6.2 黄金分割-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

入a+b+c=12,可得3k-4+2k 3+4k一8=12，解得k=3. .a=5,b=3,c=4. .b2+c2=9+16=25,a2=25, .b2+c2=a2 ∴.△ABC是直角三角形. :△ABC的面积=子：=方×3× 4=6. 14.由题意，得AB=(1.2十c十d)m, AD=(0.8+a+b)m. a=b,c=d,c=2a, ∴.AB=(1.2+4a)m,AD=(0.8+ 2a)m. AB:AD=8:5, ∴.(1.2+4a):(0.8+2a)=8:5. .a=0.1. 经检验，a=0.1是原方程的解，且符 合题意. .b=0.1,c=d=0.2. .上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1m、0.1m、0.2m、0.2m. 15.A解析：根据比例的性质，由原 式，易得C8m十n)+(8n+m) (8m+n)一(8+m) 书书整理，得 9(m+n) =m十n+2 7(m-n) m-n ,m≠n, .9(m+) =m+n+2...2(m+ 7 n)=14,即m十n=7. 一方法归纳 运用比例的性质解决问题 比例的基本性质是如果 b ,那么ad=bc;同样，我们还可 C 67,那么+1= 以得到如果4=S b 台+1，即0-+ d :同样，还可 以得到如果公=台，那么公 1= -1,即“b-c-4 C b ;进而可得 如果一行那么 a-6c-7,运 用这类性质可以对所给比例等式进 行进一步变形，求得问题的结果 16.(1).四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC,∠ABC=90 :AC是正方形ABCD的对角线， BE1⊥AC, :BE,=AE,=号AC 设AB=BC=a(a>0) 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BCz=V√a2+a2= 2a. 由题意，易得△AE1B和△AE,F,均 为等腰直角三角形 E1F1⊥AB,F1E2⊥AC, .易得AF1=BF1,AE2=E,E2 1、√2√2 .F1E2=2BE1=2X2a=4a. 同理，可得F,E=分F,E= 1 由题意，易得△AF,E3为等腰直角三 角形 ∴.AE3=F2E3= 8. ② 8a√2 .'AE:AB= a 8 √2 (2)由(1)，知AE1=BE1= 2a, AE2=F E2= 4 a= 27 4,AEs F:E3= 8 2a,…,以此类推， √ .AE:AB= 2”2 a2 6.2黄金分割 1.B2.C3.1.24 4.(905-180)cm 5.设正方形ABCD的边长为a(a>0). :E为BC的中点， ·BE=2BC=a ∴.在Rt△ABE中，由勾股定理，得 21 AE=√JAB2+BE=√(2a)2+a= √5a. B'E=BE=a, .AB'=AE-B'E=(5-1)a. '.AB"=AB'=(W5-1)a. .AB":AB=(W5-1):2. ∴.B"是线段AB的黄金分割点 (AB">BB"). 6.A解析：∠A=36,AB=AC, ·∠ABc=∠C-2180°-∠A) 72°.BD平分∠ABC,∴.∠DBC= ∠ABC=36.∠BDC=180 1 ∠DBC-∠C=72°.∴.∠C= ∠BDC=72°..BC=BD.∴.△BDC 是“黄金三角形”“股-6己 2 BC=2,∴.CD=5-1. 7.C解析：设AB=a(a>0).E 是边AB的黄金分割点，AE>EB, AE 5 1AB 5 2a. EB=AB-AE=a5a= 3-5 2a..S3 S= 5-13-5 2a· 205-1 3-5 2· a· 8.(√10一√2)解析：由勾股定理， 可得BD=√22+2=2√2(cm). E为线段BD的黄金分割点， E>DE器E (√10-√2)cm. 1 93解析：E是AF的黄金分 割点，且AE<EF,∴.设AF=2m,则 EF=(√5-1)m,AE=2m-(5 1)m=（3-√5)m..S正方形GH= EF2=(6-2√5)m2,S正方形AD= AB2=[(3-√5)m]2+(2m)2= （18-65)m2..S形An S正方形EFGH (6-2√5)m21 (18-6√5)m2 3 10.2√5+2解析：设AB=x.