6.2黄金分割 同步练习2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6.2黄金分割 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 2．若＝，则下列各式不正确的是（　　） A． B．＝4 C．＝ D．＝﹣ 3．如果成立，那么k的值为（    ） A．1 B．-2 C．-2或1 D．以上都不对 4．已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么线段被点黄金分割 B．如果，那么线段被点黄金分割 C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D．是黄金比的近似值 5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则BC的长度是（    ） A． B． C． D． 6．若＝，则下列各式不成立的是（    ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 7．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．在中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．4、2、1、3 B．1、2、3、5 C．3、4、5、6 D．3、4、6、8 10．若，则等于（　　） A．2：5 B．4：25 C．5：2 D．25：4 11．已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 二、填空题 13．已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 14．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 15．比例的基本性质 如果a，b，c，d四个数 ，即 ，那么ad=bc． 如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么． 注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，如：a∶b和b∶a一般不相等．如1：2≠2：1 成比例线段也有顺序性，如不能说成是b、a、c、d成比例． 16．已知，则： ． 17．两个数与的比例中项是 ． 三、解答题 18．如图，在中，，．求证：． 19．如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由． （4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点． 20．对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由． 21．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 22．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？ 23．小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（）的某一部分（）与另一部分（）之比，如果正好等于另一部分（）同整个线段（）的比（即），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（）的点称为线段的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台上，主持人从点到点走多少米，他的站台最得体？（取） 24．已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度． 《6.2黄金分割》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B D C D D A 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键． 利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．B 【分析】设x＝3k，y＝4k，再把x＝3k，y＝4k代入每个分式，再根据分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：设x＝3k，y＝4k， A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质和分式的运算法则，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 3．C 【分析】根据比例的等比性质进行化简即可得出结果． 【详解】当时，由比例的性质，得；当时，即，则.综上，k的值为1或-2.故选C. 【点睛】本题由于没有条件，一定要分情况讨论．熟悉比例的等比性质：，则． 4．C 【分析】根据黄金分割的定义判断即可. 【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确; C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误. 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个. 5．B 【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，再由AB﹣AC即可求解． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200， ∴AC＝ AB＝100（﹣1）， ∴BC＝AB﹣AC＝200﹣100（﹣1）＝100（3﹣）， 故选：B． 【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键． 6．D 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k， A．，正确，故本选项错误； B．，正确，故本选项错误； C．，正确，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便． 7．C 【分析】本题考查了成比例线段，熟记“如果，那么”是解题关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 8．D 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理，即可得，则可求得答案． 【详解】， ， 与相等的是． 故选． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 9．D 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 10．A 【详解】∵， ∴， ∴． 故选A． 11．C 【分析】本题考查了比例线段，由题意得出是解题的关键．根据，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：线段，满足， ∴，，， 故A、B正确； 若， 则， ∴， 由已知无法得出，故C不一定正确； 若， 则， ∴， 故D正确， 故选：C． 12．C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 13． 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： ， 解得． 故答案是：． 15．成比例 【解析】略 16． 【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值． 【详解】∵， ∴， ∴设，， ∴ 【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系． 17．或 【分析】根据比例中项的概念：如果，那么b是a与c的比例中项，根据比例的基本性质得：，据此即可求解． 【详解】解：设b是两个数与的比例中项， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】此题考查比例中项的概念，熟练掌握比例中项的概念与性质是解答此题的关键． 18．见解析 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD：AB=AE：AC以及AF：AD=AE：AC，即可得出结论正确． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例. 19．（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析 【分析】（1）由于、、是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线； （2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是； （3）根据平行线间的距离相等，则，设直线与交于点，则．通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线； （4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可． 【详解】解：（1）直线是的黄金分割线．理由如下： 设的边上的高为． 则，，， ∴，． 又∵点为边的黄金分割点， ∴．则． ∴直线是的黄金分割线． （2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴，即， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）∵， ∴和的公共边上的高也相等， ∴． 设直线与交于点．则． ∴ ，． 又∵，∴． 　∴直线也是的黄金分割线． 　（4）画法不唯一，现提供两种画法； 　画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，DC于，N点，则直线MN就是的黄金分割线． 　画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作交于点，连接MN，则直线MN就是的黄金分割线． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用． 20．见解析 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高线， ∴， ∴， ∴ ， ∴是一组比例线段． 21． 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，， 解得：． 【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有，那么就说这四条线段成比例． 22．C、D是黄金分割点. 【分析】根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据黄金比值进行判断即可． 【详解】解：C、D是黄金分割点， ∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD， ∴AC＝AB， AD＝AC+CD＝AB+(﹣2)AB＝AB， ∴D是AB的黄金分割点， 同理C也是AB的黄金分割点． 【点睛】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比. 23．主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体． 【分析】设米，根据题意，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，列出方程即可求出结果． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：当，即， 解得：（舍去），， 米， 此时主持人从A点到B点走8米； 当，即， ， 解得：，（舍去）， 米， 此时主持人从A点到B点走12米； 综上：主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体． 答：主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体． 【点睛】本题考查了黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段列出方程是解决问题的关键，注意有两种情况． 24．1或4或36 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】解：设添加的线段长度为x， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． ∴所添线段的长度为1或4或36． 【点睛】此题考查了线段成比例，解题的关键是熟练掌握线段成比例性质并分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $