当小路的宽为2m时，矩形 ABCD与矩形EFGH是否相似？请说明 理由 37(6-2w5)m21 (18-65)m23 10.25+2解析：设AB=x.,四 边形ABCD是正方形，.AB=BC= .CE=4,.'.BE=BC+CE=x+ 4.四边形ABEF是黄金矩形， _5-1，解 “提点 2 得x=25+2.经检验，x=25+2 是原方程的解，且符合题意..AB 25+2. 11.(1)设AB=x(0<x<2),则 BC=2-x. :B是线段AC的黄金分割点，且 ABBC. 1<是-%即吃-2 解得x1=一1十√5，x2=一1一√5. 经检验，x1=一1十5，x2=-1一√5 是原分式方程的解，但x2=一1一√5 不符合题意，舍去 .AB的长为-1+5. (2)如图，点B即为所求作 (第11题) 12.(1)对. 理由：设△ABC的边AB上的高为h. 1 ·SAc=2AD·h,S△c= BD·A,Sam=7ABh, 1 …0思 又D为边AB的黄金分割点， AD>DB. ÷治肥 .直线CD是△ABC的“黄金分割 线” (2)不是 ,三角形的中线将三角形分成面积 相等的两部分， 4s=5=7s ∴“.三角形的中线所在的直线不是该 三角形的“黄金分割线” (3).DF//CE, ∴.△DFC和△DFE的公共边DF上 的高相等。 SADRC-SADFE. ∴.SAAIX=SAADF+S△D=S△ADF+ S△DrFE=S△AEF. 同理，可得SABIXC=S四边形BEC· -器 S△4S边形 SAS△r .直线EF也是△ABC的“黄金分 割线”. 一方法归纳 解答阅读理解题的一般方法 解答这类阅读理解题时，一般 先阅读问题背景中的新概念、新定 义、新方法，再将所得的这类新知 识运用到所要解决的问题中，将复 杂的问题转化为简单的问题，逐步 运用新概念、新定义、新方法的基 本模型加以解答.这类问题的设计 往往呈现出由特殊到一般、由简单 到复杂的思维过程。 6.3相似图形 1.B2.C3.22.54.120 5.(1)√2.解析：如图，由折叠，可 知第一次折叠，点A与点D重合，四 边形ABDC为正方形，折痕BC为对 角线，由勾股定理，可得BC=√2AB; 第二次折叠，第一次的折痕与A4纸 较长的边重合，即BC与BE重合. .BE=BC=√2AB.∴.A4纸较长边 的长与较短边的长的比值为√2. (2)A4纸与A5纸是相似图形 理由：，A4纸较长边的长与较短边 的长的比值为2， ,'.设A4纸较短边的长为a,则较长 边的长为W2a. 由题图②，可知A5纸的较长边与A4 22 纸的较短边重合，较短边的长等于A4 纸的较长边的长的一半， ∴.A5纸的较长边的长为a,较短边 的长为是 .A5纸的较长边的长与较短边的长 的比值为”=2. 24 ∴.A4纸较长边的长与较短边的长的 比值=A5纸的较长边的长与较短边 的长的比值。 又，A4纸与A5纸的四个角均为 直角， .A4纸与A5纸是相似图形. A4 (第5题) 6.D7.D 8.A解析：设PC=x,则BP=a一 :△MBPD△D,:0 六5，即b=a'.xux+b2 b 0.上述方程有解，∴.a2-4b2≥0. .(a+2b)(a-2b)≥0.又a>0, b>0,∴.a-2b≥0，即a≥2b. 9.√2：1解析：如图，设AD=x, AB=CD=y,则DM=AM=2, .矩形DMNC与矩形ABCD相似， 品品即=之>0 y 22 y>0,.x:y=√2：1..这些相似 的矩形的长与宽的比值是√2：1. ∴.易得16开的纸和32开的纸的相 似比是2：1. A 4开 2开 16开 8开 一 C (第9题) 10./13 11.35°解析：，△ABC∽△ADE, ∴.∠C=∠E,∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD =∠CAE ,∠CAE+∠E=∠EBC+∠C, ∴.∠EBC=∠CAE=∠BAD. ,∠BAD=35°，∴.∠EBC=35° 易错警示一 不能正确理解图形相似的概念 解决这类问题时，往往会出现 难以下手或不能正确解题的现象， 究其原因是未从多边形相似的概 念入手.解答本题时，应利用图形 中隐含的对应角相等的关系，找出 相等的角，使待求的问题逐步转 化，进而求得∠EBC=∠CAE= ∠BAD,从而解决问题】 12.(1)不相似 理由：AB=20m,AD=30m,小路 的宽为2m, ,.EF=24m,EH=34m. AB205AD3015 ·EF示-246'EH3417 “提品 .矩形ABCD与矩形EFGH不 相似. (2),·相对的两条小路的宽相等， ∴.EF=(20+2y)m,EH=(30+ 2x)m. .·矩形EFGH∽矩形ABCD, EF EH ·AB-AD 20+230+2x 20 30 .小路的宽x(m)与y(m)的比值 为是 13.(1):菱形AEFG∽菱形 ABCD, ,.∠EAG=∠BAD '.∠EAG+∠GAB=∠BAD+ ∠GAB,即∠EAB=∠GAD ·四边形AEFG、四边形ABCD均 为菱形， ∴.AE=AG,AB=AD. 在△AEB和△AGD中， LAE-AG. ∠EAB=∠GAD, AB=AD, ,∴.△AEB≌△AGD .EB=GD. (2)连接BD,交AC于点P. ,四边形ABCD为菱形， ∴.AB=AD,AC⊥BD,BP= :∠BAD=60, ∴.△ABD是等边三角形. ∴.BD=AB=2. .BP-7BD-1. ∴.在Rt△PAB中，由勾股定理，得 AP=/AB2-BP=√5. 由(1)，得EB=GD,AE=AG. AG=5, .AE=3 ∴.EP=AE+AP=2√3 ,∴.在Rt△EPB中，由勾股定理，得 EB=√EP2+BPz=√I3. .GD=13 6.4探索三角形相似的条件 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.C3.10 4.DE//BC,EF//CD, .AD_AE AFAE AB AC'AD AC .AD_AF AB AD' ..AD2=AF·AB,即AD是AF与 AB的比例中项. 5.C 6.B解析：如图，标出各点.这三 个正方形的边都互相平行， &△FGHn△DEF..EF=DE GH FG :=6-x 69-6,解得x=4. B D 9 6 (第6题) 7.B解析：如图，过点D作DF∥ AE,交BC于点F.:O为BD的中 点，.OB=OD..BE=EF. 8器=rAD:C=12 23 ∴.EF:FC=1:2..BE:EC= 1：3. 0 B E F C (第7题) 8.6 9.10解析：，AE:E℃=2：3， ∴.AE：AC=2:5.EF∥CD, .AE:AC=EF:CD.又EF= 2,∴.CD=5.在Rt△ABC中，.D 是AB的中点，∴.AB=2CD=10. 10.AD∥BC, ∴.△AOM∽△CON. …兴品 AD//BC. ∴.△AODp△COB. 品品 “兴记 .AD//BC, .∴.△PMDc∽△PNC PD_MD PC NC AD//BC, .△PAD∽△PBC PD AD PC-BC' “架梁 兴架 ,∴.AM=MD. 11.DE//BC, ∴.△ADE△ABC ∴品能股音 “留号需景 .MNBC,DE∥BC ∴.DEMN. ,.△CDE∽△CMA, DE CE 2 -CA-3 又DE=2, .MA=3. 同理，可得AN=3.