四 边形ABCD是正方形，.AB=BC z.CE=4,..BE=BC+CE=x+ 4.,四边形ABEF是黄金矩形， x=51,解 搬6点4号 得x=2√5+2.经检验，x=2√5+2 是原方程的解，且符合题意.'.AB 2√5+2. 11.(1)设AB=x(0<x<2),则 BC=2-x. B是线段AC的黄金分割点，且 ABBC. 1<提脂即号 x 解得x1=-1+√5，x2=-1-√5. 经检验，x1=一1+√5，x2=一1一⑤ 是原分式方程的解，但x2=一1一√5 不符合题意，舍去 .AB的长为-1+√5. (2)如图，点B即为所求作 本 s-- B C+- (第11题) 12.(1)对. 理由：设△ABC的边AB上的高为h. 1 S△Ax=2AD·h,Sax= 1 1 BD·h,S△Ae=2AB·h. ·治器 又D为边AB的黄金分割点， AD>DB. 裙品 S△Ax_S△B :S An S△AC '.直线CD是△ABC的“黄金分割 线” (2)不是. ,三角形的中线将三角形分成面积 相等的两部分 s=5=7s 易知 ∴.三角形的中线所在的直线不是该 三角形的“黄金分割线” (3).DF//CE .△DFC和△DFE的公共边DF上 的高相等. ∴.S△DF=S△DFE .S△Ax=S△ADr+S△DrC=S△ADF+ S△DFE=S△AF: 同理，可得S△x=S四边形FC· 略器 ，S△AEE_S四边形BEFC .SARS△F .直线EF也是△ABC的“黄金分 割线”. 一方法归纳 解答阅读理解题的一般方法 解答这类阅读理解题时，一般 先阅读问题背景中的新概念、新定 义、新方法，再将所得的这类新知 识运用到所要解决的问题中，将复 杂的问题转化为简单的问题，逐步 运用新概念、新定义、新方法的基 本模型加以解答.这类问题的设计 往往呈现出由特殊到一般、由简单 到复杂的思维过程 6.3相似图形 1.B2.C3.22.54.120 5.(1)√2.解析：如图，由折叠，可 知第一次折叠，点A与点D重合，四 边形ABDC为正方形，折痕BC为对 角线，由勾股定理，可得BC=√2AB; 第二次折叠，第一次的折痕与A4纸 较长的边重合，即BC与BE重合. .BE=BC=√2AB..A4纸较长边 的长与较短边的长的比值为√2. (2)A4纸与A5纸是相似图形， 理由：：A4纸较长边的长与较短边 的长的比值为2 ∴.设A4纸较短边的长为a,则较长 边的长为√2a. 由题图②，可知A5纸的较长边与A4 22 纸的较短边重合，较短边的长等于A4 纸的较长边的长的一半， ∴.A5纸的较长边的长为a,较短边 的长为. ∴.A5纸的较长边的长与较短边的长 的比值为是=2. 2a ∴.A4纸较长边的长与较短边的长的 比值=A5纸的较长边的长与较短边 的长的比值」 又：A4纸与A5纸的四个角均为 直角， ∴.A4纸与A5纸是相似图形. R A A4 (第5题) 6.D7.D 8.A解析：设PC=x,则BP=a一 AABP∽△PCD, 即=“6.r2-ar+62= BP x 0.上述方程有解，∴a2-4b2≥0. .(a+2b)(a-2b)≥0.又a>0, b>0,'.a-2b≥0，即a≥2b. 9.√2：1解析：如图，设AD=x, AB=CD=y,则DM=AM= ,矩形DMNC与矩形ABCD相似， 品提即=之>0 y 2 y>0,.x:y=√2：1.∴.这些相似 的矩形的长与宽的比值是√2：1 .易得16开的纸和32开的纸的相 似比是2：1. D 4开 2开 16开 8开 C (第9题) 10.√/13 11.35°解析：△ABC△ADE, ∴.∠C=∠E,∠BAC=∠DAE拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 6.2 黄 基础进阶 1.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC< BC,则下列各式中，正确的是 A能怨 B.BC_AC AB BC C AGE BC AC D.ABAB 2.(2024·南京玄武段考)采用如下方法可以得 到黄金分割点：如图，AB是已知线段，经过 点B作BDLAB,使BD=2AB,连接DA, 在DA上截取DE=DB;在AB截取AC= AE,C就是线段AB的黄金分割点.若AB= 2,则BC的长为 () A.51B.5-1C.3-5D.5-2 2 A D C B (第2题) (第4题) 3.