专题特训三 探究二次函数中的存在性问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

.顶点D的坐标为（一3，一8） 点B的横坐标是2， .B(2,0) 把B(2,0)代人y=a(.x+3)2-8,得 0=u(2+3)2-8,解得a=25: 8 (2)如图①，连接DE,过点D作 DH⊥x轴于点H,过点E作EM⊥ x轴于点M. 根据题意，得点D、E关于点B(2,0) 成中心对称， .DE过点B,且DB=EB. 在△DBH和△EBM中， ∠DHB=∠EMB=90°， ∠DBH=∠EBM, DB=EB, '.△DBH≌△EBM .'DH=EM=8,BH=BM=3+ 2=5. .抛物线C1的顶点E的坐标为(7,8). ,·抛物线C,由抛物线C绕点P旋 转180°后得到， ∴.抛物线C,对应的函数表达式为 y=是-+8 (3)如图②，连接AE、EF、BE、DE、DF 由(2)，知点D、E关于点P中心对 称，D(-3,-8) .点E的纵坐标为8. 设Em,8.则P(23o: B(2,0), ∴.易得A(-8,0),F(m十5,0). ..AE2=(m+8)2+82=m2+16m+ 128,EF2=52+82=89,AF2=(m+ 13)2=m2+26m+169,BE2=(m 2)2+82=m2-4m+68,BF2=(m十 3)2=m2+6m+9,DE2=(m+3)2+ 162=m2+6m+265,DF2=(m+ 8)2+82=m2+16m+128。 根据题意，得点E、F、G中取点E、G 或点F,G与点A、B、D中任一点均 无法构成直角三角形.故分三种情况 讨论： ①当△AEF是直角三角形时，显然 只能有∠AEF=90. ∴.根据勾股定理，得AF2=AE2+ EF2,即m2+26m+169=m2+ 24 16m+128+89,解得m=5, (得 p(品 ②当△BEF是直角三角形时，显然 只能有∠BEF=90. ∴.根据勾股定理，得BF=BE2十 EF2,即m2+6m+9=m2-4m+ 68+9,解得m号 8) r(0 ③当△DEF是直角三角形时， m>0, ∴.DE2>EF2,DF2>EF2,即DE> EF,DF>EF. ∴.∠EDF不能为直角 若∠DEF=90°，则根据勾股定理，得 DF2=DE2+EF2,m2+16m+ 128=m2+6m+265+89,解得 m=3 5 (售 0). 若∠DFE=90°，则根据勾股定理，得 DE2=DF2+EF2,即m2十6m+ 265=m2+16m+128+89,解得 (借 p(00) 综上所述，点P的坐标为（品0）或 ()或(9o) ① 15 D ② (第12题) 专题特训三探究二次 函数中的存在性问题 1.(1)A(1,0)、C(0,3), .OA=1,OC=3. :Sae=2AB.0C=6. .AB=4. .∴.OB=AB-OA=3. .B(-3,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x+3)(x-1). 把C(0,3)代人，得a=-1, .y=-(x+3)(x-1)=-x2 2x+3. (2),OB=O0C=3, .∴.易得∠OBC=∠OCB=45. PF∥y轴， ∴.∠PFE=∠OCB=45° PE⊥BC, '.∠PEF=90° ∴.△PEF为等腰直角三角形 六易得PE=P号PR Cm=E+EP+PF-号Pp+ 号PF+PR=E+1PF ∴.当P℉的长取得最大值时，△PEF 的周长取得最大值. 设直线BC对应的函数表达式为y= k1x十b1. 把B(-3,0)、C(0,3)代人，得 |-3k1+b1=0, k1=1, 解得 b1=3, b1=3. ∴.直线BC对应的函数表达式为y= x+3. 设P(m,-m2-2m十3)(-3<m< 0),F(m,m十3). ∴.PF=-m2-2m+3-m-3 -m2-3m=-(m+)°+号。 :当m=一号时，P℉的长取得最大 值，为是，此时-m2-2m+3=票。 15 当点P的坐标为（号，）时， △PEF的周长取得最大值，最大值为 号×2+1)=92+9 4 (3)存在. ,抛物线y=-x2一2x十3=一(x十 1)2+4向左平移2个单位长度得到 新抛物线W, ∴·新抛物线对应的函数表达式为 y=-(x+3)2+4. ·两条抛物线相交于点D, .令-x2-2x+3=-(x+3)2+4, 解得x=一2，此时y=一（一2十 3)2+4=3. .D(-2,3). 由(2)，得直线BC对应的函数表达式 为y=x十3. ,M为直线BC上一点， ∴.设M(n,n十3). :以B、D、M、N为顶点的四边形为 菱形， ∴.连接BD、DM,则△BDM为等腰 三角形 又B(-3,0), ∴.