第5章 二次函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第5章整合拔尖 ◆“答案与解析”见P18 知识体系构建 般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数 定义 三种表达式 般式。y=ax+ba+c(a、b、c为常数，且a≠0) 顶点式 y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，且a≠0) 两根式 y-a(x-x)(x-x2)(a、x1、x2为常数，且a≠0) b y=ax2+b.xtc的 图像的对称轴 直线x= 2a 性质 b Aac-b 图像的顶点坐标 2a’4a 增减性 a>0 当x<- b 2a 时，y随增大而减小：当>会时，y随增大而增大 二次函数 a<0 当<会时)随：增大而增大：当x>会时，y随：指大而减小 2a Aac-b2 最值 a>0 有最小值，y最小值 4a 4ac-b2 a<0 有最大值，y大=4a 二次函数与一元 关系 二次函数的图像与x轴交点的横坐标就是其相应一元二次方程的根 ● 二次方程 应用 用图像法解一元二次方程 利润问题、几何图形问题、抛物线的实际问题 二次函数的实际应用 9高频考点突破 考点一二次函数的概念 B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上.若3< 典例1(2024·南通启东段考)已知y=(m b<4,则下列判断中，正确的是 2)xm-2是关于x的二次函数，则m的值为 A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 ( ) C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 A.-2 B.2 C.±2 D.0 [变式]抛物线y=ax2+bx一2经过点M(m [变式](2024·苏州姑苏段考)若y=(a+1)· 1,n)、N(-一3，n)、P(1,),则下列说法中， xa+31一x十3是关于x的二次函数，则a的值 正确的是 () A.顶点可能在第一象限 是 B.若p>0,则顶点在第三象限 考点二二次函数的图像和性质 C.顶点不可能在第二象限 典例2(2025·福建)已知点A(一2，y1)、D.若<0，则顶点在第四象限 28 第5章二次函数 考点三用待定系数法求二次函数的表达式 考点四二次函数与一元二次方程之间的关系 典例3(2025·温州模拟)已知二次函数y= 典例4(2024·南京玄武模拟)已知二次函数 a.x2-2a.x十c的图像经过点(-1,0)、(0,3). y=mx2-(2十3m)x十6(m为常数，且m≠0). (1)求这个二次函数的表达式 (1)判断该二次函数图像与x轴交点的个数，并 (2)当-1≤x≤2时，函数的最大值为m,最小 说明理由. 值为n,求m一n的值. (2)无论m为何值，该二次函数图像都会经过 两个定点，则这两个定点的坐标分别是 (3)该二次函数图像经过的象限随值的变化 而变化，请求出函数图像经过的象限及所对应的 取值范围 [变式](2024·盐城盐都期末)已知抛物线y= a.x2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)： (1)若a十b十c=0,且该抛物线经过A(一1， 3)、B(0,一2)、C(1,1)三点中的两点，求该抛物 线对应的函数表达式 [变式]已知二次函数y=x2一4m.x+3m2(m为 (2)若c=-a-b,a+b<0,点P(2,m)(m>0) 常数，且m≠0). 在该抛物线上，求证：a>0. (1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个 交点 (2)若m>0,且两个交点间的距离为2，求m 的值. 29 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 考点五●运用二次函数解决实际问题 [变式](2025·新疆)天山胜利隧道预计于2025年 典例5新情境·现实生活(2025·河南模拟)如 建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧 图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练， 道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如 水面边缘点E的坐标为（一1，一10），运动员（将 图所示为隧道横截面图，其轮廓可近似看作是抛 运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原 物线的一部分.