(2024·泰州海陵期末)当矩形窗户宽与高的 比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗 户看上去比较和谐.一扇高2米的窗户，当宽 约为 米时，看上去比较和谐（结果精 确到0.01米). 4.如图，乐器上的一根弦AB=90cm,两个端点 A、B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点 B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄 金分割点，则点D到点C的距离为 (结果保留根号). 5.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸 片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上， 标出点B的对应点B',则B'E=BE.类似 地，通过折叠使边AE落在边AB上，在线段 34 金分割 ●“答案与解析”见P21 AB上标出点B",且AB”=AB'.这时B"是 线段AB的黄金分割点(AB">BB").请你证 明这个结论 D B eEE--- B"B (第5题) 幻素能攀升 6.我们把顶角为36的等腰三角形称为“黄金三 角形”，它的底边长与腰长的比值为2 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD 平分∠ABC,交AC于点D.若BC=2,则 CD的长为 A.5-1B.3-5C.5+2D.5+2 2 0 E B (第6题)》 (第7题) (第8题) 7.如图，E是正方形ABCD的边AB的黄金分 割点，且AE>EB,S1表示以AE为边长的 正方形的面积，S2表示以BC为长、EB为宽 的矩形的面积，S3表示正方形ABCD的面 积减去S1和S2后剩余的面积，则S3:S2的 值为 () A.2 C.51D35 2 2 8.新情境·现实生活(2025·宿迁沭阳模拟)如 图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形 态，已知正方形ABCD的边长为2cm,笔画 横钩“一”与正方形的对角线BD交于点E. 若E为线段BD的黄金分割点，BE>DE, 则BE的长为 cm(结果保留根号). 9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理创作 了一幅“弦图”.如图所示为由四个全等的直 角三角形(Rt△DAE、Rt△ABF、Rt△BCG、 Rt△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼 成的大正方形ABCD.若E是AF的黄金分 割点，且AE<EF,则小正方形EFGH与大 正方形ABCD面积的比值是 (第9题) (第10题) 10.如图，在正方形ABCD的边BC上取中点 O,以点O为圆心、OD长为半径作圆弧，其 与边BC的延长线交于点E,过点E作 EF⊥AD,交AD的延长线于点F,得到黄 金矩形ABEF(宽与长的比为黄金比的矩 形).若CE=4,则AB= 11.已知B是线段AC的黄金分割点，且AB> BC,AC=2. (1)求AB的长 (2)如图，在线段AC上利用直尺和圆规画 出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法） A (第11题) 第6章图形的相似 思维拓展 2.*某研究小组成员在进行课题学习 时，由黄金分割点联想到“黄金分 割线”，类似地，给出“黄金分割线” 的定义：直线1将一个面积为S的图形分成 两部分，这两部分的面积分别为S1、S2.若 S-。,则称直线1为该图形的“黄金分 割线” (1)研究小组成员猜想：如图①，在△ABC 中，若D为边AB的黄金分割点(AD DB),则直线CD是△ABC的“黄金分割 线”.你认为该猜想对吗？请说明理由. (2)三角形的中线所在的直线是否也是该 三角形的“黄金分割线”？为什么？ (3)研究小组成员在进一步探究中发现：如 图②，在(1)的条件下，过点C任作一条直线 交AB于点E,再过点D作直线DFCE, 交AC于点F,连接EF,则直线EF也是 △ABC的“黄金分割线”.请证明这个发现. ② (第12题) 35