易得BD2=(-3+2)2+32=10, BM=(n+3)2+(n+3)2=22+ 121+18,DM2=(n+2)2+n2= 22+42+4. 分三种情况讨论： ①当BM=DM时，BM=DM,即 2n2+12m+18=2m2+41+4. m=子，则n+3至 M(-子，) ②当BD=BM时，BD2=BM,即 10=2n2+121+18. ∴.n2+61十4=0，解得n=-3+√5 或=一3一√5】 当n=-3+√5时，n+3=√5；当 n=-3-5时，n十3=-5】 ∴.M(-3+√5，√5)或M(-3 5,-√5). ③当DM=BD时，DM=BD2,即 2m2+4n+4=10. ∴.n2十21-3=0，解得n=1或 =一3（不合题意，舍去. .n+3=4. .M(1,4). 综上所述，点M的坐标为（一4， 7 )或(-3+55)或(-3-5， -√5)或(1,4). 2.(1):抛物线y=ax2+bx+3与 x轴交于A、B两点（点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,OA=2, OB=6, .A(-2,0)、B(6,0). 1 4a-2b+3=0, 解得= 4 {36a+6b+3=0 b=1. ∴抛物线对应的函数表达式为 y=- 子++8 ②)①在y=二4x2+x+3中，令 x=0,得y=3. .C(0,3) 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b. 把B(6,0)、C(0,3)代入，得 6k十b=0, b=3, 1 k=一2' 解得 b=3. ∴，直线BC对应的函数表达式为 y=-2x+3. DE⊥AB, D(,-子2+1+3)E(, -1+3) DE=-+1+3-(-2+ 4 + 3)=-4 ·线段DE的长为-+ 3 1(0 t<6). ②存在. 16 由①，得CD= √+(-2+1+3-3) V+(-+,cE VF+(-2+3-3- 2. 分三种情况讨论： 当DE=CE时，- +- 解得1=6-25或t=0(不合题意， 舍去) 2+1+3=- 1×(6一 2√5)2+6-2W5+3=4W5-5. ∴.D(6-2√5,45-5). 当CD=DE时2+(-子2+)‘ (+3月 整理，得t2(-t+1)=0,解得t=1或 1=0(不合题意，舍去). -:+1+3=×1+1+ p(1,), 当CD=CE时+(-+)° (停月 整理，得(-1+)=0，解 得t=2或t=6(不合题意，舍去)或 t=0(不合题意，舍去). 子++8=-×+2 3=4. .D(2,4). 综上所述，存在D2,0或D(1,) 或D(6-25,45-5).使得△CDE 是等腰三角形。 (3)25.解析：如图，在y轴的负 半轴上取点N(0,一6)，连接NG并 延长，交x轴于点M,连接AN.由旋 转，得OE=OG,∠EG=90.B(6, 0),∴.OB=ON=6..∠BON=90, .'.∠EOM=∠GON=90°-∠MOG. .△BOE2△NOG.∴.∠EBO= ∠GNO.∴.点G在线段MN上运动 (不包括端点).∴.当AG⊥MN时， AG的长最小..∠CBO=∠MNO, OB=ON,∠COB=∠MON=90°， ∴.△COB≌△MON.∴.OC=OM= 3.∴.AM =5,MN √OM+ONz=3√5.∴.当AG⊥ MN时，S△=2AM·ON 2MN·AG,即2X5X6=7× 3√5XAG.∴.AG=2W5..线段AG 长的最小值为2√5. y B N (第2题) 3.(1)由题意，得y=a(x十3)(x一 1)=a(x2+2x-3)=a.x2+bx+3. .2a=b,-3a=3. '.a=-1,b=-2 '.抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-2x+3. (2)如图，过点P作PH∥y轴，交 AC于点H. 在y=-x2-2x+3中，令x=0,得 y=3. .C(0,3). 由点A、C的坐标，易得直线AC对应 的函数表达式为y=x十3. 设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0), 则H(x,x+3) :Sae=号OA·PH=包 3(-x2-2x+3-x-3)=- 3/ )》+0 .当x= 号时，△PAC的面积取 得最大值，最大值为号。 当x=- 此时点P的坐标为（是早）， (3)存在. S△AC=2S△ABN, 1w=2e=是，即1-2 1 2x+31=2 当点N在x轴的上方时， --2x十3=号，解得2=-1+ 2x2=-1-0 √1 2 N(-1+四，)或N(-1 四) 当点N在x轴的下方时， x2+2z-3= 合解得一1十 ,=-1-2 √22 2 N(-14)或N(-1 ) 综上所述，点N的坐标为（一1+ 四)或(-1-四，)或 (1+,-)或(-1- 》 B x (第3题) 4.