若隧道底部宽12m,高8m,按照 点O的抛物线的一部分.跳某个规定动作时，运 如图所示的方式建立平面直角坐标系. 动员在空中最高处点A的坐标为？，。).正常 (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在 情况下，运动员在距水面的高度为5米之前，必 竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5m,当两辆 须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿 车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶， 势，否则就会失误.运动员入水后，运动路线为 且两辆车至少间隔2（中心线宽度不计）.若宽 另一条抛物线的一部分. 3m、高3.5m的甲、乙两车并排行驶，能否安全 (1)求运动员在空中运动时，抛物线对应的函数 通过？请判断并说明理由， 表达式，并求出入水处点B的坐标. y/m (2)若在此次跳水中，该运动员在空中调整好入 水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问： 该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明 理由. y/米 /米 10米 水面 (典例5图) 提示 (1)利用待定系数法求得抛物线对应的函数 表达式，令y=一10，解方程即可求得点B的坐标. (2)利用二次函数的表达式求得当x=3时y的 值，依据题意求得运动员此时距水面的高度，通过与 5米比较大小即可得出结论 30 第5章二次函数 综合素能提升 1.若抛物线y=2xm-m-3十m-5的顶点在6.如图，一小球M从斜坡OA上的点O处抛 x轴的下方，则m的值为 ( 出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如 A.5 B.-1C.5或-1D.-5 图所示的平面直角坐标系，斜坡可以看作一 2.(2025·武汉模拟)若点A(一3，y1)、B(1, y2)、C(m,y3)在抛物线y=a.x2+4ax+c 次函数)=子女的图像的一部分.已小球到 上，且y≤y<y2,则m的取值范围是() 达的最高点的坐标为(6,12)， A.-3<m<1 (1)求抛物线对应的函数表达式， B.-5<m<-1或-3<m<1 (2)在斜坡OA上的点B处有一棵树，点B C.m<-3或m>1 的横坐标为3.若树高为7m,则小球M能否 D.-5<m<-3或-1<m<1 飞过这棵树？通过计算说明理由. 3.已知m>n>0,关于x的方程x2+2x一3一 (3)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的 m=0的解为x1、x2(x1<x2),关于x的方 最大高度 程x2+2x一3一n=0的解为x3、x4(x3< y/m↑ x4),则下列结论中，正确的是 () A.x3<x1<x2x4B.x1<x3<x4<x2 C.x1<x2<x3<x4D.x3<x4<x1<x2 x/m 4.新情境·现实生活(2025·深圳模拟)某校计 (第6题) 划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设 计一个如图①所示的抛物线形拱门入口.要 在拱门上顺次粘贴“劳“动”“之”“星”四个大 字.如图②，将这四个大字分别记作点A、B、 7.如图，抛物线y=x2十bx十c与x轴相交于 C、D,要求BC与地面平行，且BC∥AD,抛 点A(-1,0)、B(2,0). 物线的最高，点的五角星（点E)到BC的距离 (1)求抛物线对应的函数表达式， 为0.6m,BC=2m,AD=4m,则点C到 (2)在抛物线上有一点P,过点P作x轴的 AD的距离为 垂线，垂足为Q,连接AP.若△APQ是等腰 直角三角形，求点P的坐标。 