6.2 黄金分割-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

(2) 设a+2 3 = b 4= c+5 6 =k (k≠0). ∴ a=3k-2,b=4k,c=6k-5. ∴ 2(3k-2)-4k+3(6k-5)=21,解 得k=2. ∴ a=4,b=8,c=7. ∴ a∶b∶c=4∶8∶7. 13. (1) 设a-c=-2k,a+b=7k, c-b=k(k≠0). ∴ a=7k-b,c=k+b. ∴ a-c=7k-b-k-b=6k- 2b=-2k. ∴ 8k-2b=0. ∵ a+b+c=24, ∴ 7k-b+b+k+b=24. ∴ 8k+b=24. 又∵ 8k-2b=0, ∴ k=2,b=8. ∴ a=6,c=10. (2) ∵ a2+b2 =62 +82 =100= 102=c2, ∴ △ABC是直角三角形. 14. 由题意,得AB=(1.2+c+d)m, AD=(0.8+a+b)m. ∵ a=b,c=d,c=2a, ∴ AB=(1.2+4a)m,AD=(0.8+ 2a)m. ∵ AB∶AD=8∶5, ∴ (1.2+4a)∶(0.8+2a)=8∶5. ∴ a=0.1. 经检验,a=0.1是原方程的解,且符 合题意. ∴ b=0.1,c=d=0.2. ∴ 上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1m、0.1m、0.2m、0.2m. 15. A [解析] 根据比例的性质,由 原式,易得 (8m+n)+(8n+m) (8m+n)-(8n+m)= (m+1)+(n+1) (m+1)-(n+1). 整理,得 9(m+n) 7(m-n)= m+n+2 m-n .∵ m ≠n, ∴ 9(m+n) 7 =m+n+2.∴ 2(m+ n)=14,即m+n=7. 运用比例的性质解决问题 比例的基本性质是如果a b = c d ,那么ad=bc;同样,我们还可 以得到如果a b= c d ,那么a b +1= c d+1 ,即a+b b = c+d d ;同样,还可 以得到如果a b= c d ,那么a b -1= c d-1 ,即a-b b = c-d d ;进而可得 如果a b= c d ,那么a+b a-b= c+d c-d. 运 用这类性质可以对所给比例等式进 行进一步变形,求得问题的结果. 16. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AB=BC,∠ABC=90°. ∵ AC 是正方形ABCD 的对角线, BE1⊥AC, ∴ BE1=AE1= 1 2AC. 设AB=BC=a(a>0). 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= AB2+BC2= a2+a2=2a. ∴ BE1= 2 2a. 由题意,易得△AE1B 和△AE1F1 均 为等腰直角三角形. ∵ E1F1⊥AB,F1E2⊥AC, ∴ 易得AF1=BF1,AE2=E1E2. ∴ F1E2= 1 2BE1= 1 2× 2 2a= 2 4a. 同理,可得F2E3= 1 2F1E2= 1 2× 2 4a= 2 8a. 由题意,易得△AF2E3为等腰直角三 角形. ∴ AE3=F2E3= 2 8a. ∴ AE3∶AB= 2 8a a = 2 8. (2) 由(1),知AE1=BE1= 2 2a , AE2=F1E2= 2 4a= 2 22a ,AE3= F2E3= 2 8a= 2 23a ,…,以此类推, AEn= 2 2na. ∴ AEn∶AB= 2 2na a = 2 2n. 6.2　黄金分割 1. C 2. D 3. (95-9)cm 4. (905-180)cm 5. 设正方形ABCD的边长为2a(a>0). ∵ E为BC的中点, ∴ BE=12BC=a. ∴ 在Rt△ABE 中,由勾股定理,得 AE= AB2+BE2= (2a)2+a2= 5a. ∵ B'E=BE=a, ∴ AB'=AE-B'E=(5-1)a. ∴ AB″=AB'=(5-1)a. ∴ AB″∶AB=(5-1)∶2. ∴ B″是线段AB 的黄金分割点 (AB″>BB″). 6. A [解析] ∵ ∠A=36°,AB= AC,∴ ∠ABC=∠C=12 (180°- ∠A)=72°.∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠DBC = 12 ∠ABC = 36°. ∴ ∠BDC=180°-∠DBC-∠C= 72°.∴ ∠C=∠BDC=72°.∴ BC= BD.∴ △BDC 是“黄金三角形”. ∴ CD BC= 5-1 2 .∵ BC=2,∴ CD= 5-1. 7. C [解析] 设AB=a(a>0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∵ E 是 边 AB 的 黄 金 分 割 点, AE >EB,∴ AE= 5-12 AB = 5-1 2 a.