(1)由题意，把B(9,0)、C(0,-3) 代人y=弓十：十c中，得 合×g+的+c=0, b=8 解得 31 c=-3, c=-3. ∴.抛物线的对应的函数表达式为 17 (2)如图①，当点P在BC下方时， :∠PCB=∠OBC, ∴.PCOB. ∴.点P与点C关于抛物线的对称轴 对称. 抛物线的对称轴为直线x= 8 3=4, 1 2X .点P的坐标为(8，一3). 如图②，当点P在BC上方时，设直线 PC交x轴于点H, ∠PCB=∠OBC, .CH=BH. .CH2=BH2. 设H(m,0),则(0-m)2+(-3 0)2=(9-m)2,解得m=4. ∴.H(4,0). 设直线PC对应的函数表达式为y= kiz+b. 把H(4,0)、C(0,-3)代人，得 3 4k1+b1=0, 解得 b1=-3, b1=-3. '.直线PC对应的函数表达式为y 4x3. 3 y 4x-3, 联立 解得 12- y=3 3x-3, 41 x 4” x=0, 或{ (不合题意，舍去) 75 y=-3 y=16 :点P的坐标为（件得） 综上所述，点P的坐标为(8，一3)或 (4) (3)点E的坐标为(-5,14)或(13， 38)或(6，号入.解析：由②，可得原 抛物线的对称轴为直线x=4.:B(9, 0),.由对称性，可得A(-1,0). .OA=1.C(0,-3),.OC=3, ∴.AC=√OA+OC=√0.将 抛物线沿射线CA的方向平移2√0个 单位长度后得到新抛物线，相当于 将原抛物线向左平移2个单位长度， 向上平移6个单位长度得到新抛物 线，∴.新抛物线对应的函数表达式为 y=3(x+2)2-8（x+2)-3+6 1 3 -青-1.①当BE为对角线 时，，'平行四边形的对角线互相平 分，.，+9_0时4re=-5. 2 21 ÷yg=3×(-502-专×(-5) 1 1=14..∴.此时点E的坐标为（一5， 14).②当BF为对角线时，：平行四 边形的对角线互相平分，十0 2 1 9,4xg=13..y=3X13☑ 含×13-1=38“此时点E的坐标 为(13,38).③当BC为对角线时， ·平行四边形的对角线互相平分， 249=5班 2 号×5-号×5-1=号.此时点 E的坐标为(，号)，综上所述，点E 的坐标为（一5,14）或(13,38)或 6,号) B ① ② (第4题) 第5章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A 「变式1-5 典例2A解析：：y=3x2十bx十 1,.当x=0时，y=1.∴.抛物线过 点(0,1).抛物线的开口向上，对称 轴为直线=农一合抛物 线上的点离对称轴越远，函数值越大 :3<<4,-号<-名<- 2 6 -29=-1<-合点A(-2, 2 y,)到对称轴的距离大于点(0,1)到 对称轴的距离，小于点B(1,y2)到对 称轴的距离.∴.1<y<y2. [变式]B解析：抛物线y= ax2+bx-2经过点M(m-1,n) N(一m一3，n),∴.该抛物线的对称 轴为直线x=m-1,m-3=-2 2 ∴.该抛物线的顶点在第二象限或第 三象限.故选项A,C、D均错误，不符 合题意.，：抛物线的对称轴为直线 b x=-2a =一2，.b=4a.抛物线 y=ax十bx一2经过点P(1,p), .'.p=a+b-2=5a一2.若p>0,则 2 5u-2>0,解得a>号当x=-2 时y=a-0-2=-4u-2K-号 ∴.若p>0,则顶点在第三象限.故选 项B正确，符合题意 典例3(1)由题意，把(-1,0)、(0， 3)分别代人y=a.x2一2a.x十c,得 a+2a+c=0 解得一1， c=3, c=3. ∴.这个二次函数的表达式为y= -x2+2x+3. (2)y=-x2+2x+3=-(x一 1)2+4, .当x=1时，y取得最大值4： 当x=一1时，y=-(-1)2+2× (一1)十3=0：当x=2时，y=一22十 2X2+3=3. .当一1x2时，0≤y4 .m=4,n=0. ∴.m-n=4-0=4. [变式](1)a+b十c=0, ∴.易知抛物线经过点(1,0) .抛物线不经过点C(1,1) .抛物线经过点A(一1,3)、B(0,一2). /a+b+c=0, .a-b+c=3, c=-2, 18 a= 2 3 1b=- 21 1c=-2. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 2x-2. (2).c=-a-b, .y=ax2+bx +c=ax2+bx- a-b. :点P(2,m)在抛物线上， ∴.4a+2b-a-b=m>0. ∴.3a+b>0. a+b<0, ..-a-b>0. ∴.3a+b-a-b>0. ∴.2a>0. .a>0. 典例4(1)该二次函数图像与x轴 交点的个数为1或2. 理由：，b2-4ac=[-(2+3m)] 4m×6=9m2-12m+4=(3m-2)2, 1当m-号，即3-4c=0时，该二 次函数图像与x轴有1个交点；当 m≠号，即6-4c>0时，该二次函 数图像与x轴有2个交点 (2)(0,6):(3,0).解析：y= mx2-(2+3m)x+6,.(x2 3x)m=2x+y-6.:m≠0，.令 x2-3x=0,解得 x=0, x=3, 或 2x+y-6=0, y=6 {y=0. ∴.无论m为何值，该二次函数的图 像都会经过定点(0,6)和(3,0). (3)在y=m.x2-(2+3m)x+6中， 令y0,得x=3或xm} ∴.该二次函数的图像与x轴的交点 坐标为80（层. 当m=号时，该二次函数的图像开口 向上，与x轴仅有一个交点，且在 x轴的正半轴上，此时函数图像经过 第一、二象限： 当m>0且m≠号时，该二次函数的 图像开口向上，与x轴的两个交点均拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训川三 探究二次函数中的存在性问题，“答案与解析”见PI5 类型一 探究三角形周长最大值的存在性 类型二探究等腰三角形的存在性 1.如图①，抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)与 2.新考法·探究题(2025·烟台)如图，抛物线 x轴相交于点A、B(点B在点A的左侧)，与 y=a.x2十bx十3与x轴交于A、B两点（点 y轴相交于点C(0,3).已知点A的坐标为 A在点B的左侧)，与y轴交于点C,OA= (1,0),△ABC的面积为6. 2,OB=6,D是直线BC上方的抛物线上一 (1)求抛物线对应的函数表达式， 动点，过点D作DF⊥AB,交BC于点E,垂 (2)P是直线BC上方的抛物线上一动点，过 足为F,连接CD: 点P作直线BC的垂线，垂足为E,过点P (1)求抛物线对应的函数表达式， 作PF∥y轴，交BC于点F,求△PEF周长 (2)设点D的横坐标为t. 的最大值及此时点P的坐标 ①用含有t的代数式表示线段DE的长， (3)如图②，将该抛物线向左平移2个单位 ②是否存在点D,使得△CDE是等腰三角 长度得到新抛物线（记为W),新抛物线与原 形？若存在，请求出所有满足条件的点D的 抛物线相交于点D.若M为直线BC上一 坐标；若不存在，请说明理由 点，点N在坐标平面内，则是否存在点M、 (3)连接OE,将线段OE绕，点O按顺时针方 N,使以B、D、M、N为顶点的四边形是菱 向旋转90°得到线段OG,连接AG,请直接写 形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在， 出线段AG长的最小值. 请说明理由 备用图 (第2题) ① ② (第1题) 26 第5章二次函数 类型三探究三角形面积关系的存在性 类型四探究平行四边形的存在性 3.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y= 4.(2025·广安)如图，二次函数y= ax2+bx十3与x轴交于A(-3,0)、B(1,0) 3?2+b虹十c(b,c为常数)的图像交 1 两点，与y轴交于点C,连接AC. (1)求抛物线对应的函数表达式 x轴于A、B两点，交y轴于点C.已知点B (2)P是直线AC上方的抛物线上一点，连接 的坐标为(9,0)，点C的坐标为(0，一3)，连 PA、PC.求△PAC面积的最大值及此时点 接AC、BC. P的坐标 (1)求抛物线对应的函数表达式. (3)如图②，连接BC.抛物线上是否存在一 (2)若P为抛物线上的一个动点，连接PC, 点V,使得S△ABC=2S△ABN？若存在，求出 当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标. 点N的坐标；若不存在，请说明理由. (3)将抛物线沿射线CA的方向平移210个 单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线 上，F是原抛物线的对称轴上的一点.若以 B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 请直接写出点E的坐标 1 ② (第3题) B 备用图 (第4题) 27