动 ① ② (第4题) (第7题) A.2mB.1.8mC.2.4mD.1.5m 5.将抛物线y=x2沿直线y=3x移动/10个 单位长度.若移动后得到的抛物线的顶点在 第一象限，则移动后得到的抛物线对应的函 数表达式为 3将原抛物线向左平移2个单位长度， 向上平移6个单位长度得到新抛物 线，∴.新抛物线对应的函数表达式为 y=3(x+2)2-8（x+2)-3+6 1 3 -青-1.①当BE为对角线 时，，'平行四边形的对角线互相平 分，.，+9_0时4re=-5. 2 21 ÷yg=3×(-502-专×(-5) 1 1=14..∴.此时点E的坐标为（一5， 14).②当BF为对角线时，：平行四 边形的对角线互相平分，十0 2 1 9,4xg=13..y=3X13☑ 含×13-1=38“此时点E的坐标 为(13,38).③当BC为对角线时， ·平行四边形的对角线互相平分， 249=5班 2 号×5-号×5-1=号.此时点 E的坐标为(，号)，综上所述，点E 的坐标为（一5,14）或(13,38)或 6,号) B ① ② (第4题) 第5章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A 「变式1-5 典例2A解析：：y=3x2十bx十 1,.当x=0时，y=1.∴.抛物线过 点(0,1).抛物线的开口向上，对称 轴为直线=农一合抛物 线上的点离对称轴越远，函数值越大 :3<<4,-号<-名<- 2 6 -29=-1<-合点A(-2, 2 y,)到对称轴的距离大于点(0,1)到 对称轴的距离，小于点B(1,y2)到对 称轴的距离.∴.1<y<y2. [变式]B解析：抛物线y= ax2+bx-2经过点M(m-1,n) N(一m一3，n),∴.该抛物线的对称 轴为直线x=m-1,m-3=-2 2 ∴.该抛物线的顶点在第二象限或第 三象限.故选项A,C、D均错误，不符 合题意.，：抛物线的对称轴为直线 b x=-2a =一2，.b=4a.抛物线 y=ax十bx一2经过点P(1,p), .'.p=a+b-2=5a一2.若p>0,则 2 5u-2>0,解得a>号当x=-2 时y=a-0-2=-4u-2K-号 ∴.若p>0,则顶点在第三象限.故选 项B正确，符合题意 典例3(1)由题意，把(-1,0)、(0， 3)分别代人y=a.x2一2a.x十c,得 a+2a+c=0 解得一1， c=3, c=3. ∴.这个二次函数的表达式为y= -x2+2x+3. (2)y=-x2+2x+3=-(x一 1)2+4, .当x=1时，y取得最大值4： 当x=一1时，y=-(-1)2+2× (一1)十3=0：当x=2时，y=一22十 2X2+3=3. .当一1x2时，0≤y4 .m=4,n=0. ∴.m-n=4-0=4. [变式](1)a+b十c=0, ∴.易知抛物线经过点(1,0) .抛物线不经过点C(1,1) .抛物线经过点A(一1,3)、B(0,一2). /a+b+c=0, .a-b+c=3, c=-2, 18 a= 2 3 1b=- 21 1c=-2. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 2x-2. (2).c=-a-b, .y=ax2+bx +c=ax2+bx- a-b. :点P(2,m)在抛物线上， ∴.4a+2b-a-b=m>0. ∴.3a+b>0. a+b<0, ..-a-b>0. ∴.3a+b-a-b>0. ∴.2a>0. .a>0. 典例4(1)该二次函数图像与x轴 交点的个数为1或2. 理由：，b2-4ac=[-(2+3m)] 4m×6=9m2-12m+4=(3m-2)2, 1当m-号，即3-4c=0时，该二 次函数图像与x轴有1个交点；当 m≠号，即6-4c>0时，该二次函 数图像与x轴有2个交点 (2)(0,6):(3,0).解析：y= mx2-(2+3m)x+6,.(x2 3x)m=2x+y-6.:m≠0，.令 x2-3x=0,解得 x=0, x=3, 或 2x+y-6=0, y=6 {y=0. ∴.无论m为何值，该二次函数的图 像都会经过定点(0,6)和(3,0). (3)在y=m.x2-(2+3m)x+6中， 令y0,得x=3或xm} ∴.该二次函数的图像与x轴的交点 坐标为80（层. 