∴ EB=AB-AE=a- 5-1 2 a= 3- 5 2 a.∴ S3∶S2= 5-1 2 a ·3-5 2 a a·3-52 a = 5-12 . 8. 3-5或2 [解析] 分两种情况讨 论:① 若边AB为矩形的长,则边AD 的长为 5-1 2 × (5-1)=3- 5. ② 若边AB为矩形的宽,则边AD 的 长为(5-1)÷ 5-12 =2. 综上所述, 该矩形的边AD的长为3-5或2. 9. 2 [解析] ∵ AP2=BP·AB, ∴ P 是AB 的黄金分割点(靠近点 B).∴ 易 得 AP = 5-12 AB. ∵ AB=AP+BP,BP= 5-1, ∴ AP = 5-12 (AP + 5-1). ∴ AP=2. 10. 1 3 [解析] ∵ E 是AF 的黄金 分割点,且AE<EF,∴ 设AF=2m, 则EF=(5-1)m,AE=2m- (5 - 1)m = (3 - 5)m. ∴ S正方形EFGH=EF2=(6-25)m2, S正方形ABCD=AB2=(3- 5)2m2+ 22m2 = (18 - 65 ) m2. ∴ S正方形EFGH S正方形ABCD = (6-25)m2 (18-65)m2 =13. 11. 5+1 2 [解析] 根据折叠的性 质,可 知 AB =AF,BE =EF, ∠BAE=∠FAE.在矩形ABCD 中, ∠BAF=∠B=90°,∴ ∠BAE= ∠FAE =45°.∴ ∠AEB =45°. ∴ AB=BE.∴ AB=BE=EF= AF.又 ∵ ∠B =90°,∴ 四 边 形 ABEF是正方形.∵ 矩形ABCD 是 “黄 金 矩 形”,∴ AB BC= 5-1 2 . 设 AB=(5-1)a(a>0),则BC=2a. ∴ EF CE= (5-1)a 2a-(5-1)a = 5+12 . 12. (1) 设AB=x(0<x<2),则 BC=2-x. ∵ B 是线段AC 的黄金分割点,且 AB>BC, ∴ 1<x<2,ABAC= BC AB ,即x 2= 2-x x , 解得x1=-1+5,x2=-1-5. 经检验,x1=-1+ 5,x2=-1- 5 是原分式方程的解,但x2=-1- 5 不符合题意,舍去. ∴ AB的长为-1+5. (2) 如图,点B即为所求作. (第12题) 13. (1) 对. 理由:设△ABC的边AB上的高为h. ∴ S△ADC = 1 2AD ·h,S△BDC = 1 2BD ·h,S△ABC= 1 2AB ·h. ∴ S△ADC S△ABC =ADAB ,S△BDC S△ADC =BDAD. 又∵ D 为边AB 的黄金分割点, AD>DB, ∴ AD AB= BD AD. ∴ S△ADC S△ABC = S△BDC S△ADC . ∴ 直线CD是△ABC的“黄金分割线”. (2) 不是. ∵ 三角形的中线将三角形分成面积 相等的两部分, ∴ S1=S2= 1 2S. ∵ 易知 S1 S ≠ S2 S1 , ∴ 三角形的中线所在的直线不是该 三角形的“黄金分割线”. (3) ∵ DF∥CE, ∴ △DFC和△DFE的公共边DF上 的高相等. ∴ S△DFC=S△DFE. ∴ S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+ S△DFE=S△AEF. 同理,可得S△BDC=S四边形BEFC. 由(1),得 S△ADC S△ABC = S△BDC S△ADC . ∴ S△AEF S△ABC = S四边形BEFC S△AEF . ∴ 直线EF 也是△ABC 的“黄金分 割线”. 解答阅读理解题的一般方法 解答这类阅读理解题时,一般 先阅读问题背景中的新概念、新定 义、新方法,再将所得的这类新知 识运用到所要解决的问题中,将复 杂的问题转化为简单的问题,逐步 运用新概念、新定义、新方法的基 本模型加以解答.这类问题的设计 往往呈现出由特殊到一般、由简单 到复杂的思维过程. 6.3　相似图形 1. B 2. C 3. 11 4.120° 5. (1) 2. [解析] 如图,由折叠,可 知第一次折叠,点A 与点D 重合,四 边形ABDC为正方形,折痕BC为对 角线,由勾股定理,可得BC= 2AB; 第二次折叠,第一次的折痕与A4纸 较长的边重合,即BC 与BE 重合. ∴ BE=BC=2AB.∴ A4纸较长边 的长与较短边的长的比值为2. (2) A4纸与A5纸是相似图形. 理由:∵ A4纸较长边的长与较短边 的长的比值为2, ∴ 设A4纸较短边的长为a,则较长 边的长为2a. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 34 6.2　黄金分割 ▶ “答案与解析”见P21 1. 