第5章 二次函数 同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

高频考点专练之二次函数2025-2026学年 苏科版九年级下册(七考点) 考点一：二次函数的定义 1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3.若函数是二次函数，则的值是 ． 考点二：二次函数的图像和性质 1. 下列关于二次函数y＝（x﹣3）2﹣4的说法正确的是（　　） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是（﹣3，﹣4） C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为﹣4 2.已知点，，均在抛物线上，则（ ） A． B． C． D． 3.如果抛物线在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 5.已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1．抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3.二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 4. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 5.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点四：二次函数与一次函数 1．已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 考点五：二次函数与方程、不等式 1．抛物线与y轴的交点是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．二次函数y＝的图象如图.当y>0时，自变量x的取值范围是（ ） A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 4．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 5．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 5.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 考点六：二次函数应用题 1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m 3．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 6.如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． (1)求与的函数关系式． (2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由； (3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 7．2025年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 考点七：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2.如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 ． 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 4．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 高频考点专练之二次函数2025-2026学年 苏科版九年级下册(七考点) 考点一：二次函数的定义 1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 3.若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 考点二：二次函数的图像和性质 1. 下列关于二次函数y＝（x﹣3）2﹣4的说法正确的是（　　） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是（﹣3，﹣4） C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为﹣4 【答案】C 2.已知点，，均在抛物线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如果抛物线在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 4.将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5.已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 6．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1．抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 3.二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 4. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 5.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 考点四：二次函数与一次函数 1．已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】B 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 考点五：二次函数与方程、不等式 1．抛物线与y轴的交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 3．二次函数y＝的图象如图.当y>0时，自变量x的取值范围是（ ） A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 【答案】D 4．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 5．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的横坐标为 ． 【答案】1或 5.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 考点六：二次函数应用题 1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 2．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m 【答案】A 3．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 【答案】1.6 5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 6.如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． (1)求与的函数关系式． (2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由； (3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 【答案】(1) (2)生物乐园面积的面积能不能达到，见解析 (3)当时，生物乐园的面积最大． 【详解】（1）解：由题意可得：的长为，过作于． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． （2）解：， 整理得：． ，所以方程没有实数解． 即生物乐园面积的面积能不能达到； （3）解：由（1）可知：． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，生物乐园的面积最大，最大值为． 7．2025年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 考点七：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为 ． 【答案】 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 4．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）令抛物线y＝ax2+bx﹣3中x＝0，则y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）将y＝kx代入y＝x2﹣2x﹣3得：kx＝x2﹣2x﹣3， 整理得：x2﹣（2+k）x﹣3＝0， ∴xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， ∵原点O为线段AB的中点， ∴xA+xB＝2+k＝0， 解得k＝﹣2， 将k＝﹣2代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0， 解得：xA＝﹣，xB＝， ∴yA＝﹣2xA＝2，yB＝﹣2xB＝﹣2， 故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A、B坐标分别为（﹣，2），（，﹣2）； （3）假设存在， 由（2）可知xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， 根据题意S△ABC＝OC•|xA﹣xB|＝×3×， 解得（k+2）2＝16， ∴k+2＝±4， ∴k＝2或k＝﹣6， 故存在k＝2或k＝﹣6，使得△ABC的面积为． 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