当m=号时，该二次函数的图像开口 向上，与x轴仅有一个交点，且在 x轴的正半轴上，此时函数图像经过 第一、二象限： 当m>0且m≠号时，该二次函数的 图像开口向上，与x轴的两个交点均 在x轴的正半轴上，此时函数图像经 过第一、二、四象限： 当m<0时，该二次函数的图像开口 向下，与x轴的两个交点在y轴的两 侧，此时函数图像经过第一、二、三、四 象限」 [变式](1)令y=0,得x2-4mx+ 3m2=0. b2-4ac=(-4m)2-4X3m2= 4m2,m≠0， ∴.b2-4ac=4m2>0. ∴.方程总有两个不相等的实数根，即 该二次函数图像与x轴总有两个交点. (2)设两个交点的横坐标分别为 x1、x2 由题意，可知x1十x2=4m,x1· x2=3m2. .x1一x2= √(x1十x2)2-4x1x2= √(4m)2-4×3m=2|m|=2,解得 m=1或m=一1（不合题意，舍去）. .m的值为1. 典例5(1).·运动员在空中最高处 点A的坐标为（子）， ∴.A为抛物线的顶点。 ,'.设该抛物线对应的函数表达式为 y=a(-)+品 ,该抛物线经过点(0,0)， 9 9 6a+i6=0. .a=-1. ∴.抛物线对应的函数表达式为 y-()》+品-+ ,·跳水运动员在10米跳台上进行跳 水训练， 令y=10,则-x2士名x三10， 解得1=4或工=一（不符合题意， 舍去). .B(4,-10) (2)该运动员此次跳水不会失误 理由：·运动员在空中调整好人水姿 势时，恰好距点E的水平距离为 4米，点E的坐标为（一1，一10）， '.运动员在空中调整好入水姿势时 的点的横坐标为3. 当x=3时y=-32+3×3=-9 22 9 .运动员距水面的高度为10一2 5.5(米). .5.5>5, ∴.该运动员此次跳水不会失误 [变式](1)由题意，得顶点为 (侵8，即68 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x一6)2+8(a≠0) 把(12,0)代入，得a(12-6)2+8=0, 2 解得a=一9 ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 2(x6)2+8(0≤x≤12) (2)能安全通过 理由：如图，由题意，得点A的横坐标 为 -3=2. 将x=2代入y=号(-6)+8。 得y=一号×2-6+8=智 9 17 9 ,170.5 40-3.5=18m,18 .能安全通过 y/m 上车 -12m x/m [综合素能提升] 1.B解析：：y=2xm2-M-3十m-5 的图像是抛物线，∴.m2一4m一3=2， 解得m=5或m=一1.又抛物线 的顶点坐标是(0，m一5)，顶点在x轴 的下方，∴.m-5<0,即m<5. .m=-1. 2.D解析：易得抛物线y=a.x2 4a.x+c的对称轴为直线x =-2.:点A(-3,y1B1, 2a y2)、C(m,y3)在抛物线y=ax2+ 19 4ax十c上，且y1<y3<y2,∴.易得 a>0,1<m+23,解得一5 m<-3或-1<m<1. 3.B解析：关于x的方程x2十2x 3-m=0的解为抛物线y=x2+ 2x-3与直线y=m的交点的横坐 标，关于x的方程x2+2x-3-n=0 的解为抛物线y=x2十2x-3与直线 y=n的交点的横坐标.：m>n>0, .画出它们的大致图像如图所示.由 图，可知x1<x3<x4<x2: y=m -)y=n y-x2+2x-3 (第3题)》 4.B解析：建立如图所示的平面直 角坐标系，抛物线的最高点的五角 星（点E)到BC的距离为0.6m, BC=2m,AD=4m,∴.点C的坐标 为(1,0)，点B的坐标为(-1,0)，点 E的坐标为(0,0.6).设抛物线对应的 函数表达式为y=a(x十1)(x-1). 将(0,0.6)代人，得a(0+1)×(0 1)=0.6,解得a=-0.6.∴.抛物线对 应的函数表达式为y=-0.6(x十 1)(x一1).易知点D的横坐标为 2,∴.点D的纵坐标为-0.6×(2十 1)×(2-1)=-1.8..点C到AD 的距离为1.8m. Ay/m B 0 x/m (第4题) 5.y=(x-1)2+3解析：设移动后 得到的抛物线对应的函数表达式为 y=(x一h)2十k.沿直线y=3.x移 动的距离是√I0个单位长度，移动后 得到的抛物线的顶点在第一象限， .k=3h,且h>0,k>0..h2+ (3h)2=(√10)2..h=1,k=3h= 3..移动后得到的抛物线对应的函 数表达式为y=(x-1)2+3. 6.(1).小球M到达的最高点的坐 标为(6,12)， .