已知C 是线段AB 的黄金分割点,且AC> BC,则下列等式中,成立的为 ( ) A. AB2=AC·BC B. BC2=AC·AB C. AC2=BC·AB D. AC2=2BC·AB 2. (易错题)大自然是美的设计师,即使是一片小 小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB 的黄金分割点(AP>BP),如果线段AB 的 长为10cm,那么线段BP的长为 ( ) A. (5+5)cm B. (10-5)cm C. (55-5)cm D. (15-55)cm (第2题) (第4题) 3. 在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己 的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本 书的长为18cm,则它的宽为 (结果保留根号). 4. 如图,乐器上的一根弦AB=90cm,两个端点 A、B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点 B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄 金分割点,则点D到点C的距离为 (结果保留根号). 5. 如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形纸 片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB 落在线段EA 上, 标出点B 的对应点B',则B'E=BE.类似 地,通过折叠使线段AE、AB 重合,在线段 AB上标出点B″,且AB″=AB'.这时B″是 线段AB的黄金分割点(AB″>BB″).请你证 明这个结论. (第5题) 6. 我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三 角形”,它的底边长与腰长的比值为 5-1 2 . 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC,交AC 于点D.若BC=2,则 CD的长为 ( ) A. 5-1B. 5-3C. 5+2D. 5+2 2 (第6题) (第7题) 7. 如图,E是正方形ABCD 的边AB的黄金分 割点,且AE>EB,S1表示以AE 为边长的 正方形的面积,S2表示以BC为长、EB为宽 的矩形的面积,S3表示正方形ABCD的面积 减去S1和S2后剩余的面积,则S3∶S2的 值为 ( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 5-1 2 D. 3-5 2 8. 我们把宽与长的比是 5-1 2 的矩形叫做“黄金 矩形”.已知四边形ABCD 是“黄金矩形”,边 AB的长为5-1,则该矩形的边AD 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 35 9. 已知P 是线段AB 上一点,若AP2=BP· AB,BP=5-1,则AP= . 10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理创 作了一副“弦图”.如图所示为由四个全等 的 直 角 三 角 形 (Rt△DAE、Rt△ABF、 Rt△BCG、Rt△CDH)和中间一个小正方形 EFGH 拼成的大正方形ABCD.若E 是 AF的黄金分割点,且AE<EF,则小正方 形EFGH 与大正方形ABCD 面积的比值 是 . (第10题) (第11题) 11. 我们把两条邻边之比等于黄金比 5-1 2 的矩 形叫做“黄金矩形”.如图,矩形ABCD 是 “黄金矩形”,点E 在边BC上,将这个矩形 沿直线AE折叠,使点B落在边AD上的点 F处,则EF与CE的比值为 . 12. 已知B是线段AC的黄金分割点, 且AB>BC,AC=2. (1) 求AB的长. (2) 如图,在线段AC上利用直尺和圆规画 出点B的位置(保留作图痕迹,不写作法). (第12题) 13. ★某研究小组成员在进行课题学习 时,由黄金分割点联想到“黄金分 割线”,类似地,给出“黄金分割线” 的定义:直线l将一个面积为S的图形分成 两部分,这两部分的面积分别为S1、S2.若 S1 S= S2 S1 ,则称直线l为该图形的“黄金分 割线”. (1) 研究小组成员猜想:如图①,在△ABC 中,若D 为边AB 的黄金分割点(AD> DB),则直线CD 是△ABC 的“黄金分割 线”.你认为该猜想对吗? 请说明理由. (2) 三角形的中线所在的直线是否也是该 三角形的“黄金分割线”? 为什么? (3) 研究小组成员在进一步探究中发现:如 图②,在(1)的条件下,过点C任作一条直线 交AB于点E,再过点D 作直线DF∥CE, 交AC 于点F,连接EF,则直线EF 也是 △ABC的“黄金分割线”.请证明这个发现. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似