设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-6)2+12. :该抛物线过点O(0,0), 、0=a(0-6)2+12,解得a=-3 ∴.抛物线对应的函数表达式为y 专-6+12 (2)小球M能飞过这棵树. 1 理由：对于y=3x,当x=3时y= 1 X3=1, '.此时小树顶端距离地面的高度为 1+7=8(m). 对于y=子（红-62+12，当=3 时y=-号×8-6+12=9， 8<9, .小球M能飞过这棵树， (3)设小球M在飞行的过程中离斜 坡OA的高度为hm, 1 由题意，可得h=一3(x-6)2+12 =(》+ 当x=号时，A取得最大值，此时 A号 ∴.小球M在飞行的过程中离斜坡 QA的最大高度是号m 7.(1),抛物线y=x2+bx+c与 x轴相交于点A(-1,0)、B(2,0), 1-b+c=0, b=-1, 解得 (4+2b+c=0, c=-2. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= x2-x-2. (2)PQ⊥x轴， .∠PQA=90°. :△APQ是等腰直角三角形， ∴.AQ=PQ. ,点P在抛物线y=x2一x一2上， .设P(m,m2一m-2)(m≠一1且 m≠2)，则Q(m,0). .'.AQ=m-(-1)=m+1|, PQ=m2-m-2. .'.m+1=m2-m-2. '.m+1=m2-m-2或m+1 -(m2-m-2),即m2-2m-3=0 或m2=1. 当m2-2m-3=0时，解得m=3或 m=-1(不合题意，舍去)，此时P(3,4): 当m2=1时，解得m=1或m=-1 (不合题意，舍去)，此时P(1,一2). 综上所述，点P的坐标为(3,4)或 (1,-2) 第6章图形的相似 6.1图上距离与实际距离 1.A2.C3.4004.(1)6 (2)4 5.△ABC为等边三角形 理由：：a、b、c是△ABC的三条 边长， ∴.a+b+c≠0. 设“一电_6S=4=6小 b .a-b=bk,b-c=ck,c-a=ak. .(a-b)+(b-c)+(c一a)=(a+ b+c)k=0. .k=0. .'.a-b=0,b-c=0,c一a=0. '.=b=c. ∴.△ABC为等边三角形 6.B7.D 8.B解析：，四边形ABMN为正 方形，∴.MN=BM=BC-CM. ,MN是BC和CM的比例中项， ∴.BC:MN=MN:CM.∴.MN2= BC·CM..(BC-CM)2=BC· CM,即BC2-3BC·CM+CM=0. 设BC=AD=x(x>3-√5). .CM=3-√5，.x2-3X(3 √5)x十(3-√5)2=0，解得x1=7 35,x2=2.x>3-√5，.x=2. .AD的长为2. √2 9.2,/Ecm或2cm或V2cm 解析：设另外一条线段的长为acm. 20 由题意，得2 a √2 2 分·解得a=22或号或2..另外 线段的长为2√2cm或)cn √2cm. 10.二、三解析：由题意，可得b十 c=ak,a+c=bk,a十b=ck. .2(a+b+c)=k(a+b+c).a+ b十c≠0时，k=2,此时函数的表达式 为y=2x十2，其图像经过第一、二、三 象限.当a十b十c=0时，b十c=一a, .k=一1，此时函数的表达式为 y=一x一1，其图像经过第二、三、四 象限.综上所述，函数y=kx十k的图 像必经过第二、三象限. 11.18解析：分两种情况讨论： ①当AB+AD=30时，由BCDC1 AB AD 易得+把识-碧=兰设 AD=2k(k0),DC=k,AB= AC=3k,AB+AD=5k.AB+ AD=30,.5k=30,解得k=6. .AB=AC=3×6=18.∴.BC= 30十15-18×2=9，符合题意.②当 AB+AD=15时，由没-设，易得 +架-提=合设D BC+DC m(m>0),DC=2m,AB=AC= 3m,AB+AD=4m..'AB+AD= 15,4m=15,解得m=只 &AB=AC=3X早空：C 15=5.:AB+AC=BC, 30-2×42 ∴.不符合三角形的三边关系.综上所 述，AB的长为18. 12.设号=六=奇=（≠0. ∴.x=3k,y=5k,之=7k. -y+=3k-5k+7k_5k x十y一之3k+5k-7kk =5. 13.设十4-6牛3_=+8=k(k≠ 3 2 0),则a=3k一4，b=2k一3，c= 4k一8. 把a=3k一4，b=2k-3,c=4k一8代